數(shù)學(xué)建模-非線(xiàn)性規(guī)劃模型課件

第三節(jié)非線(xiàn)性規(guī)劃模型在數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)中至少有一個(gè)是非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為非線(xiàn)性規(guī)劃。一、非線(xiàn)性規(guī)劃的一般（標(biāo)準(zhǔn)）形式設(shè)均為上的實(shí)值函數(shù)第三節(jié)非線(xiàn)性規(guī)劃模型在數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)1

某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢(qián)購(gòu)進(jìn)一批彩漆一般來(lái)說(shuō)隨著彩漆售價(jià)的提高，預(yù)期銷(xiāo)售量將減少，并對(duì)此進(jìn)行了估算，見(jiàn)表1。為了盡快收回資金并獲得較多的贏利，裝飾材料公司打算做廣告投入一定的廣告費(fèi)后，銷(xiāo)售量將有一個(gè)增長(zhǎng)，可由銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子來(lái)表示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，廣告費(fèi)與銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子關(guān)系見(jiàn)表2?，F(xiàn)在的問(wèn)題是裝飾材料公司采取怎樣的營(yíng)銷(xiāo)戰(zhàn)略預(yù)期的利潤(rùn)最大？廣告的費(fèi)用及其效應(yīng)某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢(qián)購(gòu)進(jìn)一批彩漆廣告2表1表2表1表23符號(hào)說(shuō)明及問(wèn)題的分析

設(shè)x表示售價(jià)（單位：元），y表示預(yù)期銷(xiāo)售量（單位：桶），z表示廣告費(fèi)（單位：元），k表示銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子。投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷(xiāo)售量記為s獲得的利潤(rùn)記為P（單位：元）。由表1易見(jiàn)預(yù)期銷(xiāo)售量y隨著售價(jià)x的加而單調(diào)下降，而銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子k在開(kāi)始時(shí)隨著廣告費(fèi)z的增加而增加，在廣告費(fèi)z等于50000元時(shí)達(dá)到最大值，然后在廣告費(fèi)增加時(shí)反而有所回落，為此可用Mathematica畫(huà)出散點(diǎn)圖.

符號(hào)說(shuō)明及問(wèn)題的分析設(shè)x表示售價(jià)（單位：元）4圖1圖2

圖15

從圖1和圖2易見(jiàn)，售價(jià)x與預(yù)期銷(xiāo)售量y近似于一條直線(xiàn)，廣告費(fèi)z與銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子k近似于一條二次曲線(xiàn)。為此可令：

y=a+bx

k=c+dz+ez2

系數(shù)a，b，c，d，e是特定參數(shù)。模型的建立投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷(xiāo)售量s等于預(yù)期銷(xiāo)售量y乘以銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子k，即s=ky。所獲得的利潤(rùn)。

從圖1和圖2易見(jiàn)，售價(jià)x與預(yù)期銷(xiāo)售量y近似于6

我們期望利潤(rùn)P達(dá)到最大，即我們期望利潤(rùn)P達(dá)到最大，即7

由于目標(biāo)函數(shù)不是線(xiàn)性函數(shù)，因此這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為有約束條件的非線(xiàn)性規(guī)劃模型。在日常生活中非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題要比線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題普遍。模型求解首先利用Mathematica計(jì)算（1）（2）中的參數(shù)a，b，c，d，e，并畫(huà)出散點(diǎn)圖和擬合曲線(xiàn)。

8圖-3

圖-39

圖-4圖-410

即：

其次用MATLAB求解優(yōu)化模型，因MATLAB中僅能求極小值，為此將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為且x=5.9113，z=33113，函數(shù)P達(dá)到最大值16670。即：

11第三節(jié)多目標(biāo)規(guī)劃模型在工程技術(shù)、生產(chǎn)管理以及國(guó)防建設(shè)等部門(mén)中，所遇到的問(wèn)題往往需要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)在某種意義下的最優(yōu)問(wèn)題一、引例例2.9投資問(wèn)題。假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，有數(shù)量為B億元的資金可用于投資，并有個(gè)項(xiàng)目可供選擇。如果對(duì)第個(gè)項(xiàng)目投資的話(huà)，需用資金億元，并可獲得收益億元，試確定最佳投資方案。解所謂最佳投資方案系指：投資最少；收益最大。若令目標(biāo)函數(shù)為求：投資最少：收益最大.第三節(jié)多目標(biāo)規(guī)劃模型12若令目標(biāo)函數(shù)為求；投資最少：收益最大：約束函數(shù)為：二、多目標(biāo)規(guī)劃模型多目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式為若令13

我們稱(chēng)它為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)時(shí)所有目標(biāo)函數(shù)都求最大值，只須注意，求一個(gè)函數(shù)的最大值可以轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的負(fù)函數(shù)的最小值，便知這時(shí)的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為

我們稱(chēng)它為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)時(shí)所14

投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)

這是1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題，問(wèn)題如下：市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（股票、債券、…）Si（i=1，…，n）供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)間的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)Si有平均收益率為ri，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買(mǎi)Si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi。考慮到投資越分散總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買(mǎi)若投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)

這是1998年全國(guó)大15干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買(mǎi)Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為pi，并且當(dāng)購(gòu)買(mǎi)額不超過(guò)給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買(mǎi)ui計(jì)算（不買(mǎi)當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是r0，且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)（r0=5%）。

（1）已知n=4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的Si中最大的一16試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案即用給定的資金M，有選擇地購(gòu)買(mǎi)若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。（2）試就一般情況對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行討論，利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

Siri（%）qi（%）pi（%）ui（元）S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案即用給定的資金Siri（%）q17

S740.7685.6178S831.233.433.1220S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131

S740.76818模型的假設(shè)在一個(gè)時(shí)期內(nèi)所給出的ri，qi，pi保持不變。在一個(gè)時(shí)間內(nèi)所購(gòu)買(mǎi)的各種資產(chǎn)（如股票、證券等）不進(jìn)行買(mǎi)賣(mài)交易，即在買(mǎi)入后不再賣(mài)出。每種投資是否收益是相互獨(dú)立的。在投資過(guò)程中，無(wú)論盈利與否必須先付交易費(fèi)。模型的假設(shè)在一個(gè)時(shí)期內(nèi)所給出的ri，qi，pi保持不變。19

M（元）：公司現(xiàn)有投資總額Si（i=0~n）：欲購(gòu)買(mǎi)的第i種資產(chǎn)種類(lèi)（其中i=0表示存入銀行）；xi（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si金額；ri（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si的平均收益率；

qi（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si的平均損失率；p（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si超過(guò)ui時(shí)所付交易費(fèi)率。

符號(hào)的說(shuō)明M（元）：公司現(xiàn)有投資總額符號(hào)的說(shuō)明206.4.3問(wèn)題的分析設(shè)購(gòu)買(mǎi)Si的金額為xi，所付的交易費(fèi)為ci（xi）;c0(x0)=0

（1）

因?yàn)橥顿Y額M相當(dāng)大，所以總可以假定對(duì)每個(gè)Si的投資xi≥ui，這時(shí)（1）式可簡(jiǎn)化為

6.4.3問(wèn)題的分析設(shè)購(gòu)買(mǎi)Si的金21

（2）

對(duì)Si投資的凈收益

（3）對(duì)Si投資的風(fēng)險(xiǎn)

（4）對(duì)Si投資所需資金（投資金額xi與所需的手續(xù)費(fèi)ci（xi）之和）即

（5）

22

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)Si的金額為xi（i=0~n），投資組合x(chóng)=（x0，x1，…，xn）的凈收益總額（6）

整體風(fēng)險(xiǎn)：

（7）

資金約束：

（8）

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)Si的金額為xi（i23多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型我們的想法是凈收益總額R（x）盡可能大，而整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）又盡可能小，則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可歸為多目標(biāo)規(guī)劃模型，即

（9）

多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型我們的想法是凈收益總額R（x）盡可能大，而24

模型（9）屬于多目標(biāo)規(guī)劃模型為了對(duì)其求解，可把多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃。假定投資的平均風(fēng)險(xiǎn)水平，則投資M的風(fēng)險(xiǎn)，若要求整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）限制在風(fēng)險(xiǎn)k以?xún)?nèi)，即Q（x）≤k，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為

（10）

25假定投資的平均收益率為，則投資M的收益，若要求總的收益R（x）大于等于h，即R（x）≥h，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為（11）

假定投資的平均收益率為，則投資M的收益26

假定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)—收益的相對(duì)偏好參數(shù)為ρ，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為

（12）

將總收益R（x）與整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）相比，則模型（9）可化為：

（13）

假定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)—收益的相對(duì)偏好參數(shù)為ρ，則模27

28模型求解由于模型（10）中的約束條件Q（x）≤k，即

所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為：

這時(shí)模型（10）轉(zhuǎn)化為如下的線(xiàn)性規(guī)劃

（14）模型求解29

給定k，可方便地求解模型（14）。具體計(jì)算時(shí)，為了方便起見(jiàn)，可令M=1，于是（1+pi）可視作投資Si的比例。下面針對(duì)n=4，M=1的情形按原問(wèn)題給定的數(shù)據(jù)，模型（14）可變?yōu)椋海?5）

30Mathematica求解利用Mathematica解模型（15）當(dāng)k=0.05時(shí)，計(jì)算得x0=0,x1=0.99,x2=0,x3=0,x4=0。當(dāng)k=0.01時(shí)，計(jì)算得x0=0,x1=0.4,x2=0.584,x3=0,x4=0。Mathematica求解利用Mathematica解模型（31

求模型（11）~（13）的最優(yōu)解困難在于Q（x）是非光滑函數(shù)，難于直接用通常的優(yōu)化算法和現(xiàn)成的軟件求解。為此，我們要想辦法把它們轉(zhuǎn)化為可求解的形式。下面以模型（12）為例（模型（11）,（13）類(lèi)似）。因?yàn)樗钥闪?/p>

求模型（11）~（13）的最優(yōu)解困難在于32即

記，則模型（5-12）可轉(zhuǎn)化為如下的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

（16）

即

33

下針對(duì)n=4，M=1的情形，按原問(wèn)題給定的數(shù)據(jù)，模型（16）可變?yōu)椋?/p>

（17）

下針對(duì)n=4，M=1的情形，按原問(wèn)題給定的數(shù)據(jù)34

ρx0x1x2x3x4R(x)Q(x)0.700.990000.26730.0250.800.3690.615000.21650.0090.900.2370.4000.1080.2280.20220.006用Mathematica求解模型（17）注意：若目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式f太長(zhǎng)，需要換行時(shí)，換行處末尾應(yīng)有運(yùn)算符號(hào)，以便計(jì)算機(jī)自動(dòng)去讀下一行按模型（17）得到的一組結(jié)果如下（n=4，M=1）：

Mathematica求解

ρx0x1x2x3x4R(x)Q(x)0.70035第三節(jié)非線(xiàn)性規(guī)劃模型在數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)中至少有一個(gè)是非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為非線(xiàn)性規(guī)劃。一、非線(xiàn)性規(guī)劃的一般（標(biāo)準(zhǔn)）形式設(shè)均為上的實(shí)值函數(shù)第三節(jié)非線(xiàn)性規(guī)劃模型在數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)36

某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢(qián)購(gòu)進(jìn)一批彩漆一般來(lái)說(shuō)隨著彩漆售價(jià)的提高，預(yù)期銷(xiāo)售量將減少，并對(duì)此進(jìn)行了估算，見(jiàn)表1。為了盡快收回資金并獲得較多的贏利，裝飾材料公司打算做廣告投入一定的廣告費(fèi)后，銷(xiāo)售量將有一個(gè)增長(zhǎng)，可由銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子來(lái)表示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，廣告費(fèi)與銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子關(guān)系見(jiàn)表2?，F(xiàn)在的問(wèn)題是裝飾材料公司采取怎樣的營(yíng)銷(xiāo)戰(zhàn)略預(yù)期的利潤(rùn)最大？廣告的費(fèi)用及其效應(yīng)某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢(qián)購(gòu)進(jìn)一批彩漆廣告37表1表2表1表238符號(hào)說(shuō)明及問(wèn)題的分析

設(shè)x表示售價(jià)（單位：元），y表示預(yù)期銷(xiāo)售量（單位：桶），z表示廣告費(fèi)（單位：元），k表示銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子。投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷(xiāo)售量記為s獲得的利潤(rùn)記為P（單位：元）。由表1易見(jiàn)預(yù)期銷(xiāo)售量y隨著售價(jià)x的加而單調(diào)下降，而銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子k在開(kāi)始時(shí)隨著廣告費(fèi)z的增加而增加，在廣告費(fèi)z等于50000元時(shí)達(dá)到最大值，然后在廣告費(fèi)增加時(shí)反而有所回落，為此可用Mathematica畫(huà)出散點(diǎn)圖.

符號(hào)說(shuō)明及問(wèn)題的分析設(shè)x表示售價(jià)（單位：元）39圖1圖2

圖140

從圖1和圖2易見(jiàn)，售價(jià)x與預(yù)期銷(xiāo)售量y近似于一條直線(xiàn)，廣告費(fèi)z與銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子k近似于一條二次曲線(xiàn)。為此可令：

y=a+bx

k=c+dz+ez2

系數(shù)a，b，c，d，e是特定參數(shù)。模型的建立投入廣告費(fèi)后，實(shí)際銷(xiāo)售量s等于預(yù)期銷(xiāo)售量y乘以銷(xiāo)售增長(zhǎng)因子k，即s=ky。所獲得的利潤(rùn)。

從圖1和圖2易見(jiàn)，售價(jià)x與預(yù)期銷(xiāo)售量y近似于41

我們期望利潤(rùn)P達(dá)到最大，即我們期望利潤(rùn)P達(dá)到最大，即42

由于目標(biāo)函數(shù)不是線(xiàn)性函數(shù)，因此這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為有約束條件的非線(xiàn)性規(guī)劃模型。在日常生活中非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題要比線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題普遍。模型求解首先利用Mathematica計(jì)算（1）（2）中的參數(shù)a，b，c，d，e，并畫(huà)出散點(diǎn)圖和擬合曲線(xiàn)。

43圖-3

圖-344

圖-4圖-445

即：

其次用MATLAB求解優(yōu)化模型，因MATLAB中僅能求極小值，為此將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為且x=5.9113，z=33113，函數(shù)P達(dá)到最大值16670。即：

46第三節(jié)多目標(biāo)規(guī)劃模型在工程技術(shù)、生產(chǎn)管理以及國(guó)防建設(shè)等部門(mén)中，所遇到的問(wèn)題往往需要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)在某種意義下的最優(yōu)問(wèn)題一、引例例2.9投資問(wèn)題。假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，有數(shù)量為B億元的資金可用于投資，并有個(gè)項(xiàng)目可供選擇。如果對(duì)第個(gè)項(xiàng)目投資的話(huà)，需用資金億元，并可獲得收益億元，試確定最佳投資方案。解所謂最佳投資方案系指：投資最少；收益最大。若令目標(biāo)函數(shù)為求：投資最少：收益最大.第三節(jié)多目標(biāo)規(guī)劃模型47若令目標(biāo)函數(shù)為求；投資最少：收益最大：約束函數(shù)為：二、多目標(biāo)規(guī)劃模型多目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式為若令48

我們稱(chēng)它為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)時(shí)所有目標(biāo)函數(shù)都求最大值，只須注意，求一個(gè)函數(shù)的最大值可以轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的負(fù)函數(shù)的最小值，便知這時(shí)的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為

我們稱(chēng)它為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)時(shí)所49

投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)

這是1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題，問(wèn)題如下：市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（股票、債券、…）Si（i=1，…，n）供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)間的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)Si有平均收益率為ri，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買(mǎi)Si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi。考慮到投資越分散總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買(mǎi)若投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)

這是1998年全國(guó)大50干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買(mǎi)Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為pi，并且當(dāng)購(gòu)買(mǎi)額不超過(guò)給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買(mǎi)ui計(jì)算（不買(mǎi)當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是r0，且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)（r0=5%）。

（1）已知n=4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的Si中最大的一51試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案即用給定的資金M，有選擇地購(gòu)買(mǎi)若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。（2）試就一般情況對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行討論，利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

Siri（%）qi（%）pi（%）ui（元）S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案即用給定的資金Siri（%）q52

S740.7685.6178S831.233.433.1220S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131

S740.76853模型的假設(shè)在一個(gè)時(shí)期內(nèi)所給出的ri，qi，pi保持不變。在一個(gè)時(shí)間內(nèi)所購(gòu)買(mǎi)的各種資產(chǎn)（如股票、證券等）不進(jìn)行買(mǎi)賣(mài)交易，即在買(mǎi)入后不再賣(mài)出。每種投資是否收益是相互獨(dú)立的。在投資過(guò)程中，無(wú)論盈利與否必須先付交易費(fèi)。模型的假設(shè)在一個(gè)時(shí)期內(nèi)所給出的ri，qi，pi保持不變。54

M（元）：公司現(xiàn)有投資總額Si（i=0~n）：欲購(gòu)買(mǎi)的第i種資產(chǎn)種類(lèi)（其中i=0表示存入銀行）；xi（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si金額；ri（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si的平均收益率；

qi（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si的平均損失率；p（i=0~n）：公司購(gòu)買(mǎi)Si超過(guò)ui時(shí)所付交易費(fèi)率。

符號(hào)的說(shuō)明M（元）：公司現(xiàn)有投資總額符號(hào)的說(shuō)明556.4.3問(wèn)題的分析設(shè)購(gòu)買(mǎi)Si的金額為xi，所付的交易費(fèi)為ci（xi）;c0(x0)=0

（1）

因?yàn)橥顿Y額M相當(dāng)大，所以總可以假定對(duì)每個(gè)Si的投資xi≥ui，這時(shí)（1）式可簡(jiǎn)化為

6.4.3問(wèn)題的分析設(shè)購(gòu)買(mǎi)Si的金56

（2）

對(duì)Si投資的凈收益

（3）對(duì)Si投資的風(fēng)險(xiǎn)

（4）對(duì)Si投資所需資金（投資金額xi與所需的手續(xù)費(fèi)ci（xi）之和）即

（5）

57

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)Si的金額為xi（i=0~n），投資組合x(chóng)=（x0，x1，…，xn）的凈收益總額（6）

整體風(fēng)險(xiǎn)：

（7）

資金約束：

（8）

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)Si的金額為xi（i58多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型我們的想法是凈收益總額R（x）盡可能大，而整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）又盡可能小，則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可歸為多目標(biāo)規(guī)劃模型，即

（9）

多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型我們的想法是凈收益總額R（x）盡可能大，而59

模型（9）屬于多目標(biāo)規(guī)劃模型為了對(duì)其求解，可把多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃。假定投資的平均風(fēng)險(xiǎn)水平，則投資M的風(fēng)險(xiǎn)，若要求整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）限制在風(fēng)險(xiǎn)k以?xún)?nèi)，即Q（x）≤k，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為

（10）

60假定投資的平均收益率為，則投資M的收益，若要求總的收益R（x）大于等于h，即R（x）≥h，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為（11）

假定投資的平均收益率為，則投資M的收益61

假定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)—收益的相對(duì)偏好參數(shù)為ρ，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為

（12）

將總收益R（x）與整體風(fēng)險(xiǎn)Q（x）相比，則模型（9）可化為：

（13）

假定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)—收益的相對(duì)偏好參數(shù)為ρ，則模62

63模型求解由于模型（10）中的約束條件Q（x）≤k，即

所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為：