量子力學(xué)12課件

11.2薛定諤方程1.2.1

Schr?dinger方程的引進(jìn)

本節(jié)研究量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)問題，建立量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程——Schr?dinger方程

微觀粒子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)滿足態(tài)疊加原理11.2薛定諤方程1.2.1Schr?dinger方程的12開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同時(shí)開1，2，衍射花樣（黑曲線）實(shí)驗(yàn)事實(shí)顯然電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)12

表明幾率不遵守迭加原則，而波函數(shù)（幾率幅）遵守迭加原則：2開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）23物理意義

當(dāng)兩個(gè)縫都開著時(shí)，電子既可能處在態(tài)，也可能處在態(tài)，也可處在和的線性迭加態(tài)?？梢?，

若和是電子的可能狀態(tài)，則也是電子的可能狀態(tài)。

反言之，電子經(jīng)雙縫衍射后處于態(tài)，則電子部分地既可處于態(tài)，也可部分地處在態(tài)。迭加態(tài)的概率:

干涉項(xiàng)電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度3物理意義當(dāng)兩個(gè)縫都開著時(shí)，電子既可能處在34

態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性也依賴于實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)態(tài)迭加原理

當(dāng)兩個(gè)縫的幾何參數(shù)或電子束相對(duì)位置不完全對(duì)稱時(shí)，迭加態(tài),其概率為干涉項(xiàng)

2.當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，并且4態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性也依45又（2）

（3）（1）

自由粒子波函數(shù)將（1）和（2）式代入（3）式，得（4）

5又（2）（3）（1）自由粒子波函數(shù)將（1）和（2）式代56能量算符自由粒子滿足薛定諤方程6能量算符自由粒子滿足薛定諤方程67

1.2.2Schr?dinger方程的討論1．幾率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）

則設(shè)是粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù)取復(fù)共軛代入（1）式后，有

7

1.2.2Schr?dinger方程的討論1．幾率守恒78（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（2）

幾率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的電荷守恒方程具有相同的形式。（3）式對(duì)空間V作體積分8（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（2）幾89當(dāng)時(shí)(4)式表明:粒子單位時(shí)間在內(nèi)出現(xiàn)的幾率的增量等于單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)的幾率(負(fù)號(hào)表示流入)。(3)式是幾率守恒守律的積分形式。(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。9當(dāng)時(shí)(4)式表明:粒子單位時(shí)間在內(nèi)出現(xiàn)910——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度——量子力學(xué)的電流密度——量子力學(xué)的質(zhì)量密度電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒設(shè)粒子的電荷為，質(zhì)量為——量子力學(xué)的電荷守恒律——量子力學(xué)的物質(zhì)守恒律10——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度——量子10111.2.3能量本征方程（1）

（2）

若與無(wú)關(guān)，則可以分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與無(wú)關(guān)的常數(shù)（4）111.2.3能量本征方程（1）（2）若與1112（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變量中引入的常數(shù)為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時(shí)，粒子的能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)定態(tài)Schr?dinger方程

當(dāng)粒子處在定態(tài)中時(shí)，具有確定的能量，其空間波函數(shù)由方程（3），即由 12（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deB1213在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?dinger方程。

（7）能量本征值方程13在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?di1314

當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時(shí)，粒子的能量有確定的值。

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結(jié)為解定態(tài)Schr?dinger方程+定解條件構(gòu)成的本征值問題:

定解條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

14當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))1415求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量的本征值問題，得：本征函數(shù)本征能量（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對(duì)應(yīng)第個(gè)本征值

的定態(tài)波函數(shù)15求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方15簡(jiǎn)并態(tài)與非簡(jiǎn)并態(tài)16簡(jiǎn)并態(tài)與非簡(jiǎn)并態(tài)1616例子：17設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的允許能級(jí)為對(duì)應(yīng)的唯一本征波函數(shù)為。若粒子處于勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，試討論粒子的最低的三個(gè)允許能級(jí)與對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)的簡(jiǎn)并情況。例子：17設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的允許能級(jí)為對(duì)應(yīng)的唯一17

方程

成立二維薛定諤方程為方程成立二維薛定諤方程為1819設(shè)代入上式，整理為

所以得

19設(shè)代入上式，整理為所以得1920（2）式與（1）式對(duì)比可知：

同理（3）式與（1）式對(duì)比可知：20（2）式與（1）式對(duì)比可知：同理（3）式與（1）式對(duì)比2021于是：21于是：21能量最低的能級(jí)對(duì)應(yīng)唯一波函數(shù)

非簡(jiǎn)并能量次低的能級(jí)對(duì)應(yīng)二個(gè)波函數(shù)

，

2度簡(jiǎn)并能量次低的能級(jí)

對(duì)應(yīng)唯一波函數(shù)

非簡(jiǎn)并能量最低的能級(jí)對(duì)應(yīng)唯一波函數(shù)非簡(jiǎn)并能量次低的能級(jí)對(duì)應(yīng)二個(gè)2223與無(wú)關(guān)定態(tài)的性質(zhì)（1）粒子在空間幾率密度、幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)與無(wú)關(guān)（2）任何力學(xué)量的期望值與時(shí)間無(wú)關(guān)（3）任何力學(xué)量測(cè)值的幾率分布與時(shí)間無(wú)關(guān)1.2.4定態(tài)與非定態(tài)23與無(wú)關(guān)定態(tài)的性質(zhì)（1）粒子在空間幾率密度、幾率流密度2324也是方程的解非定態(tài)能量期望值特別，對(duì)于一維自由粒子即24也是方程的解非定態(tài)能量期望值特別，對(duì)于一維自由粒子即2425

（1）Schr?dinger作為一個(gè)基本假設(shè)提出來(lái)，它的正確性已為非相對(duì)論量子力學(xué)在各方面的應(yīng)用而得到證實(shí)。注意

（2）Schr?dinger方程在非相對(duì)論量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿,只要給出粒子在初始時(shí)刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時(shí)刻的波函數(shù)。1.2.5多粒子體系的Schr?dinger方程Schr?dinger方程（9）

哈密頓算符

（8）25（1）Schr?dinger作為一個(gè)基本假設(shè)提出來(lái)，它25261.3量子態(tài)疊加原理1.3.1量子態(tài)及其表象1.3.2量子態(tài)疊加原理，測(cè)量與波函數(shù)塌縮量子通信261.3量子態(tài)疊加原理1.3.1量子態(tài)及其表象26271.2薛定諤方程1.2.1

Schr?dinger方程的引進(jìn)

本節(jié)研究量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)問題，建立量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程——Schr?dinger方程

微觀粒子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)滿足態(tài)疊加原理11.2薛定諤方程1.2.1Schr?dinger方程的2728開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同時(shí)開1，2，衍射花樣（黑曲線）實(shí)驗(yàn)事實(shí)顯然電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)12

表明幾率不遵守迭加原則，而波函數(shù)（幾率幅）遵守迭加原則：2開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）2829物理意義

當(dāng)兩個(gè)縫都開著時(shí)，電子既可能處在態(tài)，也可能處在態(tài)，也可處在和的線性迭加態(tài)?？梢?，

若和是電子的可能狀態(tài)，則也是電子的可能狀態(tài)。

反言之，電子經(jīng)雙縫衍射后處于態(tài)，則電子部分地既可處于態(tài)，也可部分地處在態(tài)。迭加態(tài)的概率:

干涉項(xiàng)電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度3物理意義當(dāng)兩個(gè)縫都開著時(shí)，電子既可能處在2930

態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性也依賴于實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)態(tài)迭加原理

當(dāng)兩個(gè)縫的幾何參數(shù)或電子束相對(duì)位置不完全對(duì)稱時(shí)，迭加態(tài),其概率為干涉項(xiàng)

2.當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，并且4態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性也依3031又（2）

（3）（1）

自由粒子波函數(shù)將（1）和（2）式代入（3）式，得（4）

5又（2）（3）（1）自由粒子波函數(shù)將（1）和（2）式代3132能量算符自由粒子滿足薛定諤方程6能量算符自由粒子滿足薛定諤方程3233

1.2.2Schr?dinger方程的討論1．幾率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）

則設(shè)是粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù)取復(fù)共軛代入（1）式后，有

7

1.2.2Schr?dinger方程的討論1．幾率守恒3334（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（2）

幾率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的電荷守恒方程具有相同的形式。（3）式對(duì)空間V作體積分8（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（2）幾3435當(dāng)時(shí)(4)式表明:粒子單位時(shí)間在內(nèi)出現(xiàn)的幾率的增量等于單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)的幾率(負(fù)號(hào)表示流入)。(3)式是幾率守恒守律的積分形式。(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。9當(dāng)時(shí)(4)式表明:粒子單位時(shí)間在內(nèi)出現(xiàn)3536——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度——量子力學(xué)的電流密度——量子力學(xué)的質(zhì)量密度電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒設(shè)粒子的電荷為，質(zhì)量為——量子力學(xué)的電荷守恒律——量子力學(xué)的物質(zhì)守恒律10——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度——量子36371.2.3能量本征方程（1）

（2）

若與無(wú)關(guān)，則可以分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與無(wú)關(guān)的常數(shù)（4）111.2.3能量本征方程（1）（2）若與3738（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變量中引入的常數(shù)為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時(shí)，粒子的能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)定態(tài)Schr?dinger方程

當(dāng)粒子處在定態(tài)中時(shí)，具有確定的能量，其空間波函數(shù)由方程（3），即由 12（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deB3839在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?dinger方程。

（7）能量本征值方程13在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?di3940

當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時(shí)，粒子的能量有確定的值。

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結(jié)為解定態(tài)Schr?dinger方程+定解條件構(gòu)成的本征值問題:

定解條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

14當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))4041求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量的本征值問題，得：本征函數(shù)本征能量（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對(duì)應(yīng)第個(gè)本征值

的定態(tài)波函數(shù)15求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方41簡(jiǎn)并態(tài)與非簡(jiǎn)并態(tài)42簡(jiǎn)并態(tài)與非簡(jiǎn)并態(tài)1642例子：43設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的允許能級(jí)為對(duì)應(yīng)的唯一本征波函數(shù)為。若粒子處于勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，試討論粒子的最低的三個(gè)允許能級(jí)與對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)的簡(jiǎn)并情況。例子：17設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的允許能級(jí)為對(duì)應(yīng)的唯一43

方程

成立二維薛定諤方程為方程成立二維薛定諤方程為4445設(shè)代入上式，整理為

所以得

19設(shè)代入上式，整理為所以得4546（2）式與（1）式對(duì)比可知：

同理（3）式與（1）式對(duì)比可知：20（2）式與（1）式對(duì)比可知：同理（3）式與（1）式對(duì)比4