整式的乘法與因式分解知識點及例題

整式的乘法與因式分解知識點及例題整式的乘法與因式分解知識點及例題整式的乘法與因式分解知識點及例題xxx公司整式的乘法與因式分解知識點及例題文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度整式乘除與因式分解一．知識點（重點）1．冪的運算性質(zhì)：am·an＝am＋n（m、n為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．例：(－2a)2(－3a2)32．＝amn（m、n為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．例：(－a5)53．（n為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積．例：(－a2b)3練習：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4．＝am－n（a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．例：（1）x8÷x2（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2（4）（-a）7÷（-a）5（5）(-b)5÷(-b)25．零指數(shù)冪的概念：a0＝1（a≠0）任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l．例：若成立，則滿足什么條件6．負指數(shù)冪的概念：a－p＝（a≠0，p是正整數(shù)）任何一個不等于零的數(shù)的－p（p是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)．也可表示為：（m≠0，n≠0，p為正整數(shù)）7．單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．例：（1）（2）8．單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．例：（1）（2）（3）（4）9．多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．例：（1）（2）（3）練習：1．計算2x3·(－2xy)(－xy)3的結(jié)果是 2．(3×108)×(－4×104)＝ 3．若n為正整數(shù)，且x2n＝3，則(3x3n)2的值為 4．如果(anb·abm)3＝a9b15，那么mn的值是 5．－[－a2(2a3－a)]＝ 6．(－4x2＋6x－8)·(－x2)＝ 7．2n(－1＋3mn2)＝ 8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，則k＝ 9．(－3x2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝ 10．在(ax2＋bx－3)(x2－x＋8)的結(jié)果中不含x3和x項，則a＝ ，b＝ 11．一個長方體的長為(a＋4)cm，寬為(a－3)cm，高為(a＋5)cm，則它的表面積為 ，體積為 。12．一個長方形的長是10cm，寬比長少6cm，則它的面積是 ，若將長方形的長和都擴大了2cm，則面積增大了 。10．單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 11．多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．例：練習：1．計算：（1）；（2）；（3）．（4）（5）2．計算：（1）；（2）（3）3．計算：（1）；（2）．4.若(ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8,則a=,m=,=;易錯點：在冪的運算中，由于法則掌握不準出現(xiàn)錯誤；有關多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯；乘除混合運算順序出錯。12．乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2文字語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍．例1：（1）(7+6x)(7?6x)；（2）(3y＋x)(x?3y)；（3）(?m＋2n)(?m?2n)．例2：(1)(x+6)2(2)(y-5)2(3)(-2x+5)2練習：1、=_______。＝______________。2、（_____________________）3、；（______________）4、已知，那么=_______；=_______。5、若是一個完全平方式，那么m的值是__________。6、多項式的公因式是_____________________。7、因式分解：__________________________。8、因式分解：____________________________。9、計算：_____________________。10、，則=_____________________易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式。13．因式分解（難點）因式分解的定義．把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．

二、熟練掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項．（4）注意點：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的．例：（1）（2）

2、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2例：（1）（2）（3）（4）練習：1、若是完全平方式，則的值等于_____。2、則=____=____3、與的公因式是＿4、若=，則m=_______，n=_________。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其結(jié)果是_____________________。6、若是完全平方式，則m=_______。7、8、已知則9、若是完全平方式M=________。10、，11、若是完全平方式，則k=_______。12、若的值為0，則的值是________。13、若則=_____。14、若則___。15、方程，的解是________。易錯點：用提公因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項，丟系數(shù)或符號錯誤；分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學的基礎,是中考的一個重點內(nèi)容.其考點主要涉及以下幾個方面：考點1、冪的有關運算例1．（2009年湘西）在下列運算中，計算正確的是（）（A） （B） （C） （D）分析:冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法運算、冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法運算.冪的運算是整式乘除運算的基礎,準確解決冪的有關運算的關鍵是熟練理解各種運算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則知，所以（A）錯；根據(jù)冪的乘方運算法則知，所以（B）錯；根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則知，所以（C）錯；故選（D）.例2.（2009年齊齊哈爾）已知，，則____________．分析:本題主要考查冪的運算性質(zhì)的靈活應用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則,將指數(shù)相加化為冪相乘的形式,再逆用冪的乘方的法則,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為冪的乘方的形式,然后代入求值即可.解：.考點2、整式的乘法運算例3．（2009年賀州）計算：=．分析:本題主要考查單項式與多項式的乘法運算.計算時，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式的乘法運算,注意符號的變化.解：＝＝.考點3、乘法公式例4.(2009年山西省)計算：分析:運用多項式的乘法法則以及乘法公式進行運算，然后合并同類項.解：===.例5.(2009年寧夏)已知：，，化簡的結(jié)果是．分析:本題主要考查多項式與多項式的乘法運算.首先按照法則進行計算,然后靈活變形，使其出現(xiàn)（）與，以便求值.解：===.考點4、利用整式運算求代數(shù)式的值例6．（2009年長沙）先化簡，再求值：，其中．分析:本題是一道綜合計算題,主要在于乘法公式的應用.解：當，時，.考點5、整式的除法運算例7.(2009年廈門)計算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x分析:本題的一道綜合計算題,首先要先算中括號內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進行整式的除法運算.解：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x＝(4x2－6xy)÷2x＝2x－3y.考點6、定義新運算例8.（2009年定西）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“”，其法則為：，求方程（43）的解．分析:本題求解的關鍵是讀懂新的運算法則，觀察已知的等式可知，在本題中“”定義的是平方差運算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方.解：∵，∴．∴．∴．∴．考點7、乘法公式例3（1）(2009年白銀市)當時，代數(shù)式的值是．（2）(2009年十堰市)已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.解析：問題（1）主要是對乘法的平方差公式的考查.原式=x2-y2+y2=x2=32=9.問題（2）考查了完全平方公式的變形應用，∵，∴.說明：乘法公式應用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運算變得簡單快捷，事半功倍.考點8、因式分解例4（1）(2009年本溪市)分解因式：