如何做幾何證明題

怎樣做幾何證明題知識概括總結(jié)：幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培育學(xué)生邏輯思想能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本種類：一是平面圖形的數(shù)目關(guān)系；二是相關(guān)平面圖形的地點(diǎn)關(guān)系。這兩類問題常常能夠相互轉(zhuǎn)變，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明角等或角互補(bǔ)的問題。掌握剖析、證明幾何問題的常用方法：1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，經(jīng)過相關(guān)定義、定理、公義的應(yīng)用，逐漸向前推動，直到問題的解決；2）剖析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，斟酌使其建立需要具備的條件，而后再把所需的條件當(dāng)作要證的結(jié)論持續(xù)斟酌，這樣逐漸往上逆求，直到已知事實(shí)為止；3）兩頭湊法：將剖析與綜合法歸并使用，比較起來，剖析法利于思慮，綜合法易于表達(dá)，所以，在實(shí)質(zhì)思慮問題時(shí)，可歸并使用，靈巧辦理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。掌握結(jié)構(gòu)基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形構(gòu)成的，所以要擅長將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要結(jié)構(gòu)基本圖形，在結(jié)構(gòu)基本圖形時(shí)常常需要增添協(xié)助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)變問題的目的。.證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。好多其他問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其他如線段中垂線的性質(zhì)、角均分線的性質(zhì)、等腰三角形的判斷與性質(zhì)等也常常用到。例1.已知：如圖1所示，中，。求證：DE＝DFAEDCFB圖1例2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠FEADBCF圖2.證明直線平行或垂直在兩條直線的地點(diǎn)關(guān)系中，平行與垂直是兩種特別的地點(diǎn)。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可經(jīng)過邊對應(yīng)成比率、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)變?yōu)樽C一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角均分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BCAQPKHBMNC圖3例4.已知：如圖4所示，AB＝AC，。求證：FD⊥EDAEF231BDC圖4三.證明一線段和的問題（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其他部分等于另一較短線段。（截長法）例5.已知：如圖6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角均分線AD、CE訂交于O。求證：AC＝AE＋CDBEOD14235AF6C圖6（二）延伸一較短線段，

使延伸部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。

（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖

7所示，正方形

ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在

BC上，。求證：EF＝BE＋DFAD312FGBEC圖7中考題：如圖8所示，已知為等邊三角形，延伸BC到D，延伸BA到E，而且使AE＝BD，連接CE、DE。求證：EC＝EDEFABCD圖8題型展現(xiàn)：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，。求證：A12CBDE圖9實(shí)戰(zhàn)模擬：已知：如圖11所示，中，，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC于E，且有。求證：CEADB圖112.已知：如圖12所示，在中，，CD是∠C的均分線。求證：BC＝AC＋ADADB

C圖123.已知：如圖

13所示，過的極點(diǎn)

A，在∠A內(nèi)任引一射線，過

B、C作此射線的垂線

BP和

CQ。設(shè)

M為BC的中點(diǎn)。求證：MP＝MQAQB

M

CP圖134.ABC中，BAC90，ADBC于D，求證：AD1ABACBC4初中幾何證明技巧證明兩線段相等兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。同一三角形中等角平等邊。等腰三角形頂角的均分線或底邊的高均分底邊。平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分紅的兩段相等。直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三極點(diǎn)距離相等。線段垂直均分線上隨意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。角均分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分紅的兩段相等。兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比率式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。等于同一線段的兩條線段相等。證明兩個角相等兩全等三角形的對應(yīng)角相等。同一三角形中等邊平等角。等腰三角形中，底邊上的中線（或高）均分頂角。兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線均分兩條切線的夾角。相像三角形的對應(yīng)角相等。*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。等于同一角的兩個角相等。證明兩條直線相互垂直等腰三角形的頂角均分線或底邊的中線垂直于底邊。三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。在一個三角形中，如有兩個角互余，則第三個角是直角。鄰補(bǔ)角的均分線相互垂直。一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。兩條直線訂交成直角則兩直線垂直。利用到一線段兩頭的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直均分線上。利用勾股定理的逆定理。利用菱形的對角線相互垂直。*10.在圓中均分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。*11.利用半圓上的圓周角是直角。證明兩直線平行垂直于同向來線的各直線平行。同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。平行四邊形的對邊平行。三角形的中位線平行于第三邊。梯形的中位線平行于兩底。平行于同向來線的兩直線平行。一條直線截三角形的兩邊（或延伸線）所得的線段對應(yīng)成比率，則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。延伸短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相像三角形的性質(zhì)等）。證明角的和差倍分1.與證明線段的和、差、倍、分思路同樣。2.利用角均分線的定義。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。證明線段不等同一三角形中，大角對大邊。垂線段最短。三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。全量大于它的任何一部分。證明兩角的不等同一三角形中，大邊對大角。2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5.全量大于它的任何一部分。證明比率式或等積式1.利用相像三角形對應(yīng)線段成比率。2.利用內(nèi)外角均分線定理。3.平行線截線段成比率。直角三角形中的比率中項(xiàng)定理即射影定理。5.與圓相關(guān)的比率定理---訂交弦定理、切割線定理及其推論。利用比利式或等積式化得。1、已知：AB=CD、AD圖,E、F是□ABCD的對角線AC上兩點(diǎn),AE=CF.求證:(1)△ABE≌△CDF.(2)BE∥DF.如圖,在□ABCD中,點(diǎn)E、F在對角線AC上,且AE=CF,請你以F為一個端點(diǎn),和圖中已標(biāo)有字母的某一點(diǎn)連成一條新線段,猜想并證明