若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化

關(guān)于若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化第1頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六1第一節(jié)歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)

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歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。第3頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六3

一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的，我們?cè)诘诙乱褜ｉT(mén)討論過(guò)，現(xiàn)再簡(jiǎn)要回顧一下。

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這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來(lái)源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。其實(shí)質(zhì)是：是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無(wú)理數(shù)。第5頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六5

當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說(shuō)法，回避了是無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的《幾何原本》中也采用了這一說(shuō)法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，依賴實(shí)數(shù)理論的建立。第6頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六6

二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。第7頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六71．危機(jī)的引發(fā)

1）牛頓的“無(wú)窮小”牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。我們來(lái)看一個(gè)例子。微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。第8頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六8

例如，設(shè)自由落體在時(shí)間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時(shí)速度，先求?！啵?）第9頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六9

當(dāng)變成無(wú)窮小時(shí)，右端的也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是，這就是物體在時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。第10頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六10

2）貝克萊的發(fā)難英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問(wèn)道：“無(wú)窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？第11頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六11

如果是0，上式左端當(dāng)成無(wú)窮小后分母為0，就沒(méi)有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。

在推出上式時(shí)，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時(shí)速度呢？

因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。（*）第12頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六12

貝克萊還諷刺挖苦說(shuō)：即然和都變成“無(wú)窮小”了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是，第13頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六13貝克萊的質(zhì)問(wèn)是擊中要害的數(shù)學(xué)家在將近200年的時(shí)間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“”語(yǔ)言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。第14頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六143）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的。“無(wú)窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時(shí)的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清“無(wú)窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！钡?5頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六15

2．危機(jī)的實(shí)質(zhì)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是“不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。第16頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六16

其實(shí)，在牛頓把瞬時(shí)速度說(shuō)成“物體所走的無(wú)窮小距離與所用的無(wú)窮小時(shí)間之比”的時(shí)候，這種說(shuō)法本身就是不明確的，是含糊的。當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說(shuō)明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時(shí)的比——例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。他這里雖然提出和使用了“極限”這個(gè)詞，但并沒(méi)有明確說(shuō)清這個(gè)詞的意思。第17頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六17

德國(guó)的萊布尼茨雖然也同時(shí)發(fā)明了微積分，但是也沒(méi)有明確給出極限的定義。正因?yàn)槿绱耍撕蠼倌觊g的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。所以，由“無(wú)窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。第18頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六18牛頓萊布尼茨第19頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六193．危機(jī)的解決

1）必要性微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問(wèn)題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。第20頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六20

而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒(méi)有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間任意通行（不考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題）。

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因此，進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面，大量的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無(wú)誤的。

歷史要求為微積分學(xué)說(shuō)奠基。第22頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六222）嚴(yán)格的極限理論的建立到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長(zhǎng)的。第23頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六23

①在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達(dá)朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫(xiě)的《無(wú)窮的悖論》一書(shū)中包含許多真知灼見(jiàn)。第24頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六24④而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無(wú)窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書(shū)上的差不太多了。第25頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六25柯西波爾查諾第26頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六263）嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立

①對(duì)以往理論的再認(rèn)識(shí)后來(lái)的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到，極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化。微積分或者說(shuō)數(shù)學(xué)分析，是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。第27頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六27

一件事是，1874年德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（，1815—1897）構(gòu)造了一個(gè)“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。“連續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒(méi)有間斷，連在一起”，而“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過(guò)：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯(cuò)誤的）。因此根本不可想象，還會(huì)有“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。

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魏爾斯特拉斯(1815～1897)

德意志帝國(guó)數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費(fèi)爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。1842～1856年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得柯尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。第29頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六29

魏爾斯特拉斯關(guān)于“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是

其中是奇數(shù)，，使。第30頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六30

另一件事是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann，1826—1866）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒(méi)有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)它是不連續(xù)的。第31頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六31

黎曼

1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。

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這些例子使數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越明白，在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ)方面，還需要再前進(jìn)一步：即需要理解和闡明實(shí)數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。第33頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六33

②魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)

德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）的努力，終于使分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來(lái)。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實(shí)數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的“”語(yǔ)言。第34頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六34“”語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在：這一語(yǔ)言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語(yǔ)，諸如“最終比”、“無(wú)限地趨近于”，等等。這樣一來(lái)，分析中的所有基本概念都可以通過(guò)實(shí)數(shù)和它們的基本運(yùn)算和關(guān)系精確地表述出來(lái)。第35頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六354）極限的“”定義及“貝克萊悖論”的消除

①極限的“”定義第36頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六36

定義：設(shè)函數(shù)在的附近都有定義，如果有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)（無(wú)論多么小的正數(shù)）。都（都能找到一個(gè)正數(shù)，依賴于），使當(dāng)時(shí)（滿足不等式的所有不等于的），有（這些對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與的差小于預(yù)先給定的任意小的）我們就說(shuō)“函數(shù)在趨近于時(shí)，有極限”。

記為。

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由極限的這個(gè)“”定義，可以求出一些基本的極限，并嚴(yán)格地建立一整套豐富的極限理論。簡(jiǎn)單說(shuō)，例如有

兩個(gè)相等的函數(shù)，取極限后仍相等；兩個(gè)函數(shù)，和的極限等于極限的和。等等。由此再建立嚴(yán)格的微積分理論。第38頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六38

②“貝克萊悖論”的消除

回到牛頓的（*）式上：（*）這是在（即）條件下，得到的等式；它表明時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為。（*）式等號(hào)兩邊都是的函數(shù)。然后，我們把物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng)趨于0時(shí)的極限，即物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度=。第39頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六39

下邊我們對(duì)（*）式的等號(hào)兩邊同時(shí)取極限，根據(jù)“兩個(gè)相等的函數(shù)取極限后仍相等”，得瞬時(shí)速度=再根據(jù)“兩個(gè)函數(shù)和的極限等于極限的和”，得然后再求極限得第40頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六40

上述過(guò)程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論”的焦點(diǎn)“無(wú)窮小量是不是0？”，在這里給出了明確的回答：。這里也沒(méi)有“最終比”或“無(wú)限趨近于”那樣含糊不清的說(shuō)法。第41頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六41

總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固。柯西的貢獻(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立數(shù)學(xué)分析（或者說(shuō)微積分）基礎(chǔ)的“邏輯順序”是：實(shí)數(shù)理論—極限理論—微積分。

而“歷史順序”則正好相反。第42頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六42知識(shí)的邏輯順序與歷史順序

有時(shí)是不同的.第43頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六43

三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1．“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光——集合論到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。第44頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六44

其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對(duì)象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對(duì)象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成的圖形為對(duì)象。同時(shí)，用集合論的語(yǔ)言，算術(shù)的對(duì)象可說(shuō)成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合”；微積分的對(duì)象可說(shuō)成是“以函數(shù)等組成的集合”；幾何的對(duì)象可說(shuō)成是“以點(diǎn)、線、面等組成的集合”。這樣一來(lái)，都是以集合為對(duì)象了。集合成了更基本的概念。第45頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六45

于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙光：可能會(huì)一勞永逸地?cái)[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機(jī)。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問(wèn)題。龐加萊甚至在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了！”第46頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六46

2．算術(shù)的集合論基礎(chǔ)

1）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)集合加上0——現(xiàn)在我國(guó)中小學(xué)就把這一集合稱為自然數(shù)集合。（算術(shù)）非負(fù)整數(shù)n→有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)圖形第47頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六47

因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，或者說(shuō)，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于解決了整個(gè)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格（G.Frege,1848—1925）就做了這樣的工作。他寫(xiě)了一本名叫《算術(shù)基礎(chǔ)》的書(shū)。第48頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六48弗雷格《算術(shù)基礎(chǔ)》第49頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六492)弗雷格的《算術(shù)基礎(chǔ)》

為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語(yǔ)言重新定義。首先從0說(shuō)起。0是什么？應(yīng)當(dāng)先回答0是什么，然后才有表示“0”的符號(hào)。第50頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六50

為此，先定義“空集”。空集是“不含元素的集合”。例如，“方程在實(shí)數(shù)集中的根的集合”就是一個(gè)空集，再例如“由最大的正整數(shù)組成的集合”也是一個(gè)空集。第51頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六51

所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的集合，（為說(shuō)話簡(jiǎn)單我們把“集合的集合”稱作類），這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號(hào)：0，中國(guó)人念“l(fā)ing”，英國(guó)人念“Zero”。

空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個(gè)元素了，即，0是一個(gè)元素了。由它再作成一個(gè)集合{0}，則不是空集了。第52頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六52

弗雷格再定義兩個(gè)集合間的雙射：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說(shuō)，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合間來(lái)回地映射，所以一般稱為“雙射”。弗雷格再定義兩個(gè)集合的“等價(jià)”：，能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合A、B稱為“等價(jià)”。第53頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六53

下邊可以定義“1”了。把與集合{0}等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號(hào)：1。再定義“2”。把與集合{0，1}等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類，就叫：2。然后，把與{0，1，2}等價(jià)的集合作成的類，叫：3。第54頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六54

一般地，在有了0，1，2，…，n的定義后，就把所有與集合{0，1，2，…，n}等價(jià)的集合放在一起，作成集合的集合，這樣的類，定義為：n+1。這種定義概念的方法，叫作“歸納定義”的方法。第55頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六55

這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅用到集合及集合等價(jià)的概念，把全部非負(fù)整數(shù)定義出來(lái)了。于是根據(jù)上邊說(shuō)的“可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)”，就可以說(shuō)，全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上了。第56頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六56

3．羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)

1）悖論引起震憾和危機(jī)正當(dāng)弗雷格即將出版他的《算術(shù)基礎(chǔ)》一書(shū)的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來(lái)了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來(lái)！”之后剛剛兩年，即1902年。第57頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六57

伯特蘭·羅素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

出生年月：1872-1970國(guó)籍：英國(guó)

學(xué)科成就：英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人，世界和平運(yùn)動(dòng)的倡導(dǎo)者和組織者。

所獲獎(jiǎng)項(xiàng)：1950年諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。

羅素第58頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六58

集合論中居然有邏輯上的矛盾！傾刻之間，算術(shù)的基礎(chǔ)動(dòng)搖了，整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)似乎也動(dòng)搖了。這一動(dòng)搖所帶來(lái)的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學(xué)就是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？

羅素悖論引發(fā)的危機(jī)，就稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第59頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六59

羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫(xiě)信告訴弗雷格。弗雷格在他的《算術(shù)基礎(chǔ)》一書(shū)的末尾無(wú)可奈何地寫(xiě)道：“一個(gè)科學(xué)家遇到的最不愉快的事莫過(guò)于，當(dāng)他的工作完成時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書(shū)即將印刷時(shí)，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地?！钡?0頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六60

2）羅素悖論在敘述羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合”，把后者稱為“正常集合”。第61頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六61

例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。第62頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六62羅素當(dāng)年的例子“異常集合”1：不多于29個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合“異常集合”2：不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合第63頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六63

羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合”（所有異常集合的集合），而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問(wèn)：集合是否是它本身的成員？（集合是否是異常集合？）第64頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六64

如果是它本身的成員，則按及的定義，是的成員，而不是的成員，即不是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即

如果不是它本身的成員，則按及的定義，是的成員，而不是的成員，即是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即

悖論在于：無(wú)論哪一種情況，都得出矛盾。第65頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六65

羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。第66頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六664．危機(jī)的消除

危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來(lái)。第67頁(yè)，共77頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)32分，星期六67

這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問(wèn)題的余地。羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來(lái)定義，造成惡性循環(huán)。