學(xué)科數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)課數(shù)分11第2021章精講學(xué)姐

考研人幫考研人，今天你的明天！主講老師： 老師考研人幫考研人，今天你的明天！2?

YY修改備注：“【欣途】真實(shí)

”；只有修改好備注，小老師才能夠核實(shí)你是欣途學(xué)員的

，才能在YY里面聽

課程。?

專業(yè)知識(shí)疑問，課程滿意度收集問卷課前提示考研人幫考研人，今天你的明天！3曲線積分重積分(1)課程總結(jié)互動(dòng)答疑01020304考研人幫考研人，今天你的明天！4曲線積分考研人幫考研人，今天你的明天！5曲線積分曲線積分第一型曲線積分：定義/計(jì)算第二型曲線積分：定義/計(jì)算兩類曲線積分的聯(lián)系考研人幫考研人，今天你的明天！6曲線積分的小曲線段Li

(i

1,2,...,n),Li的弧長記為si

,分割T的1inn||T

||0

i1點(diǎn)(i,i

)的取法無關(guān)，則稱此極限為f

(x,y)在L上的第一型曲線積分，記作L

f

(x,y)ds.L上的第一型曲線積分記作L

f

(x,y)ds.若有極限lim

f

(i,i

)si

J，且J的值與分割T與細(xì)度為||

T

||

maxsi

,在Li上任取一點(diǎn)(i,i

)(i

1,2,...,n).設(shè)L為平面上可求長度的曲線段，f

(x,y)為定義在L上的函數(shù).對(duì)曲線L作分割T，它把L分成n個(gè)可求長度?

第一型曲線積分①定義：幾何意義：以L為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面上截取0

z

f(x,y)的部分面積就是L

f

(x,y)ds.考研人幫考研人，今天你的明天！7曲線積分f

(

x,

y)ds

（iii）曲線L由

()表示，[,],函數(shù)()為定義在L上的連續(xù)函數(shù)，則f

((y),

y)

1

'2

(

y)dy.曲線L由x

(y)，y

[c,d

]表示,且(y)在[c,d

]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)，則f

(

x,(x))

1

'2

(

x)dx.（ii）曲線

L由y

(x)，x

[a,

b]表示,

且(x)在[a,

b]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)，

則f

(

x,

y)ds

x

(t),(t),（i）設(shè)有光滑曲線

L

:

y

t

[,],函數(shù)f

(

x,

y)為定義在

L上的連續(xù)函數(shù)，則cos

)f

(

,

sin

2

()

'2

()d.(t),

(t))f

(

'

2

(t)

'2

(t

)dt.LdL

cf

(

x,

y)ds

bL

af

(

x,

y)ds

L

②計(jì)算：考研人幫考研人，今天你的明天！8曲線積分例1

計(jì)算

z

2

a2被平面x

y

z

0所截得的圓周（.p213例3）22為球面x

y2x

ds,其中LL2L

L曲線積分的輪換對(duì)稱性：積分曲線為u(x,y)=0，若將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x仍仍滿u(y,x)=0，那么曲線積分就滿足輪換對(duì)稱性，所以有L

f

(x,y)ds

L

f

(y,x)ds.第二型曲線積分的輪換對(duì)稱性：設(shè)L是xoy面上的一條光滑或分段光滑的曲線弧，L對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f

(x,y)在L上連續(xù)，則

f

(x,

y)ds

f

(

y,

x)ds

1

[

f

(x,

y)

f

(

y,

x)]ds.考研人幫考研人，今天你的明天！9曲線積分?

第二型曲線積分①定義：L

P(x,y)dx

Q(x,y)dy或AB

P(x,y)dx

Q(x,y)dy為函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)沿有向線段L上的第二型曲線積分,簡(jiǎn)記為L

Pdx

Qdy；若L為封閉的有向曲線，則記為L

Pdx

Qdy.若記F

(x,y)(P(x,y)，Q(x,y)),ds

(dx,dy),則可記為

F

ds或

F

ds.L

AB第二類曲線積分與曲線

L的方向有關(guān)：對(duì)同一曲線，當(dāng)方向由A到B改為由B到A時(shí)，有AB

Pdx

Qdy

BA

Pdx

Qdy.考研人幫考研人，今天你的明天！10曲線積分(t),L

'

(t)

Q(

(t),

(t

))

'(t)]dt.P(x,

y)dx

Q(x,

y)dy

[P(

(t),

(t))x

(t),

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為((),())與((),()).又設(shè)P(x,y)與Q(x,y)為L上的連續(xù)函數(shù)，則沿L從A到B的第二型曲線積分②計(jì)算：設(shè)平面曲線L

:y

t

[,],函數(shù)f

(x,y)為定義在L上的連續(xù)函數(shù)，其中(t),(t)在[,]上考研人幫考研人，今天你的明天！11曲線積分例2

計(jì)算L

xydx

(

y

x)dy,

其中L分別沿如圖路線（. p217例1）

(i)直線AB；ACB（拋物線y

2(x

1)2

1）;ADBA（三角形周界）.考研人幫考研人，今天你的明天！12曲線積分?

兩類曲線積分的聯(lián)系

L[P(x,

y)

cos(t,

x)

Q(x,

y)

cos(t,

y)]ds.若P(x,y),Q(x,y)為曲線L上的連續(xù)函數(shù)，則:L

Pdx

Qdyx

x(s),且點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為(x(0),

y(0))與(x(l),

y(l)).曲線L上每一點(diǎn)的切線方向指向弧長增加的一方現(xiàn)設(shè)L為從A到B的有向光滑曲線，它以弧長s為參數(shù)，于是L：

y

y(s),0

s

l,其中l(wèi)為曲線L的全長

以(t,x),(t,y)分別表示切線方向t與x軸與y軸正向的夾角，則在曲線上的每一點(diǎn)的切線方向余弦是0ds

dscos(t,

x),

cos(t,

y).dx

dyl

[P(x(s),

y(s))

cos(t,

x)

Q(x(s),

y(s))

cos(t,

y)]ds考研人幫考研人，今天你的明天！13重積分(1)考研人幫考研人，今天你的明天！14重積分重積分二重積分三重積分定義計(jì)算（直角坐標(biāo)系下）格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性二重積分的變量變換重積分的應(yīng)用考研人幫考研人，今天你的明天！15重積分?

二重積分（1）定義：設(shè)f

(x,y)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù).J是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使對(duì)于D的任何分割T，當(dāng)它的細(xì)度||

T

||

時(shí)，屬于T的所有積分和都有則稱f

(x,y)在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f

(x,y)在D上的二重積分，記作J

f(x,y)d,其中f

(x,y)稱為二重積分的被積函數(shù)，x，y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域.D幾何意義：ni

i

if

(,)

J

,i1f

(x,y)

0時(shí)，二重積分

f

(x,y)d表示以

z

f

(x,y)為曲頂，D為底的曲頂柱體的體積

.Df

(x,y)

1時(shí)，二重積分

f

(x,y)d的值等于積分區(qū)域D的面積.D考研人幫考研人，今天你的明天！16重積分f

(x,y)dx存在f

(x,y)dy存在（2）計(jì)算(直角坐標(biāo)系下)：

badc

Df

(x,

y)ddy f

(x,

y)dx.f

(x,y)dx也存在，且ad

bcbay

[c,d

]，積分dcbaDf

(x,

y)ddx f

(x,

y)dy.f

(x,y)dy也存在，且cb

dadcx

[a,b]，積分則累次積分

dy則累次積分

dx上可積，且對(duì)于每個(gè)②設(shè)f

(x,y)在矩形區(qū)域D

[a,

b][c,d]上可積，且對(duì)于每個(gè)①設(shè)f

(x,y)在矩形區(qū)域D

[a,

b][c,d]考研人幫考研人，今天你的明天！17重積分x型區(qū)域：D

{(x,y)|

y1(x)

y

y2

(x)，a

x

b}y型區(qū)域：D

{(x,y)|

x1(y)

x

x2

(y)，c

y

d}1

21

21x1

(

y)y

(

x)a

cDdx

(

y)2④若f

(x,y)在y型區(qū)域D上連續(xù)，其中x

(y)，x

(y)在[c,d

]上連續(xù)，則f

(x,y)ddyf

(x,

y)dx.Dby

(

x)2③若f

(x,y)在x型區(qū)域D上連續(xù)，其中y

(x)，y

(x)在[a,b]上連續(xù)，則f

(x,y)ddxf

(x,

y)dy.考研人幫考研人，今天你的明天！18重積分例3

求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍 的體積V（. p234例4）考研人幫考研人，今天你的明天！19重積分（3）格林公式：若函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有QP為便于，格林公式也可以寫成：

xDL(DQ

Px

y

)dPdx

Qdy.y

d

LPdx

Qdy.格林公式這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界先，分段光滑，并取正方向.L的方向怎么看？考研人幫考研人，今天你的明天！20重積分

y2L

x2例4

計(jì)算I

xdy

ydx

,

其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域的邊界曲線，分段光滑（.

p239例2）考研人幫考研人，今天你的明天！21

y2x2xdy

ydx.L推廣

若L包含原點(diǎn)，計(jì)算I

重積分考研人幫考研人，今天你的明天！22重積分（4）曲線積分與路線的無關(guān)性：設(shè)D是單連通區(qū)域.若P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)①沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L，有L

Pdx

Qdy

0；②對(duì)D中任一按段光滑曲線L，曲線積分L

Pdx

Qdy與路線無關(guān)，只與L的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān)；③Pdx

Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內(nèi)有du

Pdx

Qdy；④在D內(nèi)處處成立P

Q

.y

x考研人幫考研人，今天你的明天！23重積分習(xí)題（5

2））（.

p244例5

計(jì)算(

0，0)2

2(2xcosy

-

y sin

x)dx

(2

y

cos

x

x

sin

y)dy(

x,

y

)考研人幫考研人，今天你的明天！24重積分（5）二重積分的變量變換①二重積分的變量變換公式：設(shè)f

(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積，變換T：x

x(u,v),y

y(u,v)將uv平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對(duì)一地映成xy平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x(u,v)，y(u,v)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們D

x

r

cos,設(shè)f

(x,y)滿足①中條件，且在極坐標(biāo)變換T

:y

r

sin,0

r

,0

2下，xy平面上有界閉區(qū)域D與r平面上區(qū)域?qū)?yīng)，則成立

f

(x,y)dxdy

f

(r

cos,r

sin)rdrd.D

二重積分在極坐標(biāo)系下如何化為累次積分計(jì)算？？？(u,

v)②用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分：的函數(shù)行列式J

(u,v)

(x,y)

0,(u,v)

,則

f

(x,y)dxdy

f

(x(u,v),y(u,v))J

(u,v)dudv.考研人幫考研人，今天你的明天！25222:

r1()

r

r2(),:1(r)

2(r),r1

r

r2r

()f

(r

cos,rsin

)rdrf

(r

cos,rsin

)drr1

(r

)1(r

)