2023版新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題十一二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

11.3二項(xiàng)分布與正態(tài)分布考點(diǎn)一條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布、全概率公式1.條件概率及其性質(zhì)1)一般地,設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=

為在事件A發(fā)

生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.2)條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則①P(Ω|A)=1;②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).③設(shè)

和B互為對立事件,則P(

|A)=1-P(B|A).2.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>

0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有P(B)=

稱此公式為全概率公式.3.相互獨(dú)立事件1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱A、B是相互獨(dú)立

事件.2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)·P(A)=P(A)·P(B).3)若A與B相互獨(dú)立,則A與

,

與B,

與

也都相互獨(dú)立.4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.4.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1)n重伯努利試驗(yàn)①定義:將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n

重伯努利試驗(yàn).②用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果,則P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分

布,記作X~B(n,p).5.二項(xiàng)分布的均值與方差若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).考點(diǎn)二正態(tài)分布1.正態(tài)曲線函數(shù)f(x)=

·

,x∈R(其中μ∈R和σ(σ>0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.2.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,

記為X~N(μ,σ2).特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.3.正態(tài)分布的均值和方差若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)1)曲線位于x軸上方且與x軸不相交;2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;3)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

;4)當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸;5)曲線與x軸之間區(qū)域的面積為1;6)當(dāng)σ一定時(shí),曲線隨著μ的變化而沿x軸移動;7)當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”;σ越大,曲線越

“矮胖”.5.3σ原則1)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.2)3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.考法一條件概率的求法1.求條件概率的3種方法1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=

求P(B|A).2)樣本點(diǎn)個數(shù)法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的樣本點(diǎn)個數(shù)n(A),再求事件AB包含的樣本點(diǎn)個數(shù)n(AB),得P(B|A)=

.3)縮樣法:去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型概率公

式求解.2.全概率公式的應(yīng)用全概率公式的意義在于,當(dāng)直接計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時(shí),可

以先找到樣本空間Ω的一個劃分=A1∪A2∪…∪An,A1,A2,…,An兩兩互斥,將

A1,A2,…,An看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一組原因,這樣事件B就被分解成了n個部

分,分別計(jì)算P(B|A1),P(B|A2),…,P(B|An),再利用全概率公式求解.運(yùn)用全概率公式計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)時(shí),一般步驟如下:1)求劃分后的每個小事件的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n;2)求每個小事件發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,即P(B|Ai),i=1,2,…,n;3)利用全概率公式計(jì)算P(B),即P(B)=

.例1(1)(2021長春二模)已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題,每次從

中抽取一道題,抽出的題不再放回.在第1次抽到代數(shù)題的條件下,第2次抽

到幾何題的概率為

(

)A.

B.

C.

D.

(2)(2021哈爾濱一中期中)“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋

時(shí)期《大戴禮》中,n階幻方(n≥3,n∈N*)是由前n2個正整數(shù)組成的一個n

階方陣,其各行各列及兩條對角線所含的n個數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15.現(xiàn)從如圖所示的3階幻方中任取3個不同的

數(shù),記“取到的3個數(shù)和為15”為事件A,“取到的3個數(shù)可以構(gòu)成一個等

差數(shù)列”為事件B,則P(B|A)=(

)A.

B.

C.

D.

(3)某射擊小組共有20名射手,其中一級射手4人,二級射手8人,三級射手7

人,四級射手1人,一、二、三、四級射手通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別

是0.9,0.7,0.5,0.2,則任選一名射手能夠通過選拔進(jìn)入比賽的概率為

(

)A.0.645

B.0.625

C.0.545

D.0.525解析(1)設(shè)事件A=“第1次抽到代數(shù)題”,事件B=“第2次抽到幾何題”,則P(A)=

,P(AB)=

,則P(B|A)=

=

=

.(2)事件A包含的基本事件有(8,1,6),(3,5,7),(4,9,2),(8,3,4),(1,5,9),(6,7,2),(8,

5,2),(4,5,6),共8個.事件AB包含的基本事件有(3,5,7),(1,5,9),(8,5,2),(4,5,6),

共4個,所以P(B|A)=

=

=

.(3)設(shè)事件A表示“射手能通過選拔進(jìn)入比賽”,設(shè)事件Bi表示“射手是第

i級射手”.(i=1,2,3,4)顯然,B1、B2、B3、B4構(gòu)成一個完備事件組,且P(B1)=

,P(B2)=

,P(B3)=

,P(B4)=

,P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.7,P(A|B3)=0.5,P(A|B4)=0.2.由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)·P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=0.9×

+0.7×

+0.5×

+0.2×

=0.645.故選A.答案(1)C

(2)A

(3)A考法二

n重伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布問題的求解方法1.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的判斷1)n重伯努利試驗(yàn)滿足的條件:①在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行;②各次試驗(yàn)之

間相互獨(dú)立.2)二項(xiàng)分布模型的確定一般地,確定一個二項(xiàng)分布模型的步驟如下:①明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義,確定事件A發(fā)生的概率p;②確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n,并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性;③設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,p).2.n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率求法n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次可看作

個互斥事件的和,其中每一個事件都可看作k個A事件與(n-k)個

事件同時(shí)發(fā)生,只是發(fā)生的次序不同,其發(fā)生的概率都是pk(1-p)n-k(其中p為在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率).

因此,n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為

pk(1-p)n-k.例2從裝有5個正品和1個次品的同批次電子元件的盒子中隨機(jī)抽取出3

個,再將電子元件放回.重復(fù)6次這樣的試驗(yàn),那么“取出的3個電子元件中

有2個正品,1個次品”的結(jié)果恰好發(fā)生3次的概率是

(

)A.

B.

C.

D.

解析取出的3個電子元件中有2個正品,1個次品的概率為

=

.記6次中“取出的3個電子元件中有2個正品,1個次品”的結(jié)果發(fā)生的次數(shù)為X,則X~B

,則P(X=3)=

×

=

.答案B考法三正態(tài)分布問題的求解方法若X~N(μ,σ2),則1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5;2)對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a);5)利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值直接

求.例3(2021江蘇連云港一模,7)中長跑是一項(xiàng)對學(xué)生身體鍛煉價(jià)值較高的

運(yùn)動項(xiàng)目,在某校的一次中長跑比賽中,全體參賽學(xué)生的成績近似地服從

正態(tài)分布N(80,100),已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有32名,則參賽

的學(xué)生總數(shù)約為

(

)(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,