二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

概念及定義：yax2bxc（aa0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．二次函數(shù)各種形式之間的變換：二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成：yaxh2b 4acb2h ，k .2a 4a

k的形式，其中二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：① yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.二次函數(shù)解析式的表示方法：一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0；頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0；ya(xx)(xx)（a0x

是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.1 2 1 2以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0.yax2的性質(zhì)：開(kāi)口方向開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上y軸a0向下y軸性質(zhì)x0yx的增大而增大；x0yx0有最小值0x0時(shí)，y隨x的增大增大而減?。粁0yxx0y大值0．yax2c的性質(zhì)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上y軸性質(zhì)性質(zhì)x開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上y軸性質(zhì)性質(zhì)x0x0x的增大而減?。粁0時(shí)，y有最小值c．a(chǎn)0向下y軸x0x0隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．開(kāi)口方向開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸a0向上X=h性質(zhì)xh時(shí)，yxh時(shí)，yx的xhy有最小值0．a(chǎn)0向下X=hxh時(shí)，yxh時(shí)，yx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．a(chǎn)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上X=h性質(zhì)xhya的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上X=h性質(zhì)xhyx的增大而增大；xhyx的增大而減?。粁h時(shí)，y有最小值k．a(chǎn)0向下X=hxhyx的增大而減??；xhy隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．yax2bxca的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.對(duì)稱軸：平行于y軸（或重合）x

byx0.2a

b 4acb2 ， 2a 4aayax2bxca,bc與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．⑴當(dāng)a0a越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大；⑵當(dāng)a0a越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大．總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大?。淮雾?xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，當(dāng)b0b2a當(dāng)b0b2a當(dāng)b0b2a

0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；0y軸的右側(cè)．⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0b2a當(dāng)b0b2a當(dāng)b0b2a

0y軸右側(cè)；0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．常數(shù)項(xiàng)c⑴當(dāng)c0yxy軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0yy軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

b2

4acb2

b 4acb2yax2

bxcax

2a 4a

，頂點(diǎn)（ ， ，2a 4axb.2ayaxh點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線xh.

k用配方法求得的頂點(diǎn)與用公式法或?qū)ΨQ性得到的頂點(diǎn)是一致的.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式y(tǒng)ax2bxcxy頂點(diǎn)式：yaxh

kxxx1 2

，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1

xx.2直線與拋物線的交點(diǎn)yyax2bxc(0,c).與yxhyax2bxc(h,ah

bhc).x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)yax2bxcx軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、x1 2

ax2bxc0x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)（x軸上）0x軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2

bxckykxlyax2bx0Gykxn的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解yax2bxc時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G無(wú)解時(shí)l與G拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxcx軸兩交點(diǎn)為x0B

0，由于x、

是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，故1xx

2 1 2b,xx cABx1

1 2x 2

a 1 2 axx2xxx2xx24xx b2a4cab24acaa1 2 1 2 12二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)x軸對(duì)稱yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxh2k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2k；y軸對(duì)稱yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxh2k關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2k；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxh2k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2k；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱2 b2yaxbxcyax2bxc2a；yaxh2k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2k．