配套課件1.曲線與方程定義

第五節(jié)曲線與方程【知識(shí)梳理】1.曲線與方程的定義一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系:這個(gè)方程曲線上那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟任意x,y所求方程【考點(diǎn)自測(cè)】1.(思考)給出下列命題：①f(x0，y0)=0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)=0上的充要條件；②方程x2+xy=x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線；③到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2=y2；④方程y=

x

與x=y2表示同一曲線.其中錯(cuò)誤的是(

)A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②④【解析】選B.①正確.由f(x0，y0)=0可知點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)=0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)=0上時(shí)，有f(x0，y0)=0，所以f(x0，y0)=0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)=0上的充要條件.②錯(cuò)誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.③錯(cuò)誤.當(dāng)以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時(shí)，是x2=y2，否則不正確.④錯(cuò)誤.因?yàn)榉匠蘺=

x表示的曲線只是方程x=y2表示曲線的一部分，故其不正確.2.(2015·廈門(mén)模擬)方程|x|-1=A.一個(gè)圓 B.兩個(gè)圓C.半個(gè)圓 D.兩個(gè)半圓所表示的曲線是(

)1

y

12【解析】選D.由題意得

x

1

x

12

1

y

12

，

x

12

y

12

1，即

x

1

0，x

12

y

12

1x

1.或3.(2015·福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(-1，3)，若點(diǎn)C滿足

OC

1

OA

2

OB

(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，則點(diǎn)C的軌跡是(

)A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線【解析】選A.設(shè)C(x,y)，因?yàn)镺C

OA

所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1

21,3),即x

31

1

22y

3

,10解又λ1+λ2=1，所以y

3x

3y

即xx+12y=5，10

10所以點(diǎn)C的軌跡為直線,故選A.4.方程x2+xy=0表示的曲線是

.【解析】因?yàn)閤2+xy=0，所以x(x+y)=0，所以x=0或x+y=0，所以方程x2+xy=0表示兩條直線.答案：兩條直線25.若方程ax2＋by＝4的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2)和

B(1，3)

則a＝2

，b＝

.【解析】因?yàn)榍€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2)和B(1，3)4a

02

2b

4,所以a

1

3b

4,解得：a＝16-8

3,b＝2.答案：16-8

3

2考點(diǎn)1

定義法求點(diǎn)的軌跡方程【典例1】(1)△ABC的頂點(diǎn)A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是

.(2)已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1，x2+(y-2)2=1外切，圓C的圓心軌跡方L，設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x，y)的距離的最小值為m，點(diǎn)F(0，1)與點(diǎn)M(x，y)的距離為n.①求圓C的圓心軌跡L的方程；②求滿足條件m=n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程.【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)題設(shè)條件，尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩定點(diǎn)A，B距離的差滿足的等量關(guān)系|CA|-|CB|=6，由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分，再求其方程.(2)①將圓C與另外兩圓都相外切，轉(zhuǎn)化為圓心距與兩圓半徑和之間的關(guān)系.②m=n說(shuō)明到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等.【規(guī)范解答】(1)如圖，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方

1x

3.x2

y29

16答案：x2

1x

32

y9

16(2)①兩圓半徑都為1，兩圓圓心分別為C1(0，-4)，C2(0，2)，由題意得|CC1|=|CC2|，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點(diǎn)為(0，-1)，直線C1C2的斜率不存在，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，其方y(tǒng)=-1，即圓C的圓心軌跡L的方y(tǒng)=-1.②因?yàn)閙=n，所以M(x，y)到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F(0，1)的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡Q是以y=-1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F(0，1)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，而p=1，即p=2，所以，軌跡Q的方程是x2=4y.2【易錯(cuò)警示】準(zhǔn)確把握雙曲線的定義的錯(cuò)誤結(jié)果，其原因是對(duì)雙曲線的定義理解錯(cuò)誤或沒(méi)有注意到頂點(diǎn)C始終在x=3的右側(cè).2在本例(1)中易出現(xiàn)x2y9

16

＝1【規(guī)律方法】定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵適用條件：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.關(guān)鍵：定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義.提醒：弄清各種常見(jiàn)曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】(2015·福州模擬)已知點(diǎn)M(-3，0)，N(3，0)，B(1，0)，2A.x

-2=1(x>1) B.x

- =1(x<-1)C.x2+

y2

=1(x>0)8動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方

(

)y2

y28

8D.x2-

y2

=1(x>1)10【解析】選A.設(shè)直線MP，NP與圓的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，

，2b2=8.故方 x

- =1(x>1)，故選A.則|PE|=|PF|，|ME|=|MB|，|NF|=|NB|.從而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|，所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支(不包含右頂點(diǎn))，所以a=1，c=3，則y28【加固訓(xùn)練】1.已知定點(diǎn)F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2+y2=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【解析】選B.設(shè)N(a，b)，M(x，y)，則a＝x

2，b代＝入y

圓O的方2

2點(diǎn)M的軌跡方程是(x-2)2+y2=22，此時(shí)||PF1|-|PF2||=||PM|-|PF2||=|MF2|=(x

2)2

=y22

，2<|F1F2|，故所求的軌跡是雙曲線.=|3x+4y-11|，則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線【解析】選D.設(shè)定點(diǎn)F(1，2)，定直線l：3x+4y-11=0，則由已知得y-2= (x-1)，軌跡是過(guò)點(diǎn)F(1，2)且與直線l垂直的直線，其方即4x-3y+2=0.2.動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足5(x

1)2

(y

2)2PF＝

x

12

y

225點(diǎn)P到直線l的距離d＝

3x

4y

11

.PFd＝1

但注意到點(diǎn)F(1，2)恰在直線l上，所以點(diǎn)P的43(x>0且y≠0)3.在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B,C為定點(diǎn)，B(

a

，0)2

2C(a

，0)

(a>0)，且滿足條件sin

C-sin

B＝

1

sin

A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是

.2【解析】由正弦定理，得AB

AC2R

2R

2

2R

＝(R1

為

B外C接圓半徑)，所以|AB|-|AC|＝1|BC|，且為雙曲線右支.22答案：16x2

16ya23a2＝1考點(diǎn)2

直接法求點(diǎn)的軌跡方程【考情】直接法求軌跡方程是求軌跡方程的一個(gè)重要方法，也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，該部分大多數(shù)是以解答題的形式出現(xiàn)，考查求軌跡方程的方法，曲線與方程的定義，基本運(yùn)算能力等.高頻考點(diǎn)通關(guān)【典例2】(1)已知M(-2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方

(

)A.x2+y2=2

B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x≠±2)

D.x2+y2=4(x≠±2)1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F(-1，0)，2F

(1，0)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)①求橢圓C的離心率.②設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0，2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且

求點(diǎn)Q的軌跡方程.(2)已知橢圓C：x2a2

b22

y

14

1P(

,

)3

32

1

1AQ

2

AM

2

AN

2

【解題視點(diǎn)】(1)利用勾股定理得等量關(guān)系，坐標(biāo)化得方程，根據(jù)三角形限定條件.(2)①依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出c的值；由橢圓的定義可求出2a的值.②可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，依據(jù)題設(shè)中的等式求解.【規(guī)范解答】(1)選D.設(shè)P(x，y)，則|PM|2＋|PN|2＝|MN|2，所以x2＋y2＝4(x≠±2).(2)①由橢圓定義知，

2a=|PF1|+|PF2|又由已知,c=1, (

4

1)2

(1)2

(

4

1)2

(1)2

2

2,2.3

3

3

3所以a

12

.a所以橢圓C的離心率e

c

22②由①知，橢圓C的方設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).x22

y

1.2當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0，1)，(0，-1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，2

3 5

).5當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方

y=kx+2.因?yàn)镸,N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2)，則|AM|2=(1+k2)x1

,2|AN|2=(1+k2)x2

.2又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.21

k2

x2

22122221

21

2x

2

xx

x

2

2x

x

1

2

1 2

.(*)2x22

1

1AQ

2

AM

2

AN

2111

k2

x,1

k

x2

1

1x2

x

2

x

1中，2將y

kx

2代入

y得2k2

1x2

8kx

6

0.(**)由

,得即

由(**)可知，x1

x2由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6＞0,得k2＞3

.21

28k

6 ,

x

x

2k2

1,2k2

118.(***)代入(*)中并化簡(jiǎn)，得x2

10k2

3因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上，所以k

y

2

,代入(***)中x并化簡(jiǎn)，得10(y-2)2-3x2=18.由(***)及k2＞3

可,23

,2知0＜x2＜6

).又(0,

2

3

5

)滿足10y

22

3x2

18,52

2即x

(

6

,

0)

(0,由題意，Q(x,y)在橢圓C內(nèi)，所以-1≤y≤1,又由10(y-2)2=18+3x2有所以，點(diǎn)Q的軌跡方10(y-2)2-3x2=18，6

,6

).2

2故x

((y-2)2∈9

9且-1≤y≤1,[

,

)5 4

則y∈

13

5].2

5( ,

2

6

,6

),

y(

1

,

2

3 5

].2

2

2

5其中x

(【通關(guān)錦囊】高考指數(shù)重點(diǎn)題型策

略◆◆◆已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的等式，求點(diǎn)的軌跡方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題設(shè)中的等式及其他知識(shí)，得出方程即可◆◆◆題設(shè)中沒(méi)有明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題設(shè)中的條件尋找等量關(guān)系，得出方程，然后判斷其軌跡【關(guān)注題型】【特別提醒】在解決直線與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意變量的取值范圍，否則易出現(xiàn)增根.◆

已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足

的等式，判斷其軌跡(或圖形)把等式轉(zhuǎn)化為熟知的方程即可判斷，或舉特例用排除法求解【通關(guān)題組】1.(2015·漳州模擬)有一動(dòng)圓P恒過(guò)定點(diǎn)F(a，0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A，B，若△ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為(

)A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓即點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.【解析】選B.設(shè)P(x,y)，動(dòng)圓P的半徑為R，由于△ABP為正三角形，所以P到y(tǒng)軸的距離d

3

R，即

x而R=3|RP,F|=2

222(x

a)

y22所以

3化簡(jiǎn)得2x

x

a

y

,y212a2

4a2x

3a2

12.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4，0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.已知點(diǎn)B(-1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)設(shè)圓心C(x,y),線段MN的中點(diǎn)為E，由幾何圖象知得k2x2+2kbx+b2=8x，k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0)，設(shè)P(x1，kx1+b)，Q(x2，kx2+b)，ME

MCNA,2=CM2=ME2+EC2?(x－4)2+y2=42+x2?y2=8x.2(2)設(shè)直線l的方

y=kx+b,聯(lián)立方程組y2

8x,y

kx

b,即k=-b,故直線l的方y(tǒng)=k(x-1),直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0).b2,

x1x2

k2

,8－2kb

k2則x1

x2

kx1

b

kx2

b則kPB

kQB1

21

2

1

2若x軸是PBQ的角平分線，x

1

x

1

kx1

bx2

1

kx2

bx1

1x1

1(x2

1)

2kx1x2

k

bx1

x2

2b

8k

b

0,x

1x

1

k2

x

1x

1成等差數(shù)列，那么點(diǎn)P(x，y)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是(

)A.一段圓弧

B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分【加固訓(xùn)練】如果三個(gè)數(shù)a2

2x，a y

x

a

2x(a

0且a

1)【解析】選C.由題意可得

2y

x＝

2

2x＋

2x兩邊平方后整理可得4(x

1)2

4(y

1)2＝12

2又y-x≥0,2-2x≥0，-2x≥0，可知選C.考點(diǎn)3

相關(guān)點(diǎn)(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程【典例3】(1)已知點(diǎn)A(-2，0)，B(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足

PA

PB=x2-6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是

.(2)(2013·福建高考)如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10)，分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為

A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9，連接OBi，過(guò)Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9).①求證：點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；②過(guò)點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4∶1，求直線l的方程.【解題視點(diǎn)】(1)可由

PA

=PBx2-6及P，A，B三點(diǎn)的坐標(biāo)直接寫(xiě)出方程，進(jìn)而得出軌跡.(2)①注意Pi是直線OBi與過(guò)Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線的交點(diǎn)，適當(dāng)選擇一個(gè)參數(shù)即可；②將面積相等轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求解.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足PA

=PBx2-6，所以(-2-x，-y)·(3-x，-y)=x2-6，化簡(jiǎn)，得y2=x，所以軌跡為拋物線.答案：拋物線(2)①方法一：依題意，過(guò)Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方坐標(biāo)為(x，y)，由

i10x=i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方

y=

i

x.設(shè)Pi的x

i，

10y

x得y=1

x2，即x2=10y.10所以點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2=10y.方法二：點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在拋物線E：x2=10y上.證明如下：過(guò)Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方x=i，iy=

i

x.因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x2=10y，所以點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方x2=10y.10i

解得P的坐標(biāo)為y

x,由Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方x

i，10210(i，i

)②依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方得x2-10kx-100=0.△

△因?yàn)?，所以|x1|=4|x2|.又因?yàn)閤1·x2<0，所以x1=-4x2，2y=kx+10.由y

kx

1x

10yx

1

2此時(shí)Δ=100k2+400>0，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則

x1

x2

10k①，x

100②所以直線l的方4x

2

100

2分別代入①和②，得

3x2

1解0k得，k=±

.32y=±3x+10，即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.2結(jié)果如何？【解析】因?yàn)镻A

PB

0所以(-2-x,-y)·(3-x,-y)=0.所以軌跡為圓.答案：圓【互動(dòng)探究】若題(1)中的“PA

PB

=x2-6”改為“PA

PB

=0”24即x2+y2-x-6=0(,x

1)2

y2

25

,【易錯(cuò)警示】本例(1)易出現(xiàn)y2=x的結(jié)論，其原因是沒(méi)有的軌跡與軌跡方程是不同的.【規(guī)律方法】相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程的適用條件動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)與另外一動(dòng)點(diǎn)有聯(lián)系，而這一動(dòng)點(diǎn)在某一已知曲線上.參數(shù)法求軌跡方程的適用條件動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式，也沒(méi)有明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過(guò)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與某一個(gè)量或某兩個(gè)變量(角、斜率、比值、截距等)有關(guān).【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(-1，2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|=|MQ|，則點(diǎn)Q的軌跡方程是(

)A.