四川省成都市郫都區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測（二）文科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

第20頁/共20頁郫都區(qū)高2020級階段性檢測（二）數(shù)學(xué)（文）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）.第I卷1至2頁，第II卷3至4頁，共4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.考生作答時，必須將答案答在答題上上，在本試卷?草稿紙上答題無效.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第I卷（選擇題，共60分）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算求解即可.【詳解】解：由題知集合，所以故選：C2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】因為所以，即虛部為-1.故選：A3.某校從400名教師中抽取20名調(diào)查其使用多媒體教學(xué)的情況，這20名教師使用多媒體教學(xué)的次數(shù)用莖葉圖表示（如圖），據(jù)此可估計該校400名教師中，使用多媒體教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)約為（）A.100 B.160 C.200 D.280【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的莖葉圖，求出樣本中數(shù)據(jù)在內(nèi)的頻率，再求出總體中在內(nèi)的頻數(shù)作答.【詳解】由莖葉圖知，樣本中多媒體教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為8，頻率為，所以估計該校400名教師中，使用多媒體教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)約為.故選：B4.設(shè)，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】舉例說明充分性不滿足，由兩角和的平方關(guān)系說明必要性成立，從而得答案.【詳解】解：當(dāng)時，滿足，但，所以充分性不滿足；當(dāng)時，由，可得，所以必要性滿足；所以是的必要不充分條件.故選：B.5.某單位為了了解辦公樓用電量（度）與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了四個工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，如下表：氣溫181310用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為，當(dāng)氣溫為時，預(yù)測用電量為（）A.68度 B.67度 C.66度 D.52度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出樣本中心，利用回歸方程必過樣本中心即可求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，，因為回歸方程為過樣本中心，所以，所以當(dāng)時，.故選：A.6.阿波羅尼斯研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點C到，的距離之比為，則點C到直線的最小距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，依題意求出點的軌跡方程，進而可求點到直線的距離的最小值．【詳解】解：由題意，設(shè)，由，，因為，所以，即，所以點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，又點到直線的距離，所以點到直線的距離的最小值為．故選：A．7.《賣油翁》中寫道：“（油）自錢孔入，而錢不濕”，其技藝讓人嘆為觀止，已知銅錢是直徑為的圓，中間有邊長為的正方形孔，若隨機向銅錢滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中而錢不濕的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別計算銅錢圓的面積以及正方形孔的面積，再利用幾何概型求概率.【詳解】直徑為的圓的面積,邊長為的正方形的面積為，則油正好落入孔中而錢不濕的概率為.故選：D8.在如圖所示的程序框圖中輸入，則輸出的數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按照程序框圖得到輸出，再利用裂項相消法求和得到答案.【詳解】，，，，，，，……，，，，，，不小于2022，故輸出，故選：C9.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象關(guān)于點對稱C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解：由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，又，所以，所以.當(dāng)時，，故函數(shù)關(guān)于對稱，故A錯誤；當(dāng)時，，即函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)圖象，故C錯誤；當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，因為，，，所以方程在上有兩個不相等的實數(shù)根時，的取值范圍是，故D正確.故選：D10.如圖所示，在中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1．在三角形內(nèi)挖去半圓（圓心O在邊BC上，半圓與BC相交于N，與AC相切于點C，與AB相切于點M），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓錐內(nèi)挖去一個球,由已知求解三角形可得圓的半徑,再由圓錐體積減去球的體積即可得到答案.【詳解】如圖,連接,則.設(shè)圓的半徑為r,因為,所以.在直角△ACB中,又,，所以,則，解得：.圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓錐內(nèi)挖去一個球,圓錐的底面半徑為1,高為,球的半徑為,則所求體積為.故選：B11.在?中，?為?內(nèi)（包括邊界)的動點，且?，則?的取值范圍是（）A? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，由題可設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，為所在平面內(nèi)的動點，且PC可設(shè)，則，，，其中，的取值范圍是.故選：B.12.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，由題意可得為定義域上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；分與兩類討論，將不等式等價轉(zhuǎn)化為與，分別解之即可．【詳解】令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當(dāng)，即時，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當(dāng)，即時，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．第II卷（非選擇題，共90分）二?填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.13.已知圓，直線，若直線截圓所得弦長為2，則______.【答案】【解析】【分析】利用點到直線的距離公式和弦長公式即可.【詳解】設(shè)直線與圓的交點為,圓心到直線的距離為，半徑.由題直線截圓所得弦長,所以.因為，所以.故答案為:.14.已知實數(shù)滿足不等式組，則的最小值為______．【答案】0【解析】【分析】由不等式組作出可行域，令，問題轉(zhuǎn)化為直線在軸上的截距取最小值的問題，求解即可.【詳解】由不等式組作出可行域如圖，令，得，則表示直線在軸上的截距，由圖可得，當(dāng)直線過點時，最小，即最小，由，得，所以，即的最小值為0．故答案為：0．15.如圖，為測量坡高MN，選擇A和另一個山坡的坡頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點測得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，則坡高MN=______米．【答案】75【解析】【分析】由題意,可先求出AC的值,從而由正弦定理可求AM的值,在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,從而可求得MN的值【詳解】解：在△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=50m,在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,從而∠AMC=45°,由正弦定理得,,即,因此AM=50m在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,由,得MN=50×=75m故答案為75【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,考查解三角形的實際應(yīng)用,考查運算能力16.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像上沒有關(guān)于原點對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的圖象對應(yīng)的解析式，再構(gòu)造函數(shù)并利用方程無解求解作答.【詳解】令點關(guān)于原點對稱的點在的圖象上，于是得，整理得，因函數(shù)的圖像上沒有關(guān)于原點對稱的點，則函數(shù)與的圖象無公共點，即方程無正實根，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即函數(shù)值域為，由方程無正實根知，，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：三?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟.17.在等差數(shù)列中，，前8項和（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用基本量表示題干條件，求解，即得解；（2）設(shè)，利用等比數(shù)列的通項公式可得，故，分組求和即可.【小問1詳解】由題意，即解得：因此.【小問2詳解】設(shè)依題意因此設(shè)前n項和為18.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校抽取2000名學(xué)生進行了航天知識競賽并紀錄得分（滿分：100分），根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：，繪制出如下的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求競賽學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）先從得分在的學(xué)生中利用分層抽樣選出6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中選出2人參加有關(guān)航天知識演講活動，求選出的2人競賽得分都不低于70分的概率.【答案】（1）眾數(shù)為75分；中位數(shù)為72.5分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖運算求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合分層抽樣求每組抽取的人數(shù)，利用列舉法解決古典概型的概率問題.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知：的頻率最大，則眾數(shù)為75分；∵的頻率分別為，設(shè)中位數(shù)為x，則，由題意可得：，解得，故中位數(shù)為72.5分.【小問2詳解】因為人數(shù)之比為1：2，所以應(yīng)抽取2人，設(shè)為A，B，應(yīng)抽取4人，設(shè)為C，D，E，F(xiàn)，這6人中再任選2人，共15種不同選法，如下：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，其中選出的2人競賽得分都不低于70分的概率包含6種，故選出的2人競賽得分都不低于70分的概率.19.如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，平面平面.（1）證明：；（2）若，且與平面所成角的正弦值為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在梯形中結(jié)合余弦定理證明，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）取BD中點O，利用線面角求出四棱錐的高PO，再計算體積作答.【小問1詳解】因，則為等邊三角形，即，又，有，在中，，于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.小問2詳解】取BD中點O，連PO，如圖，，則，平面平面ABCD，平面平面，平面，則平面，連接AO，則AO為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，即PAO為PA與平面ABCD所成角，有，則，而，于是得，梯形的面積為，所以四棱錐的體積.20.已知橢圓經(jīng)過點，左焦點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于兩點，點滿足（為原點），求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過的點和焦點，由待定系數(shù)法即可求解.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理得根與系數(shù)關(guān)系，進而根據(jù)面積公式表達出面積函數(shù)，利用換元法以及不等式即可求解最值.小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，又因為橢圓經(jīng)過點，所以，又，，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，兩點，由.由，，，令，則（由上式知），，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.∴當(dāng)時，平行四邊形的面積最大值為2.21.已知函數(shù)有兩個零點，.（1）求a的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】有兩個零點有兩個相異實根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)的最值和圖象確定a的取值范圍；

不妨設(shè),將要證不等式轉(zhuǎn)化為，由題意得,兩式相加減后再消去得到關(guān)于的函數(shù)表達式，進一步轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性進而可證明.【詳解】(1)有兩個零點有兩個相異實根．令，則

由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，

當(dāng)時，，有兩個零點時，實數(shù)a的取值范圍為．（2）不妨設(shè),由題意得,，,，要證：，只需證.

，

令，，只需證

，只需證：.令,，在遞增，成立.

綜上所述，成立．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于常規(guī)題目．關(guān)鍵難點是（2）中的消元換元轉(zhuǎn)化為，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行證明.請考生在22?23題中任選一題作答，共10分，如果多作，則按所作的第一題計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號的方框涂黑.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的參數(shù)為（為參數(shù)）．（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點引一條射線分別交曲線和直線于、兩點，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）在曲線和直線的參數(shù)方程中，消去參數(shù)，可得出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點、，求出直線與曲線的極坐標(biāo)方程，可得出、的表達式，再利用三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的有界性可求得的