《高等數(shù)學(xué)》概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

1.6概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.1概率論的基本概念1隨機(jī)試驗(yàn):概率論里所研究的試驗(yàn)有下列特點(diǎn):在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性,而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果1.6.1概率論的基本概念1.隨機(jī)事件2樣本空間:給定一個(gè)試驗(yàn),所有可能的結(jié)果的全體構(gòu)成一個(gè)集合,這個(gè)集合稱(chēng)作樣本空間,用大寫(xiě)的希臘字母表示,這個(gè)樣本空間中的每一個(gè)元素也稱(chēng)作此樣本空間的一個(gè)樣本點(diǎn),可以用小寫(xiě)的希臘字母表示.隨機(jī)事件:隨機(jī)事件就是樣本空間的子集,或者說(shuō)事件就是試驗(yàn)結(jié)果的集合,通常用大寫(xiě)英文字母A,B,C,…等表示.3幾個(gè)特殊的事件基本事件:只包括一個(gè)樣本點(diǎn),或者說(shuō)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的事件稱(chēng)為基本事件.必然事件:包括整個(gè)樣本空間的所有元素的事件,或者就用表示,則每次試驗(yàn)必然發(fā)生,因此稱(chēng)為必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次試驗(yàn)一定不會(huì)發(fā)生,稱(chēng)為不可能事件,用表示,則={}.4事件的包含事件的關(guān)系事件的相等事件的并(和)事件的交(積)對(duì)立事件事件的差互不相容事件5完備事件組若事件A1,A2,…,An為兩兩互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,稱(chēng)構(gòu)成一個(gè)完備事件組或構(gòu)成一個(gè)劃分.最常用的完備事件組是某事件A與它的逆6例1擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)事件A表示"奇數(shù)點(diǎn)",事件B表示"點(diǎn)數(shù)小于5",C表示"小于5的偶數(shù)點(diǎn)".用集合的列舉表示法表示下列事件:7解:={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5}B={1,2,3,4} C={2,4}A+B={1,2,3,4,5} AB={5}BA={2,4} AB={1,3}AC=

C-A={2,4}8例2從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取出的產(chǎn)品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有兩次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.9解:三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有兩次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品:102.概率給定事事件A,存在著著一個(gè)個(gè)正數(shù)數(shù)P與之對(duì)對(duì)應(yīng),稱(chēng)之為為事件件A的概率率,記作P(A)或P{A}.最高的的發(fā)生生概率率為1,表示必必然發(fā)發(fā)生.最低的的概率率為0,表示不不可能能發(fā)生生.而一般般的隨隨機(jī)事事件的的概率率介于于0與1之間.113.古典概型有一類(lèi)試驗(yàn)驗(yàn)的特點(diǎn)是是:(1)每次試驗(yàn)只只有有限種種可能的試試驗(yàn)結(jié)果(2)每次試驗(yàn)中中,各基本事件件出現(xiàn)的可可能性完全全相同.具這兩個(gè)特特點(diǎn)的試驗(yàn)驗(yàn)稱(chēng)為古典典概型試驗(yàn)驗(yàn).在古典概型型的試驗(yàn)中中,如果總共有有n個(gè)可能的試試驗(yàn)結(jié)果,因此每個(gè)基基本事件發(fā)發(fā)生的概率率為1/n,如果事件A包含有m個(gè)基本事件件,則事件A發(fā)生的概率率則為m/n.12放回抽樣假設(shè)一副牌牌有52張,將它們編號(hào)號(hào)為1,2,……,52.每次抽出一一張觀察后后再放回去去(這樣下一次次這張牌仍仍有機(jī)會(huì)被被抽到),這叫叫放放回回抽抽樣樣.假設(shè)設(shè)共共抽抽了了5次,共有有多多少少種種可可能能的的抽抽法法?第一一次次有有52種抽抽法法,在第第一一次次的的每每一一種種抽抽法法中中,第二二次次又又有有52種抽抽法法,……,因此此抽抽5次共共有有5252525252=525種抽法.一般地,從n個(gè)元素中進(jìn)行行m次放回抽樣,則共有nm種抽法.13不放回抽樣(排列)還是這52張牌,每次抽出一張張,但不放回,則第二次抽時(shí)時(shí)只有51張牌,第三次就只有有50張牌.如果這樣抽5次,就共有5251504948=52!/47!種抽法一般地,從N個(gè)元素中抽取取n個(gè)(nN),共有14不放回抽樣(組合)如果從N個(gè)元素中不放放回抽樣n個(gè),但不關(guān)心其順順序,比如說(shuō)(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被視作一樣,則稱(chēng)為組合,因此,組合的數(shù)目要要比排列的數(shù)數(shù)目小n!倍,記作15例3袋內(nèi)裝有5個(gè)白球,3個(gè)黑球,從中任取兩個(gè)個(gè)球,計(jì)算取出的兩兩個(gè)球都是白白球的概率.16例4一批產(chǎn)品共200個(gè),廢品有6個(gè),求(1)這批產(chǎn)品的廢廢品率;(2)任取3個(gè)恰有一個(gè)是是廢品的概率率;(3)任取3個(gè)全非廢品的的概率解設(shè)設(shè)P(A),P(A1),P(A0)分別別表表示示(1),(2),(3)中所所求求的的概概率率,則17加法法法法則則兩個(gè)個(gè)互互不不相相容容(互斥斥)事件件之之和和的的概概率率等等于于它它們們的的概概率率的的和和.即當(dāng)當(dāng)AB=時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)實(shí)際際上上,只要要P(AB)=0,上式式就就成成立立.18如果果n個(gè)事事件件A1,A2,……,An互不不相相容容,則P(A1+A2+……+An)=P(A1)+P(A2)+……+P(An)A1A2A3A419若n個(gè)事事件件A1,A2,……,An構(gòu)成成一一完完備備事事件件組組,則它它們們的的概概率率的的和和為為1,即P(A1)+P(A2)+……+P(An)=1特別別地地,兩個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)立立事事件件概概率率之之和和為為1,即A1A2A3A4AA20例如如擲擲3次硬硬幣幣,求至至少少一一次次正正面面朝朝上上的的概概率率.解:假設(shè)設(shè)A={至少少一一次次正正面面},則A={全是是反反面面},只包包含含一一個(gè)個(gè)基基本本事事件件.基本本事事件件總總數(shù)數(shù)為為23=8,因此此經(jīng)常常有有一一些些概概率率論論的的較較難難的的題題,直接接計(jì)計(jì)算算某某事事件件的的概概率率困困難難,因此此考考慮慮先先求求此此事事件件的的逆逆事事件件的的概概率率21例5產(chǎn)品有一一,二等品及及廢品3種,若一,二等品率率分別為為0.63及0.35,求產(chǎn)品的的合格率率與廢品品率.解令事事件A表示產(chǎn)品品為合格格品,A1,A2分別表示一一,二等品.顯然A1與A2互不相容,并且A=A1+A2,則P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.9822例6一個(gè)袋內(nèi)裝裝有大小相相同的7個(gè)球,4個(gè)是白球,3個(gè)為黑球.從中一次抽抽取3個(gè),計(jì)算至少少有兩個(gè)個(gè)是白球球的概率率.解設(shè)事事件Ai表示抽到到的3個(gè)球中有有i個(gè)白球(i=2,3),顯然A2與A3互不相容容,且23定義在事件B已經(jīng)發(fā)生生的條件件下,事件A發(fā)生的概率,稱(chēng)為事件A在給定B下的條件概率率,簡(jiǎn)稱(chēng)為A對(duì)B的條件概率,記作P(A|B).相應(yīng)地,把P(A)稱(chēng)為無(wú)條件概概率.4.條件概率與乘乘法法則24乘法法則兩個(gè)事件A,B之交的概率等等于其中任一一個(gè)事件(其概率不為零零)的概率乘以另另一個(gè)事件在在已知前一個(gè)個(gè)事件發(fā)生下下的條件概率率,即P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)25例710個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到難簽簽,甲,乙都抽到難簽簽,甲沒(méi)抽到難簽簽而乙抽到難難簽以及甲,乙,丙都抽到難簽簽的概率.解設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙乙丙各抽到難難簽26全概率率定理理如果事事件A1,A2,…構(gòu)成一一個(gè)完完備事事件組組,并且都都具有有正概概率,則對(duì)任任意一一事件件B有用全全概概率率定定理理來(lái)來(lái)解解題題的的思思路路,從試試驗(yàn)驗(yàn)的的角角度度考考慮慮問(wèn)問(wèn)題題,一定定是是將將試試驗(yàn)驗(yàn)分分為為兩兩步步做做,將第第一一步步試試驗(yàn)驗(yàn)的的各各個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果分分為為一一些些完完備備事事件件組組A1,A2,……,An,然后后在在這這每每一一事事件件下下計(jì)計(jì)算算或或給給出出某某個(gè)個(gè)事事件件B發(fā)生生的的條條件件概概率率,最后后用用全全概概率率公公式式綜綜合合27貝葉葉斯斯定定理理若A1,A2,……,構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組,并且且它它們們都都具具有有正正概概率率,則對(duì)于任任何一個(gè)個(gè)概率不不為零的的事件B,有貝葉斯定定理解題題的題型型與全概概率定理理的題型型完全一一樣,只是要求求的是一一個(gè)條件件概率,是在信息息論中的的重要公公式,即在二次次試驗(yàn)后后,觀察者者只能能看到到最后后的結(jié)結(jié)果事事件B,卻要根根據(jù)B來(lái)推斷斷第一一步試試驗(yàn)的的哪個(gè)個(gè)事件件發(fā)生生了的的條件件概率率P40例1-4428在使用用全概概率公公式和和貝葉葉斯公公式的的題型型中,關(guān)鍵的的一步步是要要使用用一完完備事事件組組,而最常常用的的完備備事件件組,是一事事件A與它的的逆A構(gòu)成的的完備備事件件組,這時(shí)的的全概概率與與貝葉葉斯公公式為為,(應(yīng)在考考試前前專(zhuān)門(mén)門(mén)將它它們記記住).295.事件的獨(dú)立立性定義如果事件A發(fā)生的可能能性不受事事件B發(fā)生與否的的影響,即P(A|B)=P(A),則稱(chēng)事件A對(duì)于事件B獨(dú)立.30由此定義及及條件概率率P(A|B)的定定義義有有31如A與B獨(dú)立立,則32例8甲,乙,丙3部機(jī)機(jī)床床獨(dú)獨(dú)立立工工作作,由一一個(gè)個(gè)工工人人照照管管,某段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)它它們們不不需需要要工工人人照照管管的的概概率率分分別別為為0.9,0.8及0.85.求在這段時(shí)間間內(nèi)有機(jī)床需需要工人照管管的概率以及及機(jī)床因無(wú)人人照管而停工工的概率.解用事件A,B,C分別表示在這這段時(shí)間內(nèi)機(jī)機(jī)床甲,乙,丙不需工人照照管.依題意A,B,C相互獨(dú)立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85則這段時(shí)間內(nèi)內(nèi)有機(jī)床需要要工人照管的的概率為33而當(dāng)至少有兩兩部機(jī)床需要要照管的時(shí)候候,就有機(jī)床因無(wú)無(wú)人照管而停停工了,這樣的事件是是34按取值情況可可將隨機(jī)變量量分為兩類(lèi):(1)離散型隨機(jī)變變量只可能取有限限個(gè)或無(wú)限可可列個(gè)值.(2)非離散型隨機(jī)機(jī)變量可能取任何實(shí)實(shí)數(shù).而非離散型隨隨機(jī)變量中最最常用的為連續(xù)型隨機(jī)變變量.1.6.2一維隨機(jī)變量量及數(shù)字特征征1.隨機(jī)變量的概概念(p42)352.離散型隨機(jī)變變量的分布36定義如如果隨機(jī)變變量x只取有限個(gè)或或可列個(gè)可能能值,而且以確定的的概率取這些些不同的值,則稱(chēng)x為離散性隨機(jī)機(jī)變量.為直觀起見(jiàn),將x可能取的值及及相應(yīng)概率列列成概率分布表如下xx1x2…xk…Pp1p2…pk…此外,x的概率分布情情況也可以用用一系列等式式表示:P(x=xk)=pk(k=1,2,……)這被稱(chēng)作隨機(jī)機(jī)變量x的概率函函數(shù)(或概率率分布布)37例9一批產(chǎn)產(chǎn)品的的廢品品率為為5%,從中任任意抽抽取一一個(gè)進(jìn)進(jìn)行檢檢驗(yàn),用隨機(jī)機(jī)變量量x來(lái)描述述廢品品出現(xiàn)現(xiàn)的情情況.并寫(xiě)出出x的分布布.解用用x表示廢廢品的的個(gè)數(shù)數(shù),則它只只能取取0或1兩個(gè)值值."x=0"表示"產(chǎn)品為為合格格","x=1"表示"產(chǎn)品為為廢品品",則概率率分布布表如如下x01P0.950.05即P{x=0}=0.95,P{x=1}=0.05,或可寫(xiě)寫(xiě)為P{x=k}=0.05k0.951-k(k=0,1)38隨機(jī)變變量的的分布布函數(shù)數(shù)定義若x是一個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量(可以是是離散散型的的,也可以以是非非離散散型的的),對(duì)任何何實(shí)數(shù)數(shù)x,令F(x)=P(xx)稱(chēng)F(x)是隨機(jī)機(jī)變量量x的分布布函數(shù)數(shù)39例10求本節(jié)節(jié)例1中的分分布函函數(shù)x01P0.950.05其分布布函數(shù)數(shù)為解在在例1中x的概率率函數(shù)數(shù)如下下表所所示:40分布函函數(shù)與與概率率函數(shù)數(shù)滿(mǎn)足足關(guān)系系:由于P(x1<x2)=F(x2)-F(x1)因此,若已知的分布函數(shù)數(shù)F(x),就能知道在任何一個(gè)個(gè)區(qū)間上取取值的概率率,從這個(gè)意義義上說(shuō),分布函數(shù)完完整地描述述了隨機(jī)變變量的變化化情況41分布函數(shù)F(x)具有如下幾幾個(gè)性質(zhì):42兩點(diǎn)分布:只有兩個(gè)可可能取值的的隨機(jī)變量量所服從的的分布,稱(chēng)為兩點(diǎn)分分布.其概率函數(shù)數(shù)為P(x=xk)=pk(k=1,2)概率分布表表為:xx1x2Pp1p2430-1分布:只取0和1兩個(gè)值的隨隨機(jī)變量所所服從的分分布稱(chēng)為0-1分布.其概率函數(shù)數(shù)為P(x=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分布表表為:x01P1-pp44連續(xù)型隨機(jī)機(jī)變量的分分布離散型隨機(jī)機(jī)變量，用用概率函數(shù)數(shù)來(lái)描述即即簡(jiǎn)單又直直觀。對(duì)于連續(xù)型型隨機(jī)變量量也希望有有一種比分分布函數(shù)更更直觀的描描述方式。。這就是““概率密度函函數(shù)”45定義對(duì)于于連續(xù)型隨隨機(jī)變量x,如果存在一一定義在(-,+)上的非負(fù)函數(shù)(x),對(duì)于任意實(shí)實(shí)數(shù)x都有(x)0,且滿(mǎn)足,x落在任意區(qū)間間內(nèi)的概率為為j(x)在此區(qū)間的積積分,即則稱(chēng)j(x)為x的概率密度函數(shù)數(shù).46用概率密度函函數(shù)計(jì)算x落在任何區(qū)間間內(nèi)的概率如下圖所示示意.abx0j(x)P(axb)47概率密度函數(shù)數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)質(zhì)(1)(x)048概率密度函數(shù)數(shù)(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系為x0j(x)x49例11已知連續(xù)型隨隨機(jī)變量x有概率密度求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),并計(jì)算P(1.5<x<2.5)解因50則j(x)及其圖形如下下120xj(x)51x當(dāng)x<0時(shí),120xj(x)52x當(dāng)0<x<2時(shí),120xj(x)53當(dāng)x>2時(shí),x120xj(x)54綜合前面最后后得120xF(x)55120xj(x)120xF(x)將概率密度函函數(shù)j(x)與分布函數(shù)F(x)對(duì)照56現(xiàn)根據(jù)概率密密度函數(shù)和分分布函數(shù)分別別計(jì)算概率P{1.5<x<2.5}根據(jù)分布函數(shù)數(shù)計(jì)算:P{1.5<x<2.5}=P{1.5<x2.5}-P(x=2.5)=F(2.5)-F(1.5)-0

=1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625根據(jù)概率密度度函數(shù)進(jìn)行計(jì)計(jì)算則是574.隨機(jī)變量的數(shù)數(shù)字特征通常求出隨機(jī)機(jī)變量的分布布并不是一件件容易的事,而人們更關(guān)心心的是用一些些數(shù)字來(lái)表示示隨機(jī)變量的的特點(diǎn),這些與隨機(jī)變變量有關(guān)的數(shù)數(shù)字,就是隨機(jī)變量量的數(shù)字特征征.最常用的數(shù)字字特征為數(shù)學(xué)學(xué)期望,方差和相關(guān)系系數(shù).58數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望是任任何一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量的最重重要的也被最最廣泛使用的的數(shù)學(xué)特征,英文是expectation,另一種叫法為為均值(meanoreveragevalue)它的實(shí)際意義義就是平均值值.但屬于一種更更為嚴(yán)格的平平均值,和本書(shū)后面講講到的統(tǒng)計(jì)平平均值有一些些小差別.59定義假設(shè)離散型隨隨機(jī)變量x有概率函數(shù)P{x=xk}=pk(k=1,2,...),若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱(chēng)這級(jí)數(shù)數(shù)為x的數(shù)學(xué)期望望,簡(jiǎn)稱(chēng)期望或或均值,記為Ex,即60例若x服從0-1分布,其概率函數(shù)數(shù)為P{x=k}=pk(1-p)1-k(k=0,1),求Ex解Ex=0(1-p)+1p=p61例12甲乙兩名射射手在一次次射擊中得得分(分別用x,h表示)的分布律如如下表所示示,試比較甲,乙兩射手的的技術(shù).解Ex=10.4+20.1+30.5=2.1Eh=10.1+20.6+30.3=2.2這表明,如果進(jìn)行多多次射擊,他們得分的的平均值分分別是2.1和2.2,故乙射手較較甲射手的的技術(shù)好.x123P0.40.10.5h123P0.10.60.362定義設(shè)連續(xù)型隨隨機(jī)變量x有概率密度度j(x),若積分63例13計(jì)算在區(qū)間間[a,b]上服從均勻勻分布的隨隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望望.解依題意意,64數(shù)學(xué)期望的的性質(zhì)常量的期望望就是這個(gè)個(gè)常量本身身,即E(c)=c.(2)隨機(jī)變量x與常量c之和的數(shù)學(xué)學(xué)期望等于于x的期望與這這個(gè)常量c的和E(x+c)=Ex+c(3)常量c與隨機(jī)變量量x的乘積等于于這個(gè)常量量與此隨機(jī)機(jī)變量的期期望的乘積積,(cx)=cEx(4)隨機(jī)變量的的線性函數(shù)數(shù)的數(shù)學(xué)期期望等于這這個(gè)隨機(jī)變變量期望的的同一線性性函數(shù),即E(kx+c)=kEx+c65(5)兩個(gè)隨機(jī)變變量之和的的數(shù)學(xué)期望望等于這兩兩個(gè)隨機(jī)變變量數(shù)學(xué)期期望之和.E(x+h)=Ex+Eh(6)兩個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立隨隨機(jī)機(jī)變變量量乘乘積積的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望等等于于它它們們數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望的的乘乘積積,即E(xh)=ExEh66例14某種種無(wú)無(wú)線線電電元元件件的的使使用用壽壽命命x是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量,其概概率率密密度度為為其中中l(wèi)>0,求這這種種元元件件的的使使用用壽壽命命.67方差差68如果果x是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量,并且且P{x=xk}=pk(k=1,2,...),則可見(jiàn)見(jiàn)隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的方方差差是是非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù),Dx0,常量量的的方方差差是是零零.當(dāng)x的可可能能值值密密集集在在它它的的期期望望值值Ex附近近時(shí)時(shí),方差差較較小小,反之之則則方方差差較較大大.因此此方方差差的的大大小小可可以以表表示示隨隨機(jī)機(jī)變變量量分分布布的的離離散散程程度度69例15計(jì)算參參數(shù)為為p的0-1分布的的方差差解根根據(jù)x的概率率函數(shù)數(shù)P{x=1}=pP{x=0}=1-p=q則Ex=0q+1p=pDx=(0-p)2q+(1-p)2p==p(pq+q2)=pq(p+q)=pq=p(1-p)Ex=pDx=pq70方差的的性質(zhì)質(zhì)常量的的方差差等于于零(2)隨機(jī)變變量與與常量量之和和的方方差就就等于于這個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量的方方差本本身(3)常量與與隨機(jī)機(jī)變量量乘積積的方方差,等于這這常量量的平平方與與隨機(jī)機(jī)變量量方差差的乘乘積.(4)兩個(gè)獨(dú)獨(dú)立隨隨機(jī)變變量之之和的的方差差,等于這這兩個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量方差差的和和71計(jì)算Ex2的辦法法:(5)任意隨機(jī)機(jī)變量的的方差等等于這個(gè)個(gè)隨機(jī)變變量平方方的期望望與其期期望平方方之差,即Dx=Ex2-(Ex)272例16計(jì)算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分分布的隨機(jī)變變量x的方差.解已知x的概率密度為為在3.1例4中已算出Ex=(a+b)/273定義如果隨機(jī)變量量x有概率函數(shù)其中0<p<1,q=1-p,則稱(chēng)x服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布.簡(jiǎn)記作x~B(n,p).5.幾種重要的分分布(1)二項(xiàng)分布74例17某工廠每天用用水量保持正正常的概率為為3/4,求最近6天內(nèi)用水量正正常的天數(shù)的的分布.解設(shè)最近6天內(nèi)用水量保保持正常的天天數(shù)為x,則x~B(6,0.75),因此75其分布表如下下表所示x0123456P0.00020.00440.0330.13180.29660.3560.178分布圖:76二項(xiàng)分布的期期望和方差77例某班有學(xué)生23名,其中有5名女同學(xué),今從班上任選選4名學(xué)生去參觀觀展覽,被選到的女同同學(xué)數(shù)x是一個(gè)隨機(jī)變變量,求x的分布.解x可取0,1,2,3,4,這5個(gè)值,相應(yīng)概率為(2)超幾何分布78概率分布表為為x01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布圖為為:79定義設(shè)N個(gè)元素分為兩兩類(lèi),有N1個(gè)元元素素屬屬于于第第一一類(lèi)類(lèi),N2個(gè)元元素素屬屬于于第第二二類(lèi)類(lèi)(N1+N2=N).從中中按按不不重重復(fù)復(fù)抽抽樣樣取取n個(gè),令x表示示這這n個(gè)中中第第一一(或二二)類(lèi)元元素素的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù),則x的分分布布稱(chēng)稱(chēng)為為超超幾幾何何分分布布.其概概率率函函數(shù)數(shù)為為:80根據(jù)據(jù)概概率率分分布布的的性性質(zhì)質(zhì),必有有81超幾幾何何分分布布的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差82定義義如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量x的概概率率函函數(shù)數(shù)是是(3)普哇哇松松(Poisson)分布布83普哇哇松松分分布布的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差84例17檢查查了了100個(gè)零零件件上上的的疵疵點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù),結(jié)果如下表:疵點(diǎn)數(shù)0123456頻用普哇松分分布公式計(jì)算算疵點(diǎn)數(shù)的分分布,并與實(shí)際檢查查結(jié)果比較.解85計(jì)算出來(lái)的圖圖表如下所示示:疵點(diǎn)數(shù)0123456頻率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.1350.2710.2710.180.090.0360.0186(4)指數(shù)分布定義如隨機(jī)變量x的概率密度為為87指數(shù)分布的分分布函數(shù)88對(duì)任何實(shí)數(shù)a,b(0a<b),有指數(shù)分布的數(shù)數(shù)學(xué)期望和方方差：Ex=l-1Dx=l-289例18某元件壽命x服從參數(shù)為l(l-1=1000小時(shí))的指數(shù)分布,3個(gè)這樣的元件件使用1000小時(shí)后,都沒(méi)有損壞的的概率是多少少?P(x>1000)=1-P(x1000)=1-F(1000)=e-1各元件壽命相相互獨(dú)立,因此3個(gè)這樣的元件件使用1000小時(shí)都未損壞壞的概率為e-3(約為0.05).解指數(shù)分分布的分布函函數(shù)為90定義如果連連續(xù)型隨機(jī)變變量x的概率密度為為其中s,m為常數(shù),并且s>0,則稱(chēng)x服從正態(tài)分布布,簡(jiǎn)記作x~N(m,s2).特別地,當(dāng)m=0,s=1時(shí),稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布,其概率密度記記為j0(x),這時(shí)x~N(0,1).(5)正態(tài)分布91j0(x)的圖形xj0(x)01-192j0(x)除一般概率密密度的性質(zhì)外外,還有下列性質(zhì)質(zhì)(1)j0(x)有各階導(dǎo)數(shù)(2)j0(-x)=j0(x),偶函數(shù)(3)在(,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0,)嚴(yán)格下降.在x=0處達(dá)到最大值值:(4)在x=1處有兩個(gè)拐點(diǎn)點(diǎn);(5)x軸是j0(x)的水平漸近線線93Ex=m正態(tài)分布的數(shù)數(shù)學(xué)期望和方方差94一般正態(tài)分布布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的關(guān)系系定理1如果x~N(m,s2),h~N(0,1),其概率密度分分布記為j(x)和j0(x),分布函數(shù)分別別記為F(x)及F0(x),則95定理2如果x~N(m,s2),而h=(x-m)/s,則h~N(0,1)96例19x~N(0,1),求P(x1.96),P(x-1.96),P(|x|1.96),P(-1<x2),P(x5.9).解P(x1.96)=0.975=F0(1.96)P(x-1.96)=P(x1.96)=1-P(x<1.96)=1-0.975=0.025=1-F0(1.96)P(|x|1.96)=P(-1.96x1.96)=F0(1.96)-F0(-1.96)=2F0(1.96)-1=0.95P(-1<x2)=F0(2)-F0(-1)=F0(2)-[1-F0(1)]=0.81855P(x5.9)=F0(5.9)=197概括起來(lái),如果x~N(0,1),則98例20x~N(m,s2),P(x-5)=0.045,P(x3)=0.618,求m及s99總體樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量1.6.3數(shù)理統(tǒng)計(jì)的的基本概念念1.基本概念100數(shù)理統(tǒng)計(jì)的的任務(wù)在概率論的的各個(gè)題目目中,隨機(jī)變量的的分布往往往是知道的的,是通過(guò)某些些已知的信信息計(jì)算另另一些信息息.而在實(shí)際中中,經(jīng)常是有一一個(gè)我們關(guān)關(guān)心的總體體X,我們即不知知道它的分分布,也不知道它它的數(shù)學(xué)期期望和方差差.但是,我們可以對(duì)對(duì)其進(jìn)行反反復(fù)地試驗(yàn)驗(yàn),則試驗(yàn)n次,得到n個(gè)樣本值,這n個(gè)樣本值可可以看作是是對(duì)n個(gè)與總體分分布相同的的樣本進(jìn)行行觀察而獲獲得的.101樣本均值102樣本方差103定理1設(shè)(X1,X2,...,Xn)是取自正態(tài)態(tài)總體N(m,s2)的樣本,若2.常用的重要要結(jié)論104這個(gè)定理是是為解決這這樣的問(wèn)題題105定理2設(shè)X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立立,Xi~N(0,1),i=1,2,...,n,則即n個(gè)相互獨(dú)獨(dú)立的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的的隨機(jī)變變量的平平方和服服從n個(gè)自由度度的c2(n)分布106定理3設(shè)(X1,X2,...,Xn)是取自正正態(tài)總體體N(m,s2)的樣本,則有107此定理的的用處在在于108定理4設(shè)兩個(gè)隨隨機(jī)變量量x與h相互獨(dú)立立,并且x~N(0,1),h~c2(n),則109推論設(shè)設(shè)(X1,X2,...,Xn)是取自正正態(tài)總體體N(m,s2)的樣本,110此推論的的意義在在于111定理5設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變變量x1和x2相互獨(dú)立,且x1~c2(n1),x2~c2(n2),則有112推論設(shè)設(shè)X1,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Ym分別來(lái)自?xún)蓚€(gè)個(gè)相互獨(dú)立的的正態(tài)總體1131.6.4參數(shù)估計(jì)人們經(jīng)常遇到到的問(wèn)題是如如何選取樣本本以及根據(jù)樣樣本來(lái)對(duì)總體體的種種統(tǒng)計(jì)計(jì)特征作出判判斷。實(shí)際際工作中碰到到的隨機(jī)變量量(總體)往往是分布類(lèi)類(lèi)型大致知道道,但確切的形式式并不知道,亦即總體的參參數(shù)未知.要求出總體的的分布函數(shù)F(x)(或密度函數(shù)j(x)),就等于要根據(jù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)計(jì)出總體的參參數(shù).這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為為參數(shù)估計(jì).1141.參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)計(jì)（1）矩估計(jì)法115(2)最大似然估計(jì)計(jì)法現(xiàn)在要根據(jù)從從總體x中抽到的樣本本(X1,X2,...,Xn),對(duì)總體分布中中的未知參數(shù)數(shù)q進(jìn)行估計(jì).最大似似然法法是要要選取取這樣樣的估估計(jì)值值,當(dāng)它作作為q的估計(jì)值值時(shí),使觀察結(jié)結(jié)果出現(xiàn)現(xiàn)的可能能性最大大.對(duì)于離散散型的隨隨機(jī)變量量就是估估計(jì)概率率函數(shù)中中的參數(shù)數(shù)q,對(duì)于連續(xù)續(xù)型的隨隨機(jī)變量量就是估估計(jì)概率率密度中中的q.116設(shè)x為連續(xù)型型隨機(jī)變變量,它的分布布函數(shù)是是F(x;q),概率密度度是j(x;q),其中q是未知參參數(shù),可以是一一個(gè)值,也可以是是一個(gè)向向量,由于樣本本的獨(dú)立立性,則樣本(X1,X2,...,Xn)的聯(lián)合概概率密度度是對(duì)每一取取定的樣樣本值x1,x2,...,xn是常數(shù),L是參數(shù)q的函數(shù),稱(chēng)L為樣本的的似然函數(shù)數(shù)117設(shè)x為離散型型隨機(jī)變變量,有概率函函數(shù)P(x=xi)=p(xi;q),則似然函函數(shù)118最大似然然估計(jì)值值119例21已知x1,x2,...,xn為x的一組樣樣本觀察察值,求q的最大似似然估計(jì)計(jì).120解似似然函函數(shù)121例22已知x服從正正態(tài)分分布N(m,s2),(x1,x2,...,xn)為x的一組組觀察察值,用最大大似然然估計(jì)計(jì)法估估計(jì)m,s2的值.122解似然方程程組123例23求普哇松分分布中參數(shù)數(shù)l的最大似然然估計(jì).解已知總總體x的概率函數(shù)數(shù)為124因此1251262.參數(shù)的區(qū)間間估計(jì)用點(diǎn)估計(jì)來(lái)來(lái)估計(jì)總體體參數(shù),即使是無(wú)偏偏有效的估估計(jì)量,也會(huì)由于樣樣本的隨機(jī)機(jī)性,從一個(gè)樣本本算得估計(jì)計(jì)量的值不不一定恰是是所要估計(jì)計(jì)的參數(shù)真真值.而且,即使真正相相等,由于參數(shù)值值本身是未未知的,也無(wú)從肯定定這種相等等.到底二者相相差多少呢呢?這個(gè)問(wèn)題換換一種提法法就是,根據(jù)估計(jì)量量的分布,在一定的可可靠程度下下,指出被估計(jì)計(jì)的總體參參數(shù)所在的的可能數(shù)值值范圍.這就是參數(shù)數(shù)的區(qū)間估估計(jì)問(wèn)題.127區(qū)間估計(jì)的的具體做法法是,找兩個(gè)統(tǒng)計(jì)計(jì)量128區(qū)間估計(jì)示示意圖1-aa/2a/21-a為置信系數(shù),置信概率或置信度a為檢驗(yàn)水平129(1)總體分布未未知利用切貝謝謝夫不等式式進(jìn)行估計(jì)計(jì).因?yàn)閷?duì)任何何隨機(jī)變量量x(不論它的分分布如何),只要Ex,Dx存在,對(duì)任給的正正數(shù)e>0,滿(mǎn)足130從總體x中抽取樣本本(X1,X2,...,Xn),131若要求132一般地,若要求133切貝謝夫區(qū)間間估計(jì)示意圖圖1-aa/2a/2134例24某燈泡廠某天天生產(chǎn)了一大大批燈泡,從中抽取了10個(gè)進(jìn)行壽命試試驗(yàn),得數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)):

1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200已知其方差Dx=8,試找出燈泡的的平均壽命區(qū)區(qū)間(a=5%).135(2)正態(tài)總體136則137例如,當(dāng)a=0.05時(shí),ua=1.96,有138查表示意圖x0a/21-a/2ua139例25某燈泡廠某天天生產(chǎn)了一大大批燈泡,假設(shè)燈泡的壽壽命x服從正態(tài)分布布,x~N(m,8),從中抽取了10個(gè)進(jìn)行壽命試試驗(yàn),得數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)):

1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200,試找出平均壽壽命區(qū)間(a=0.05).解因?yàn)閍=0.05,所以u(píng)a=1.96,而n=10,s=2.8284140例26已知某煉鐵廠廠的鐵水含碳碳量在正常生生產(chǎn)情況下服服從正態(tài)分布布,其方差s2=0.1082.現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水,其平均含碳量量為4.484.按此資料計(jì)算算該廠鐵水平平均含碳量的的置信區(qū)間,并要求有95%的可靠性.解設(shè)該廠鐵鐵水平均含碳碳量為m,已知a=5%,所以u(píng)a=1.96,m的置信系數(shù)為為95%的置信區(qū)間是是141引例1拋擲一枚硬幣幣100次,"正面"出現(xiàn)了40次,問(wèn)這枚硬幣是是否勻稱(chēng)?若用x描述拋擲一枚枚硬幣的試驗(yàn)驗(yàn),"x=1"及"x=0"分別表示"出現(xiàn)正面"和"出現(xiàn)反面",上述問(wèn)題就是是要檢驗(yàn)x是否服從p=1/2的0-1分布?1.6.5假設(shè)檢驗(yàn)142引例2從1975年的新生兒(女)中隨機(jī)地抽取取20個(gè),測(cè)得其平均體體重為3160克,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為為300克.而根據(jù)過(guò)去統(tǒng)統(tǒng)計(jì)資料,新生兒(女)平均體重為3140克.問(wèn)現(xiàn)在與過(guò)去去的新生兒(女)體重有無(wú)顯著著差異(假設(shè)新生兒體體重服從正態(tài)態(tài)分布)?若把所有1975年新新生生兒兒(女)體重重體體現(xiàn)現(xiàn)為為一一個(gè)個(gè)總總體體x,問(wèn)題題就就是是判判斷斷Ex=3140是否否成成立立?143引例例3在10個(gè)相同的的地塊上上對(duì)甲,乙兩種玉玉米進(jìn)行行對(duì)比試試驗(yàn),得如下資資料(單位:公斤)甲95196610081082983乙730864742774990從直觀上上看,二者差異異顯著.但是一方方面由于于抽樣的的隨機(jī)性性,我們不能能以個(gè)別別值進(jìn)行行比較就就得出結(jié)結(jié)論;另一方面面直觀的的標(biāo)準(zhǔn)可可能因人人而異.因此這實(shí)實(shí)際上需需要比較較兩個(gè)正正態(tài)總體體的期望望值是否否相等.144這種作為為檢驗(yàn)對(duì)對(duì)象的假假設(shè)稱(chēng)為為待檢假假設(shè),通常用H0表示.例如,引例1的假設(shè)是是H0:x~B(1,0.5)引例2的假設(shè)是是H0:Ex=3140引例3的假設(shè)是是H0:EX=EY(X與Y是兩種玉玉米的產(chǎn)產(chǎn)量期望望值)如何根據(jù)據(jù)樣本的的信息來(lái)來(lái)判斷關(guān)關(guān)于總體體分布的的某個(gè)設(shè)設(shè)想是否否成立,也就是檢檢驗(yàn)假設(shè)設(shè)H0成立與否否的方法法.145置信區(qū)間間方法用置信區(qū)區(qū)間的方方法進(jìn)行行檢驗(yàn),基本思想想是這樣樣的:首先設(shè)想想H0是真的成成立;然后考慮慮在H0條件下,已經(jīng)觀測(cè)測(cè)到的樣樣本信息息出現(xiàn)的的概率.如果這個(gè)個(gè)概率很很小,這就表明明一個(gè)概概率很小小的事件件在一次次試驗(yàn)中中發(fā)生了了.而小概率率原理認(rèn)認(rèn)為,概率很小小的事件件在一次次試驗(yàn)中中是幾乎乎不可能能發(fā)生的的,也就是說(shuō)說(shuō)導(dǎo)出了了一個(gè)違違背小概概率原理理的不合合理的現(xiàn)現(xiàn)象.這表明事事先的設(shè)設(shè)想H0是不正確確的,因此拒絕絕原假設(shè)設(shè)H0.否則,不能拒絕絕H0.146至于什么么算是"概率很小小",在檢驗(yàn)之之前都事事先指定定.比如概率為為5%,1%等,一般記作a.a是一個(gè)事先先指定的小小的正數(shù),稱(chēng)為顯著性水平平或檢驗(yàn)水平.147兩類(lèi)錯(cuò)誤誤由于人們們作出判判斷的依依據(jù)是樣樣本,也就是由由部分來(lái)來(lái)推斷整整體,因而假設(shè)設(shè)檢驗(yàn)不不可能絕絕對(duì)準(zhǔn)確確,它也可能能犯錯(cuò)誤誤.其可能性的大大小,也是以統(tǒng)計(jì)規(guī)規(guī)律性為依據(jù)據(jù)的,所可能犯的錯(cuò)錯(cuò)誤有兩類(lèi).第一類(lèi)錯(cuò)誤是是:原假設(shè)H0符合實(shí)際情況況,而檢驗(yàn)結(jié)果把把它否定了,這稱(chēng)為棄真錯(cuò)錯(cuò)誤.第二類(lèi)錯(cuò)誤是是:原假設(shè)H0不符合實(shí)際情情況,而檢驗(yàn)結(jié)果把把它肯定下來(lái)來(lái)了,這稱(chēng)為取偽錯(cuò)錯(cuò)誤.