力學競賽試題

海南大學土木建筑工程學院、海南省力學學會第二屆力學比賽試題1、如圖1所示，質量均為m的n（n＞3）個均質圓柱體挨次放置在傾角為30°的斜面上，并用鉛垂設置的鉸支板擋住。若已知圓柱半徑為R，板長為l，各圓柱與斜面和擋板之間的摩擦系數μ＝1/3，且不計各圓柱之間的摩擦，試求保持系統(tǒng)均衡時的最大水平力P。圖1【解】先設圓柱On，由三力均衡匯交定理知其與斜面間摩擦力為零，挨次判斷，直到圓柱O2與斜面間摩擦力均為零。再研究圓柱O2,O3,...,On共n-1個柱體的整體均衡，由Fx0有N2n1mg2N2為圓柱O1與O2間的作使勁。再研究O1圓柱，受力如圖，由mO10有F1F1設AOBOa，由mO0N1amgRN1aN2R當n3時，N1N1，可知A處先滑動，且F1N1。由mB0N1Rcos30oF1R1sin30omgRN2Rsin30o將N2代入，得n331N1mg4所以n331F1N1mg12由Fx0N1N2cos30oF1cos30o533n339Nsin30omg12最后研究鉸支板的均衡，由mO0PlN13R所以PmaxR3n313mg54l2、如圖2所示，偏愛輪質量為m，偏愛距OC＝e。輪對證心C的展轉半徑為ρcOC呈水平，質心C有一水平初速υ，輪的，置于圓滑水平面上。初始時角速度為零。求當C點運動至最低地點時，水平面對輪的拘束反力。圖2【解】取質心平動參照系O1xy（圖7），它以常速度v運動。質心C的相對速度vr沿y軸。由動能定理，有圖71JC21mv2vr21mv2mgecos222此中JCmc2。當質心C運動至最低點時，有vr0，0故有22ge2c此時運用相對證心的動量矩定理，有JCMC0故0所以C點的加快度向上，為aCe2所以有NmgmaC即Nmgme2gemg12e222C3、圖3所示對稱桁架，受載荷P作用，己知各桿資料同樣，橫截面面積也同樣，問有何方法可使各桿同時達到資料的許用應力[σ]?圖3【解】方法1：利用裝置應力改變內力分派。在正確加工、裝置的狀況下，桁架中各桿的受力為N1Pcos2（1）N212cos3N3P（2）12cos3所以N3N1，老是桿3先達到。為使各桿的圖8應力同時達到，可采納加裝置應力的方法，即早先將桿3做長，在強迫裝置此后，桿3將擁有預應力，而桿1、2將擁有預拉應力。由圖8可知，設外載增至P時，各桿的應力同時抵達，節(jié)點A抵達A1。在小變形假定的前提下，疊加原理使用，與各桿伸長量之間應知足以下協(xié)調方程l1l2l3cos(3)各桿的軸力又知足以下物理方程Nilili（i1,2,3）（4）liEEA由方程（3）、（4）解得桿3長度的過盈量，ltan2（5）E該桁架的許用載荷為PA12cos由式（5）能夠看出，這個解答的合用范圍有必定的限制，即若靠近時，就2變得相當大，這時，小變形假定就不合用了，所以所得值也就沒意義了。方法2：關于短暫加載狀況，除了上述方法外，還能夠采納加熱應力的方法來達到同樣的目的，若資料的線膨脹系數為，又假定資料的許用應力不隨溫度的改變而改變，則桿3所需高升的溫度為2ttan4、物塊C的重量為G，置于懸臂梁AB上（圖4），梁長L，曲折剛度EI，物塊與梁間的摩擦系數為μ，求：（1）物塊開始滑動時的地點；（2）物塊滑離B端時的速度。圖4【解】（1）設物塊開始滑動時的地點為s，如圖9所示，則AD段的撓度曲線方程為Gx2y3sx0xs6EI由此可知DyDGs22EI（1）由靜力均衡條件，可求得摩擦力為FGcosD而物塊開始滑動的條件為圖9GsinDF由以上二式易得tanDD將式(1)代入上式，即可獲得物塊開始滑動時的地點為s

122EIG（2）物塊由D處滑至B處，在此階段的始、末兩處的撓度分別為Gs3，GL3fDfB3EI3EI設物塊滑離B端時的速度為v，W為摩擦力F在此滑動過程中所作的功，由能量守恒定律可得Gv2GGL3Gs3W（2）2g3EI這里假定物塊很小，其轉動動能可忽視不計。因為dWFds而FGcos1ds1y22dx21cosdxds1y2故有1dWGcos1y22dxGdx積分上式，得WGLs(3)將式（3）代入式（2），最后獲得1v2gLsGL22Lss23EI5、以下構造均為等直桿，各相應載荷為隨意散布。證明圖5中（a）桿的軸力爭、b）圓軸的扭矩圖、（c）梁的剪力爭、（d）梁的彎矩圖，其圖形面積代數和均為零（（c）梁剪力爭在受散布和集中力偶矩時例外）。圖5【證明】設軸力為Nx，扭矩為Tx，彎矩為Mx，剪力為Qx，E為彈性模量，G為切變性模量，I和IP分別為軸慣性矩和極慣性矩，A為桿的截面面積。(a)圖，受隨意散布和集中的軸向力作用。桿的總伸長為l0。由胡克定律，正應變xNx，故軸力爭面積的代數和為EANll0NxdxEAxdxEAl00(b)圖,受隨意散布和集中的扭力偶作用。圓軸扭轉角的界限條件為0l0，依據圓軸扭轉變形基本公式dTx，故扭矩圖面積的代數和dxGIP為lldlT0TxdxGIP0dxdxGIP00(c)圖，受隨意散布和集中的橫向載荷作用。關于簡支梁，M0Ml0，dM且在無散布力偶矩的狀況下，剪力與彎矩的微分關系為Q，故有dMdxll0QdxM00dx遇到散布和集中力偶矩作用時,此值一般不為零，因為關系式dMQ中，未考慮散布力偶矩的作用。在這類狀況下，應修正為dxlQmxdxMi0i此中mx與Mi為散布力偶矩和集中力偶矩，逆時針為正。(d)圖，受隨意散布和集中的橫向載荷及力偶矩作用。兩頭固支梁，轉角邊界條件為0l0，有微分關系為d2ydMdx2dxEIlldEIxMMx