最新北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第一章特殊平行四邊形課件

第一章特殊平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形1下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形。觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？與下圖相比較，這些平行四邊形特殊在哪里？這些平行四邊形的鄰邊相等。像這樣的平行四邊形叫做菱形。有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形。觀察這些平行四邊形，你能2圖片中有你熟悉的圖形嗎？

你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流。圖片中有你熟悉的圖形嗎？你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與3（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？

菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分。中心對稱圖形。

（2）你認(rèn)為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流。

想一想（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)4（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？做一做

用菱形紙片折一折，回答下列問題：菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，兩條對稱軸互相垂直。菱形的四條邊相等。（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間5菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱形領(lǐng)條對角線所在的直線。兩條對稱軸互相垂直。菱形的鄰邊相等，對邊相等，四條邊都相等。通過上面的折紙活動，我們可以發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊相等，對角線互相垂直。下面我們證明這些結(jié)論。（2）菱形中有哪些相等的線段？

菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱形領(lǐng)條對角線所在的直線。6已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相7證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的對邊相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，8（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四邊形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD（2）∵AB=AD9定理菱形的四條邊都相等。定理菱形的兩條對角線互相垂直。

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)：定理菱形的四條邊都相等。定理菱形的兩條對角線互相垂直10例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長。

例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，11

12隨堂練習(xí)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.隨堂練習(xí)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)13最新北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第一章特殊平行四邊形課件14已知:如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1).對角線AC的長度;(2).菱形ABCD的面積.菱形性質(zhì)的應(yīng)用已知:如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線15解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠A16已知，如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求證：△ABC是等邊三角形。如圖，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周長。已知，如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.如圖，在菱形17已知，如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O。求證：AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.通過本題你又能得到菱形有什么性質(zhì)？菱形的每條對角線平分一組對角。已知，如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O。求18如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,圖中有多少個(gè)等腰三角形和直角三角形？如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,圖中有多19已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E,連接BE.求證：∠AFD=∠CBE.已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC20菱形的判別方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四條邊都相等的四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

想一想怎樣判別一個(gè)四邊形(平行四邊形)是菱形?菱形的判別方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.21定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形的判定已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證:四邊形ABCD是菱形.CBDA定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形的判定已知:如圖,在四22分析:利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形。分析:利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可23定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC⊥BD.求證:四邊形ABCD是菱形.DBCAO定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在□AB24證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等)∴四邊形ABCD是菱形.分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即可.證明:分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即25課堂小結(jié)1、定理:菱形的四條邊都相等.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.CBDA2、定理:菱形的兩條對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.∵AC,BD是菱形ABCD的兩條對角線.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.DBCAO課堂小結(jié)1、定理:菱形的四條邊都相等.CBDA2、定理26定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在四邊形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的兩條對角線,AC⊥BD.∴四邊形ABCD是菱形.CBDADBCAO定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理:對角線互相垂直的平行27第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形28學(xué)習(xí)

目

標(biāo)1、能用綜合法證明矩形的性質(zhì)定理、判定定理以及相關(guān)結(jié)論；2、能用矩形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明與計(jì)算．學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能用綜合法證明矩形的性質(zhì)定理、29請從邊、角、對角線三個(gè)方面說一說平行四邊形有哪些性質(zhì)？邊：對邊平行且相等；角：對角相等；對角線：對角線互相平分．新課

導(dǎo)

入請從邊、角、對角線三個(gè)方面說一說平行四邊形有哪些性質(zhì)？邊：對30

分析：（1）矩形的形成過程是平行四邊形的一個(gè)角由量變到質(zhì)變的變化過程．（2）矩形只比平行四邊形多一個(gè)條件：“一個(gè)角是直角”，不能用“四個(gè)角都是直角的平行四邊形是矩形”來定義矩形．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．知識

講

解分析：（1）矩形的形成過程是平行四邊形的一個(gè)角由量變31矩形與平行四邊形之間的關(guān)系平行四邊形矩形（3）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)（共性），還具有它自己特殊的性質(zhì)（個(gè)性）．矩形與平行四邊形之間的關(guān)系平行四邊形矩形（3）矩形是特殊的平32（4）從邊、角、對角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì)．①邊：對邊平行且相等（與平行四邊形相同），鄰邊互相垂直；②角：四個(gè)角是直角（性質(zhì)1）；③對角線：相等且互相平分．ABCDO（4）從邊、角、對角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì)．A33定理:矩形的四個(gè)角都是直角.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形.分析:由矩形的定義,利用對角相等,鄰角互補(bǔ)可使問題得證.證明:∵四邊形ABCD是矩形.∴∠A=90,四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90,∠D=180-∠A=90.求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90.∴四邊形ABCD是矩形.DBCA定理:矩形的四個(gè)角都是直角.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形34定理:矩形的兩條對角線相等.已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線.求證:AC=BD.證明:∵四邊形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根據(jù)矩形的性質(zhì),可轉(zhuǎn)化為全等三角形(SAS)來證明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.定理:矩形的兩條對角線相等.已知:如圖,AC,BD是矩形AB35推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．練一練：如圖，在矩形ABCD中：問：在Rt△ABC中，斜邊AC上的中線是OB，它與斜邊的關(guān)系是OB=

AC．問：是不是所有的三角形都有這樣的性質(zhì)?關(guān)鍵是是不是任何一個(gè)三角形都可以放進(jìn)一個(gè)矩形里?推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．練一練：如圖，在36【例1】已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形對角線的長.解析:∵四邊形ABCD是矩形.DBCAO你認(rèn)為例1還可以怎么去解？【例1】已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,A37定理:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.分析:利用同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行來證明四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°.∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求證:四邊形ABCD是矩形.∴四邊形ABCD是平行四邊形.DBCA∴四邊形ABCD是矩形.結(jié)論定理:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形AB38定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC=BD.求證:平行四邊形ABCD是矩形.DBCA分析:要證明□ABCD是矩形,只要證明有一個(gè)角是直角即可.證明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴四邊形ABCD是矩形.定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.已知:如圖,在□ABCD39下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？（1）對角線相等的四邊形是矩形；（）（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（）（3）有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）（4）對角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）√

√

跟蹤訓(xùn)練╳╳下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？√√跟蹤訓(xùn)練╳╳40定理:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.求證:△ABC是直角三角形.已知:CD是△ABC邊AB上的中線,且EABCD分析:要證明△ABC是直角三角形,可以將點(diǎn)A,B,C構(gòu)造平行四邊形,然后證明其對角線相等,即可證明是矩形.定理:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角41證明:延長CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.∴四邊形ACBE是平行四邊形.∵AB=2CD,CE=2CD.∴AC=DB.∴四邊形ACBE是矩形.∵AD=BD,CD=ED.∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.證明:延長CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.∴四邊形A421．如圖所示，已知□ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能說明□ABCD是矩形的有

（填寫序號）.解析：根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形；矩形的定義.答案：①④隨堂

練

習(xí)1．如圖所示，已知□ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB432．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，則DE＝

．解析：根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：42．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E443．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．解析：（1）在等邊△ABC中，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴∠DAC＝30o，又∵等邊△ADE，∴∠DAE＝60o，∴∠CAE＝30o.3．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作45（2）在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點(diǎn)，D是BC邊的中點(diǎn)，∴CF＝AD，∠CFA＝90o，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30o，∴∠EAF＝60o+30o＝90o，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵∠CFA＝90o，∴四邊形AFCE是矩形．（2）在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點(diǎn)，D是BC邊的中點(diǎn)464．已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．證明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn).∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四邊形BMDN是矩形.4．已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和47通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：1、矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是直角；（2）矩形的對角線相等；（3）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2、矩形的判定定理：（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.本課

小

結(jié)通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：本課小結(jié)48第一章特殊平行四邊形1.3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形49由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角為直角的菱形．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.定義正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形的性質(zhì)=菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì).由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一50定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.求證:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對角線.ABCDO定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平51分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.證明:∴四邊形ABCD是平行四邊形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD,;∵四邊形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.證明52定理:正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.ABCD已知:四邊形ABCD是正方形.定理:正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A53證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=54對角線相等的菱形是正方形.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.對角線互相垂直的矩形是正方形.正方形的判定方法：對角線相等的菱形是正方形.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.對角552.在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，

則∠AEB的度數(shù)為（）1.在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，則□ABCD的周長為（）隨堂

練

習(xí)A．6B．9C．12D．15ABCD【解析】選C.可證明□ABCD是菱形．A．10°B．12.5°C．15°D．20°C2.在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，

則∠AEB的度563.如圖所示，在菱形ABCD中，兩條對角線AC＝6，BD＝8，則此菱形的邊長為（）A．5 B．6C．8 D．10ABCD【解析】選A.根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分和勾股定理得菱形的邊長為5.4．若一個(gè)菱形的邊長為2，則這個(gè)菱形兩條對角線長的平方和為（）A．16 B．8 C．4

D．1A3.如圖所示，在菱形ABCD中，兩條對角線AC＝6，BD＝575.如圖，已知正方形ABCD，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，連結(jié)DE，CE，則∠DEC=_______.

【解析】△ABE為等邊三角形∠BAE=60°，∠DAE=150°，△ABE為等腰三角形，∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°答案：30°5.如圖，已知正方形ABCD，以AB為邊向正方形外作等邊三角586.如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．(1)求證：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求證：四邊形BFCE是菱形．6.如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD59【證明】（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.∵CE∥BF，∴∠DBF=∠DCE.又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE.（2）∵△CDE≌△BDF，∴DE=DF.∵BD=CD，∴四邊形BFCE是平行四邊形.在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即EF⊥BC.∴四邊形BFCE是菱形.【證明】（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.60本課

小

結(jié)2、正方形常用的判定方法：(1)對角線相等的菱形是正方形.(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.(3)對角線互相垂直的矩形是正方形.1、正方形的性質(zhì)：(4)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì)本課小結(jié)2、正方形常用的判定方法：(1)對61第一章特殊平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形62下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形。觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？與下圖相比較，這些平行四邊形特殊在哪里？這些平行四邊形的鄰邊相等。像這樣的平行四邊形叫做菱形。有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形。觀察這些平行四邊形，你能63圖片中有你熟悉的圖形嗎？

你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流。圖片中有你熟悉的圖形嗎？你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與64（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？

菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分。中心對稱圖形。

（2）你認(rèn)為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流。

想一想（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)65（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？做一做

用菱形紙片折一折，回答下列問題：菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，兩條對稱軸互相垂直。菱形的四條邊相等。（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間66菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱形領(lǐng)條對角線所在的直線。兩條對稱軸互相垂直。菱形的鄰邊相等，對邊相等，四條邊都相等。通過上面的折紙活動，我們可以發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊相等，對角線互相垂直。下面我們證明這些結(jié)論。（2）菱形中有哪些相等的線段？

菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱形領(lǐng)條對角線所在的直線。67已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相68證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的對邊相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，69（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四邊形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD（2）∵AB=AD70定理菱形的四條邊都相等。定理菱形的兩條對角線互相垂直。

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)：定理菱形的四條邊都相等。定理菱形的兩條對角線互相垂直71例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長。

例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，72

73隨堂練習(xí)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.隨堂練習(xí)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)74最新北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第一章特殊平行四邊形課件75已知:如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1).對角線AC的長度;(2).菱形ABCD的面積.菱形性質(zhì)的應(yīng)用已知:如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線76解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠A77已知，如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求證：△ABC是等邊三角形。如圖，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周長。已知，如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.如圖，在菱形78已知，如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O。求證：AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.通過本題你又能得到菱形有什么性質(zhì)？菱形的每條對角線平分一組對角。已知，如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O。求79如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,圖中有多少個(gè)等腰三角形和直角三角形？如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,圖中有多80已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E,連接BE.求證：∠AFD=∠CBE.已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC81菱形的判別方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四條邊都相等的四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

想一想怎樣判別一個(gè)四邊形(平行四邊形)是菱形?菱形的判別方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.82定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形的判定已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證:四邊形ABCD是菱形.CBDA定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形的判定已知:如圖,在四83分析:利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形。分析:利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可84定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC⊥BD.求證:四邊形ABCD是菱形.DBCAO定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在□AB85證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等)∴四邊形ABCD是菱形.分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即可.證明:分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即86課堂小結(jié)1、定理:菱形的四條邊都相等.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.CBDA2、定理:菱形的兩條對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.∵AC,BD是菱形ABCD的兩條對角線.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.DBCAO課堂小結(jié)1、定理:菱形的四條邊都相等.CBDA2、定理87定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在四邊形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的兩條對角線,AC⊥BD.∴四邊形ABCD是菱形.CBDADBCAO定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理:對角線互相垂直的平行88第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形89學(xué)習(xí)

目

標(biāo)1、能用綜合法證明矩形的性質(zhì)定理、判定定理以及相關(guān)結(jié)論；2、能用矩形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明與計(jì)算．學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能用綜合法證明矩形的性質(zhì)定理、90請從邊、角、對角線三個(gè)方面說一說平行四邊形有哪些性質(zhì)？邊：對邊平行且相等；角：對角相等；對角線：對角線互相平分．新課

導(dǎo)

入請從邊、角、對角線三個(gè)方面說一說平行四邊形有哪些性質(zhì)？邊：對91

分析：（1）矩形的形成過程是平行四邊形的一個(gè)角由量變到質(zhì)變的變化過程．（2）矩形只比平行四邊形多一個(gè)條件：“一個(gè)角是直角”，不能用“四個(gè)角都是直角的平行四邊形是矩形”來定義矩形．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．知識

講

解分析：（1）矩形的形成過程是平行四邊形的一個(gè)角由量變92矩形與平行四邊形之間的關(guān)系平行四邊形矩形（3）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)（共性），還具有它自己特殊的性質(zhì)（個(gè)性）．矩形與平行四邊形之間的關(guān)系平行四邊形矩形（3）矩形是特殊的平93（4）從邊、角、對角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì)．①邊：對邊平行且相等（與平行四邊形相同），鄰邊互相垂直；②角：四個(gè)角是直角（性質(zhì)1）；③對角線：相等且互相平分．ABCDO（4）從邊、角、對角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì)．A94定理:矩形的四個(gè)角都是直角.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形.分析:由矩形的定義,利用對角相等,鄰角互補(bǔ)可使問題得證.證明:∵四邊形ABCD是矩形.∴∠A=90,四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90,∠D=180-∠A=90.求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90.∴四邊形ABCD是矩形.DBCA定理:矩形的四個(gè)角都是直角.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形95定理:矩形的兩條對角線相等.已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線.求證:AC=BD.證明:∵四邊形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根據(jù)矩形的性質(zhì),可轉(zhuǎn)化為全等三角形(SAS)來證明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.定理:矩形的兩條對角線相等.已知:如圖,AC,BD是矩形AB96推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．練一練：如圖，在矩形ABCD中：問：在Rt△ABC中，斜邊AC上的中線是OB，它與斜邊的關(guān)系是OB=

AC．問：是不是所有的三角形都有這樣的性質(zhì)?關(guān)鍵是是不是任何一個(gè)三角形都可以放進(jìn)一個(gè)矩形里?推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．練一練：如圖，在97【例1】已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形對角線的長.解析:∵四邊形ABCD是矩形.DBCAO你認(rèn)為例1還可以怎么去解？【例1】已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,A98定理:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.分析:利用同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行來證明四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°.∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求證:四邊形ABCD是矩形.∴四邊形ABCD是平行四邊形.DBCA∴四邊形ABCD是矩形.結(jié)論定理:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形AB99定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC=BD.求證:平行四邊形ABCD是矩形.DBCA分析:要證明□ABCD是矩形,只要證明有一個(gè)角是直角即可.證明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴四邊形ABCD是矩形.定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.已知:如圖,在□ABCD100下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？（1）對角線相等的四邊形是矩形；（）（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（）（3）有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）（4）對角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）√

√

跟蹤訓(xùn)練╳╳下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？√√跟蹤訓(xùn)練╳╳101定理:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.求證:△ABC是直角三角形.已知:CD是△ABC邊AB上的中線,且EABCD分析:要證明△ABC是直角三角形,可以將點(diǎn)A,B,C構(gòu)造平行四邊形,然后證明其對角線相等,即可證明是矩形.定理:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角102證明:延長CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.∴四邊形ACBE是平行四邊形.∵AB=2CD,CE=2CD.∴AC=DB.∴四邊形ACBE是矩形.∵AD=BD,CD=ED.∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.證明:延長CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.∴四邊形A1031．如圖所示，已知□ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能說明□ABCD是矩形的有

（填寫序號）.解析：根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形；矩形的定義.答案：①④隨堂

練

習(xí)1．如圖所示，已知□ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB1042．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，則DE＝

．解析：根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：42．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E1053．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．解析：（1）在等邊△ABC中，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴∠DAC＝30o，又∵等邊△ADE，∴∠DAE＝60o，∴∠CAE＝30o.3．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作106（2）在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點(diǎn)，D是BC邊的中點(diǎn)，∴CF＝AD，∠CFA＝90o，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30o，∴∠EAF＝60o+30o＝90o，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵∠CFA＝90o，∴四邊形AFCE是矩形．（2）在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點(diǎn)，D是BC邊的中點(diǎn)1074．已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．證明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn).∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四邊形BMDN是矩形.4．已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和108通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：1、矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是直角；（2）矩形的對角線相等；（3）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2、矩形的判定定理：（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.本課

小

結(jié)通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：本課小結(jié)109第一章特殊平行四邊形1.3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形110由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角為直角的菱形．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.定義正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形的性質(zhì)=菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì).由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一111定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.求證:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對角線.ABCDO定理:正方形的兩條對角線