2022考研數(shù)二真題及解析

20222022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題第第頁(yè)共20頁(yè)D=2aD-

n n—1D=2aD-

n n—132 102a1a22a1a22a=2aD[-a20^=2anan-i-a2(n-1)az=(n+1)anIA|=(n+1)an證法三：記口啊將其按第一列展開(kāi)得證法三：記口啊將其按第一列展開(kāi)得D=2aD—a2D薩以即薩以即D-aD=aD-azD=a(D-aD)TOC\o"1-5"\h\znn-1 n—1 n-2 n-1 n-2=a2(D-aD)==an-2(D-aD)=an

n-2 n-3 2 1D=an+aD=an+a(a『i+aD)=2an++a2Dn n—1 n-2 n-2==(n-2)an+an-2D=(n-1)an+an-iD=(n-1)an+an-i.2a=(n+1)an(II)因?yàn)榉匠探M有唯一解，所以由人*=日知|A|*09又|A|=(n+1)an,故a/0'由克萊姆法那么，將°的第1列換成°，得行列式為02a1a22a2aa22a02a1a22a2aa22a=D=nan-in-1所以xD1~”[n+1)a(III)方程組有無(wú)窮多解，由|a=°，有a=°，那么方程組為T(mén)OC\o"1-5"\h\z01 X 10I x 0C 2?：?■01 x 00 X 0此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n_，所以方程組有無(wú)窮多解，其通解為k(100O)T+(O10 O)T,k為任意吊數(shù)?(23)【詳解】(I)證法一：假設(shè)“a線性相關(guān)?因?yàn)棰茳c(diǎn)分別屬于不同的特征向量，故：a線性無(wú)關(guān)，那么a可由aa線性表出"不妨設(shè)eza，其中「木全為零(假設(shè)m同時(shí)知6,瀬么a為'6,由Aa=a+a可航=。,而特征向量都是非0向量，余盾)yAa=-a,Aa=aAa=a+a=a+la+la9TOC\o"1-5"\h\z3 2 3 2 11 22Aa=A(la+Ia)=-Ia+Ia3 11 22 11 22:-Ia+Ia=a+Ia+Ia9整理得：21a+a=011 22 2 11 22 112那么咨線性相關(guān)，矛盾.所以，°…線性無(wú)關(guān).’2證法二：設(shè)存在數(shù)*，使得1231 1(1)ka+ka+ka=022 33用A左乘(1)的兩邊并由Aa=_a,Aa=a得1 1 2 2?ka+(k+k)a+ka=011 2 3 2 33(4)⑴—⑷得(3)2ka-ka=011 32向量,得k關(guān)因?yàn)樾氖莂的屬于不同特征值的特征所以aa 無(wú)關(guān)，從而k=k=0,代入(1)a=。，又備關(guān)豐。，所以k=。，'虹,a線性無(wú)!2 2 2 123(II)記…壽)，那么P可逆，1 2 3AP=A(a,a,a)=(Aa,Aa,Aa)=(-a