電磁場理論復習考試題

第1~2宗矢■分析宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律—?1.設：直角坐標系中，標量場u=xy+yz+zx的梯度為A，則M（l,1,1）處已知矢量場A=e（y+z）+e4xy2+/xz，則在M1,1,1處V-A=^。TOC\o"1-5"\h\zxyz—亥姆霍茲定理指出，若唯一土地確定一個矢量場（場量為A），則必須同時給定該場矢量—?—?的旋度VxA及散度V-A。4.4.——寫出線性和各項同性介質中場量D、————————————D=￡E,B=^H,J=cE

程）：:E、B、H、J所滿足的方程（結構方卜J.dS=一色v-J=—坐Sdtdt電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為和設理想導體的表面A的電場強度為E、磁場強度為B，則（a）E、B皆與A垂直。（b）E與A垂直，B與A平行。（c）E與A平行，B與A垂直。>>（d）E、B皆與A平行。答案：B兩種不同的理想介質的交界面上，（A）E=E2,H=H2（B）"E2n，H1n=H2n—>—>—>—>（C）E廣E21,H1t=H21（D）ElE21,Hn=H由答案：C—?設自由真空區(qū)域電場強度E=eyE°sin（如-窿（V/m），其中E0、力、月為常數(shù)。則?空間位移電流密度Jd（A/m2?空間位移電流密度Jd（A/m2）為:(b)esEcos(st-Pz)(c)egEcos(st-&z)(d)-e陽0cos(st-Pz)答案：C已知無限大空間的相對介電常數(shù)為￡=4，電場強度E=epcos苴（V/m），其中

x02dPo、d為常數(shù)。則x=d處電荷體密度p為:(a)-埠(b)-V(c)-普

d(a)-埠(b)-V(c)-普

ddd（d）一￥答案：d已知半徑為Ro球面內外為真空，電場強度分布為—(-ecos。+esin0)o—(e2cos0+e?sin0)(r<R°)(r>Rp求（1）常數(shù)B；（2）球面上的面電荷密度；（3）球面內外的體電荷密度。Sol.(1)球面上由邊界條件E=E得：一sin0=一sin0—B=2R21t2tRR3000(2)由邊界條件D偵-D2n=P得：6s?p=s(E一E)=s(E一E)=—cos0s01n2n01r2rR0——(3)由V?D=p得：=SVE=S1a(r2E)+s18(E0sin0)=J0P00r28r0rsin080〔0(r<R)(r>Rp即空間電荷只分布在球面上。已知半徑為R0、磁導率為H的球體，其內外磁場強度分布為2(ecos0-esin0)(r<R)H=」ar00一(e2cos0+esin0)(r>R)且球外為真空。求（1）常數(shù)A；（2）球面上的面電流密度JS大小,Sol.球面上(r=R°):H^為法向分量；氣為法向分量(1)球面上由邊界條件B=B得：^H二日H-A二欄R3"221r°2r口。。(2)球面上由邊界條件H1?-H如=七得J=(H-H)1=-(2+上)sin6'1626F口°第3章靜電場及其邊值問題的解法靜電場中電位?與電場強度E的關系為E=—V"；在兩種不同的電介質（介電常數(shù)分別為8和￡）的分界面上，電位滿足的邊界條件為'="2；Z否1=%盂。12—?—?—?設無限大真空區(qū)域自由電荷體密度為P，則靜電場：VxE=0，—?V-E=—Q/%3.4.電位。和電場強度E滿足的泊松方程分別為V2"=—§、V2E=￥.土土w=-SE2介電常數(shù)為￡的線性、各向同性的媒質中的靜電場儲能密度為——對于兩種不同電介質的分界面電場強度的切向分量及電位移的法向分量總是連續(xù)的。3.4.如圖，E］、E2分別為兩種電介質內靜電場在界面上的電場強度，弓=3￡］，。1=30°，則02=60°，IE]LiE21=37.8.理想導體與電介質的界面上表面自由電荷面密度p與電位沿其法向的方向導數(shù)性的閾s前關系為'瓦——P，。如圖，兩塊位于尤=0和7.8.理想導體與電介質的界面上表面自由電荷面密度p與電位沿其法向的方向導數(shù)性的閾s前關系為'瓦——P，。如圖，兩塊位于尤=0和尤=d處無限大導體平板的電位分別為0、U0，其內部充滿體密度§=PO（1—ex-d）的電荷（設內部介電常數(shù)為￡。）。（1）利用直接積分法計算0<x<d區(qū)域的電位?及電場強度E；（2）x=0處導體平板的表面"］=0電荷密度。Sol.為一維邊值問題："=。⑴?-xdV2。=一區(qū)n空1=—K(1-ex-d)&dx2&0邊界條件：1(x=0)=0,1(x=d)=U0(1)直接積分得：p/x2Up1(p/x2Up1(x)=0(ex-d———+e-d)+[—0s°2de(x)=-vi=-ex=-edx(2)由%為'曰一=-Ps得:p=-ss4(1—d2+e-d)]xs0d[—0(ex-d-x)+s08。8。08n08xgo--P^(1-d2+e-d)]ds0d=sE(x)|x=0=-p[S°U^-1—d~+e-d(1-項0pddd9.如圖所示橫截面為矩形的無限長直導體槽，內填空氣。已知側壁和底面的電位為零，而頂蓋的電位為匕。寫出導體槽內電位所滿足的微分方程及其邊界條件，并利用直角坐標系分離變量法求出該導體槽內的電位分布。Sol.（略）見教材第82頁例3.6.110.如圖所示，在由無限大平面和突起的半球構成的接地導體上方距離平面為d處有一個點電荷q0。利用鏡像法求z軸上乙>a各點的電位分布。Sol.空間電荷對導體表面上部空間場分布的影響等效于：無限大接地導體平面+接地導體球邊界條件：1平面=*球面=0無限大接地導體平面+接地導體球邊界條件：1平面=*球面=0使虹而平面使1球面球面=0，引入鏡像電何：z'=—d,q'=—q0=0，引入鏡像電荷：a2aq=-qd1d1q=aqd0z軸上z>a各點的電位:1=—4兀s012a31——Iz-dIz2d2—a4z+d11.已知接地導體球半徑為R0，在X軸上關于原點（球心）對稱放置等量異號電荷+q.-q,位置如圖所示。利用鏡像法求（1）鏡像電荷的位置及電量大?。唬?）球外空間電位；（3）x上X>2R0各點的電場強度。Sol.（1）引入兩個鏡像電荷：q-一鳥q=-墮，X—生-R,12R212R2_R「、_q一_R:q2=-我(-q)=2，x=—0R

=0_22R20fq+q+%-q]

lRRRRf]

V127R=d(X-2R)2+y2+z2，R=J(X—R/2)2+y2+z2R=.、:(x+R/2)2+y2+z2，R'=.<(x+2R)2+y2+z2(3)x軸上x>2R0各點的電場強度：1(2)巾3,y,z)=一4^80（略）q+-q/2+q/2+q(x-2R0)2(X-R°/2)2(x+R°/2)2(x+2R0)212.如圖所示，兩塊半無限大相互垂直的接地導體平面，在其平分線上放置一點電荷q，求（1）各鏡像電荷的位置及電量；（2）兩塊導體間的電位分布。Sol.q=-q,q2=+q°,q3=-q0，8(x,y,z)%0,0)(0,-i,0)(a,0,0)lR+R+牛+R]'0123/14赤0=(略)其中：R=』x2+(y-a)2+z2R=寸(X+a)2+y2+z2r2=Jx2+(y+a)2+z2R=J(X-a)2+y2+z2

第4章恒定電場與恒定磁場線性和各項同性的均勻導電媒質內部電荷體密度等于，凈余電荷只能分布在該導電媒質的上。—?—?線性和各項同性的均勻導電媒質中，V?J二—0；▽?D二0。在電導率不同的導電媒質分界面上，電場強度E和電流密度J的邊界條件為:E-氣t、On-J2n。p="E2在電導率為"的導電媒質中，功率損耗密度pc與電場強度大小E的關系為。5.6.恒定磁場的矢量磁位A與磁感應強度B的關系為B=N*人；A所滿足的泊松方程對線性和各項同性磁介質（磁導率設為H），恒定磁場日^磁場強度大小為H）的磁能密，V空間磁能wm=已知恒定電流分布空間的矢量磁位為：A=平2y+七〉2X+eCxyz，c為常數(shù)，且A滿足庫侖規(guī)范。求（1）常數(shù)C；（2）電流密度J；（3）磁感應強度B。5.6.（直角坐標系中：Vxa=e（直角坐標系中：Vxa=ex（z5y8a瀝-——)+e(—xdzydzSa—X)6y-八SA6ASA八八”Sol.(1)庫侖規(guī)范：V?A=0—x++^z=2xy+2xy+Cxy=0nC=—4TOC\o"1-5"\h\z6x6y6zx1(62A62A62A++p^6x26y26z2/(2)由V2A=x1(62A62A62A++p^6x26y26z2/—y_—、p(3)B=VxA=—e4xz+e4yz+e(y2—x2)（P.136.習題4.2）在平板電容器的兩個極板間填充兩種不同的導電媒質（[q"和82，"2）,其厚度分別為氣和d2。若在兩極板上加上恒定的電壓U0。試求板間的電位中、電場強度E、電流密度J以及各分界面上的自由電荷密度。Sol.用靜電比擬法計算。用電介質（氣和弓）替代導電媒質，靜電場場強分別設為E1、E2Ed+Ed1D1122=DT8E2=U0=8E22—?電位移：D—?=81E]Ex=1=-e82U0x8d+8d2112八8U

=-e1~0——x8d+8d￡[8U0(0<x<d1)8U0x8d+8d

21128x+(8—12(0<x<d)Ed+E(x-d)11一bU^xbd+bd2112bx+(b-b)d=—121——1U0—?J=-ePlsx=01bd+bd-ewxbd+bd2112八bU—e1~0xbd+bdbbUxbd+bd-8—1=-8—11dn1dxPIsx=d1+d-8)d

—1——8d+8d2112°o們eoe，則導電媒質中的恒定電場：(0<x<d1)(0<x<d1)pIsx=d18*寧0bd+bd_de_de_8bu2dn2d(一x)bd+bd(d『^e):1M￡2W)也-8叢]1dn2dn)x=d]x=d](8b-8b)U

bd+bd可知：非理想電容器兩極上的電荷密度為非等■異號p|sx=0才有電容定義。，-Psi”只有理想電容器9.一橫截面為正方形的扇形均勻導電媒質，其內、夕卜半徑分別為a、2a，電導率為b。如圖建立圓柱坐標，若電位e|皿=u（常量）及e|=0。求（1）導電媒質上電位分布以司0啊及恒定電場的電場強度E;（2）該情況下導電媒質的直流電阻R。(1)V2gon上迎=0ngAp+8

p2dq)2（第9題圖）(2)/=』</?dS=fj?(sdp)=f—?—?—?Saa2oU1z_(1)V2gon上迎=0ngAp+8

p2dq)2（第9題圖）(2)/=』</?dS=fj?(sdp)=f—?—?—?Saa2oU1z_FB?(Q?dp)=2(JaUe71In2U直流電阻：R=t

—A—A大712biln210.—橫截面為正方形的扇形均勻導電媒質，其內、夕卜半徑分另！J為1、2a,電導率為。o如圖建立圓柱坐標，若電位8|=U（常量）及81=0。求（1）導電媒質上電位分布p=a0p=2a以及導電媒質上恒定電場的電場強度E；（2）該情況下導電媒質的直流電阻RoSol.由邊界條件可知，導電媒質上電位?僅與坐標P有關，即。=8（P）(1)V2(|)=0n—PrPdp^dp二0n(|)=AInp+B7由8|="o及8|2=0得：8(P)=-焉lnp+焉ln(2o)如U1E=—V(p=—e—e-―er—pdpPln2p"U1eiQ—pln2p（第10題圖）J[JJz聽QU/=JJdS=J?(q?^-)二o—?—?S一nu21n2直流割且項=芋=頑由叫兀="及們=°得:<b(<p)=—(p=20(p=0?！浮如1伽如2U1E=—V(p=—e^—-e—————e——e—?-—pcp<ppc(pzdz<p兀p2oU19-——71P第5章電磁波的輻射1.復數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個旋度方程為2.A坡印亭矢量S的瞬時表示式是，平均值是1.復數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個旋度方程為2.A坡印亭矢量S的瞬時表示式是，平均值是—?3.-,工、,一、，_-二d2E一、、一、自由空間中時變電磁場的電場滿足的波動方程為V2E-3亍=0,這個方程在正弦dt2電磁場的情況下變?yōu)閂2E+k2E=0。3.4.在無損耗的均勻媒質G四)中，正弦電磁場的磁場滿足的亥姆霍茲方程為4.TOC\o"1-5"\h\z??—A—AV2H+k2H=0,其中⑦T。(A)k2=32日8(B)k2=32日282-■32.1(C)k2=——(D)k2=日832日85.在時變電磁場中，磁感應強度B與位的關系為B=Vx在，辦5.E=-VO-—電場強度E與位的關系為所.6.已知某一理想介質(8=4七卜5煩頊6.已知某一理想介質(8=4七卜5煩頊0-流復矢量為Jd=eJ0cos2e-j禺(A)e￡cos阻e-假J^yn(C)e.0sin—e-j&，a、P、(B)(D)中))時諧電磁場的角頻率為①，位移電J0皆為常數(shù)。則電場強度復矢量E為e—cos-^e—j&xj4咬aJ?nyqe-~0—sin——e-j&xj4咬a答案：B7.電偶極子天線的功率分布與。的關系為—a7.(a)sin20(b)sin0一(c)cos20(d)cos08.自由空間的原點處的場源在t時刻發(fā)生變化，此變化將在—b8.自由空間的原點處的場源在t時刻發(fā)生變化，此變化將在—b函數(shù)中和Z。r(a)t——；cr(b)t+—；(c)t；c(d)任意.時刻影響到「處的位9.在球坐標系中，電偶極子的輻射場(遠區(qū)場)的空間分布與坐標的關系―c9./、sin20sin0sin0sin20x(b)次(c)x(d)x——rr2rr2一均勻平面波垂直入射至導電媒質中并在其中傳播，則(A)不再是均勻平面波。(B)空間各點電磁場振幅不變

(C)(A)不再是均勻平面波。(B)空間各點電磁場振幅不變(C)電場和磁場不同相。。(D)傳播特性與波的頻率無關。答案：C(A)E—e10-e-/z+e10j-e-/z(C)E—(A)E—e10-e-/z+e10j-e-/z(C)E—e10-e一j兀z—e10-e-j兀z(D)E—e10-e-jz+e10-e+加z答案：C12、已知真空中某時諧電場瞬時值為E(x,z,t)—e-sin(10m)cos皿―kz)。試求電場和磁場復矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。一一_解：所給瞬時值表示式寫成下列形式—?E(x,z,t)—Re[e》sin(1Ckx)e—jkzzej^t]因此電場強度的復矢量表示為E(x,z)—esin(10ix)e—安y由麥克斯韋方程組的第二個方程的復數(shù)形式可以計算磁場強度的復矢量為H(x,z)—-^(VxE)——-L-H(x,z)—-^(VxE)——-L-j即j即0.0exddxEeyddyEyezddzEzxk、—sin(1皈x)—e叩z010兀j即0cos(1皈x)e—jkzJ功率流密度矢量的平均值§破等于復坡印廷矢量的實部，即exExexExH*x_—2Re(eEH^-eEH*S—Re(S)—：Re(ExH*)—2ReeyEyH*yezEzH*z-^Ree2元kj^sin(20兀x)+e-e一sin2(10^x)z2叩0

13、已知真空中時變場的矢量磁位為A(z,r)=e%Aocos(or-fe)求:-^Ree213、已知真空中時變場的矢量磁位為A(z,r)=e%Aocos(or-fe)求:(1)電場強度。和磁場強度日；(2)坡1|3廷矢量及其平均值。解：⑴把矢量磁位的瞬時值表小為4(z，r)=Re[/Ae-jkzex0則矢量磁位的復數(shù)形式為A(z)—eAe-jkz

x0根據(jù)磁場強度復數(shù)形式丑與矢量磁位復數(shù)形式人之間關系可以求出11H(z)=—(VxA)=—R一R.o.o磁場強度的瞬時值為_H(z,t)—e(么°)cos(cof-kz—號)根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個方程VxH=J+加。，此時，=0,電場強度與磁場強度之間關系為?.eXdxAXeyddyAyezdAeee11xy‘E(z)二——(VxH)=旦uaJCOSJCDS6xdy&,HHH一X一y一z電場強度的瞬時值為E(z/)=Re歸幻s=e(—jkA)e-jk乙yo一1dHk^A

——e=e9-e-jkzxjcosdzxjcosk^Az7兀、

COS((D?-KZ-—)

co2TOC\o"1-5"\h\zZ二占八八*3人27冗、八*3人271S=ExH=&xegos2(cdz-kz~—)-ecos2(co?-kz~—)\o"CurrentDocument"xyCOE2%CD82坡印廷矢量的平均值為1>42S二Re(S)=土Re(ExH*)=—/—什⑶2乙2co8第6章、均勻平面波的傳播兩個同頻率、同方向傳播，極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波，則它們的振幅相同，相位相差土兀/2。均勻平面波垂直入射到理想導體表面上反射波電場與入射波電場的振W如相^_，相位相差土。均勻平面波從空氣垂直入射到無損耗媒質G=2.25,卜=1q=0)表面上，則電場反射系數(shù)為—-115。''在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度為E=eJ00cos0t-20kz)V/m，則波的傳播方向為+z，頻率為3乂109Hz，波長為0.1m，波的極化方式為衛(wèi)X方向的線極化波，對懇的磁場為H=與^ss"'20lz"Am，平均坡印亭矢量S為馥zE。均勻平面波電場方向的單位矢量弓、磁場方向的單位矢量e,以及傳播方向的單位矢量e三者滿足的關系是一'廣孔*七。n損耗媒質的本征阻抗為，表明損耗媒質中電場與磁場在空間同一位置存在—A—?—A著相位差，損耗媒質中不同頻率的波其相速度不同，因此損耗媒質又稱為J色散媒質。1設海水的衰減常數(shù)為a，則電磁波在海水中的穿透深度為_^，在此深度上電場的振1幅將變?yōu)檫M入海水前的e。在良導體中，均勻平面波的穿透深度為a(d)成(d)成......—e—e—e—e—e—e9.在無源的真空中，已知均勻平面波的E=E0e-j^z和H=H0e-人，其中的E0和H0為9.常矢量，則必有-.??—?—?—?—?(a)eXE=0；(b)eXH=0；(c)E-H=0；(d)ExH=0z0z00000以下關于導電媒質中傳播的電磁波的敘述中，正確的—b不再是平面波電場和磁場不同相振幅不變以TE波的形式傳播11、已知空氣中存在電磁波的電場強度為E=eyE0cos(6兀x1081+2芯)V/m試問：此波是否為均勻平面波？傳播方向是什么？求此波的頻率、波長、相速以及對應的磁場強度H。解：均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無限大平面上場強幅度、相位和方向均相同的電磁波。電場強度瞬時式可以寫成復矢量E=eEejkz該式的電場幅度為e0，相位和方向均不變，且E-e=0nE1e，此波為均勻平面波。傳播方向為沿著-z方向。.七.七由時間相位血=6兀x1081n3=6kx108波的頻率f=3x108Hz-一-_波數(shù)k=2丸2兀波長人=—j~=1mk相速v=%=#=3x10m/s由于是均勻平面波，因此磁場為H=[(-exE)=e；ejkzTOC\o"1-5"\h\zZzxZWW12、在無界理想介質中，均勻平面波的電場強度為E=exE0sin(2Kx1081-2丸z)，已知介質的目廣1，求￡r，并寫出H的表達式。一一解：根據(jù)電場的瞬時表達式可以得到①=2kx108，k=2k，而7.一..3國一k=3甲=3非r日r<￡0日0=n8r電場強度的瞬時式可以寫成復矢量為kE=eEe-j2kz-j2

波阻抗為ZW=言=煩Q，則磁場強度復矢量為TOC\o"1-5"\h\z1E正H=七佇xe)=e誠尸"2因此磁場為.WE._…「、_H=ey40^sin(2噸x1081-2兀z)13、銅的電導率。=5.8x107S/m,Rr=￡r=1。求下列各頻率電磁波在銅內傳播的相速、波長、透入深度及其波阻抗。-一''_H=eyf=1MHz；(2)f=100MHz；(3)f=10GHz解：已知￡0r品/X10-9F/m和r0=4kx10-7H/m，那么—=—-—=—x1.044x1018os2酒￡r￡0f⑴當f=1MHz時，—=1.044x1012〉〉1，則銅看作良導體，衰減常數(shù)以和相位常數(shù)P分別為以=0=V——=15.132%：f=15.132x1032相速"=o=4.152x10-4/7=0.4152m/sp0'波長：X=W=4.152x10-4m透入深度：5=-1=6.6x10-5maJ波阻抗：Z=「呼(1+j)=2.61X10-7(1+認f=2.61X10-4(1+j)w\2。當f=100MHz時，色=1.044x1010>>1，則銅仍可以看作為良導體，衰減常數(shù)a和O￡相位常數(shù)0分別為a=0=、：一2—=15.132tf=15.132x104相速"=0=4.152xU打=4.152m/s波長：X=21=4.152x10-5m透入深度：5=-1=6.6x10-6ma波阻抗：Z=.「理(1+j)=2.61X10-7(1+j)打=2.61X10-3(1+j)w2a⑶當f=10GHz時，0-_=1.044x108>>1，則銅看作良導體，衰減常數(shù)a和相位常數(shù)0分別為a=0=、：一2—=15.132tf=15.132x105

相速"=號=4.152x10—4行=41.52m/s波長：X=舍4.152x10—6m透入深度：8=-1=6.6x10-7m波阻抗：Z=「塑(1+j)=2.61x10-7(1+j)打=2.61x10-2(1+j)wV2brr=1，求頻率為10kHz、10MHz和10GHz時14、海水的電導率rr=1，求頻率為10kHz、10MHz和10GHz時解：已知s0牝3^1~x10-9F/m和r0=4兀x10-7H/m，那么遇=f|x109。⑴當f=10kHz時，氽=f9x109=8x105>>1，則海水可看作良導體，衰減常數(shù)-和相位常數(shù)P分別為-=p-orq=3.97x10-3(f=0.3971乙相速：vp=p=1.582x103打=1.582x105波長：X=希=15.83m透入深度：8=1=2.52m-波阻抗：Z=.「塑(1+j)=0.316^x10-3(1+j)打=0.099(1+j)w\2b(2)當f=10MHz時，旦=-x102=88.89>>「則海水也可近似看作良導體，衰減常數(shù)