新高考數(shù)學(xué)專題14 結(jié)構(gòu)不良題型（數(shù)列）（教師版）

專題14結(jié)構(gòu)不良題型（數(shù)列）結(jié)構(gòu)不良題型是新課改地區(qū)新增加的題型，所謂結(jié)構(gòu)不良題型就是給出一些條件，另外的條件題目中給出三個，學(xué)生可以從中選擇1個或者2個作為條件，進(jìn)行解題。數(shù)列部分主要涉及到數(shù)列的求和以及與不等式有關(guān)的問題。一、題型選講題型一、數(shù)列中的求和問題例1、（江蘇省南京市2021屆高三上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，（1）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到上述題干中．求數(shù)列的通項公式，并判斷此時數(shù)列是否滿足條件P：任意m，n，均為數(shù)列中的項，說明理由；（2）設(shè)數(shù)列滿足，n，求數(shù)列的前n項和．注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）選=1\*GB3①，因為S1＋S3＝2S2＋2，所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，又?jǐn)?shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，因此an＝1×2n－1＝2n－1．此時任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，由于m＋n－1∈N*，所以aman是數(shù)列{an}的第m＋n－1項，因此數(shù)列{an}滿足條件P．選=2\*GB3②，因為S3＝eq\F(7,3)，即a1＋a2＋a3＝eq\F(7,3)，又?jǐn)?shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以a1＋2a1＋4a1＝eq\F(7,3)，解得a1＝eq\F(1,3)，因此an＝eq\F(1,3)×2n－1．此時a1a2＝eq\F(2,9)＜a1≤an，即a1a2不為數(shù)列{an}中的項，因此數(shù)列{an}不滿足條件P．選=3\*GB3③，因為a2a3＝4a4，又?jǐn)?shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，因此an＝4×2n－1＝2n＋1．此時任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，由于m＋n＋1∈N*，所以aman是為數(shù)列{an}的第m＋n＋1項，因此數(shù)列{an}滿足條件P．（2）因為數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以eq\F(an＋1,an)＝2，因此bn＝n×2n－1．所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2EQ\s\up4(n－1)，則2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2EQ\s\up4(n－1)＋n×2EQ\s\up4(n)，兩式相減得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2EQ\s\up4(n－1)－n×2EQ\s\up4(n)＝EQ\F(1－2n,1－2)－n×2EQ\s\up4(n)＝(1－n)2EQ\s\up4(n)－1，所以Tn＝(n－1)2EQ\s\up4(n)＋1．例2、（湖北黃岡地區(qū)高三聯(lián)考）已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．（1）在下列條件中選擇一個，使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；①數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項和構(gòu)成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）①③不能使成等比數(shù)列.②可以：由題意，………1分即，得，且，.………3分常數(shù)且，為非零常數(shù)，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．………4分（2）由（1）知，所以當(dāng)時，. ………5分因為，所以，所以，………7分.……10分例3、（2021年遼寧錦州聯(lián)考）在①，②，，③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，_____，．求數(shù)列的前項和．解：選①：當(dāng)時，，當(dāng)時，，又滿足，所以．設(shè)的公比為，又因為，得，，所以；由數(shù)列的前項和為，又可知，數(shù)列的前項和為，故．選②：設(shè)公差為，由解得所以．設(shè)的公比為，又因為，得，，所以．由數(shù)列的前項和為，又可知，數(shù)列的前項和為，故．選③：由，，所以，所以．設(shè)的公比為，又因為，得．由數(shù)列的前項和為，又可知，數(shù)列的前項和為，故．例4、（江蘇省揚(yáng)州2021屆高三上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研）在①，，成等差數(shù)列，②，，成等比數(shù)列，③，三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．已知為數(shù)列的前n項和，，(n)，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和．題型二、數(shù)列中的不等式問題例5、（江蘇省南通2021屆高三上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研）在①為等比數(shù)列，,②為等差數(shù)列，,③為等比數(shù)列，。這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中,并作答。已知數(shù)列滿足,數(shù)列滿足____________,為數(shù)列的前項和,是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,請說明理由。解：由可得,,兩式相減可得,,所以,當(dāng)時,由可得,,滿足,所以,若選①可得,所以,此時,可得,,可得,所以存在最小值為.若選②,可得，所以，此時可得，，所以存在最小值為10若選③,可得，所以，此時所以那么兩式相減得，所以不存在整數(shù)k例6、（2021年湖北咸陽中學(xué)聯(lián)考）在①，②，③三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．在已知等比數(shù)列的公比前項和為，若_____，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和，并證明．解：（1）若選擇①，可得，化為，解得舍去），又因為，，解得，所以，；選擇②，可得，解得，又，解得，可得，又因為，，解得，所以，；選擇③，可得，即，解得，又因為，，解得，所以，；（2）證明：，，由，可得．例7、（2021年湖北仙桃中學(xué)模擬）在①，②這三個條件中選擇兩個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．已知數(shù)列的前項和為，滿足____，____；又知正項等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）證明：．解：選擇①②：（1）解：由當(dāng)時，有，兩式相減得：，即，．又當(dāng)時，有，又，，也適合，所以數(shù)列是首項、公比均為的等比數(shù)列，所以；設(shè)正項等差數(shù)列的公差為，，且，，成等比數(shù)列，，即，解得：或（舍，，故，．（2）證明：由（1）可得，．選擇：②③：（1）解：由當(dāng)時，，兩式相減得：，即，．又當(dāng)時，有，又，，也適合，所以數(shù)列是首項、公比均為的等比數(shù)列，所以；設(shè)正項等差數(shù)列的公差為，，且，，成等比數(shù)列，，即，解得：或（舍，，故，．（2）證明：由（1）可得，．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、在等差數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若____，求數(shù)列的前項和．在①，②，③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在第（2）問中，并對其求解．解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，．（2）方案一：選條件①由（1）知，，．方案二：選條件②由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，，，；方案三：選條件③由（1）知，，，，兩式相減，可得．．2、在①，②，③三個條件中任選兩個，補(bǔ)充到下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足：，．（1）求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列的前項和，證明：．解：（1）①若選擇②③；由題知：，又因為，所以．所以，解得．所以．所以，所以②若選擇①②；由題知：，又因為，所以．所以，．所以．所以，所以③若選擇①③；由題知：，所以由題知：，所以所以，．所以．所以，所以．證明（2）因為，所以所以．3、從條件①，②，③，中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中，并給出解答．已知數(shù)列的前項和為，，_____．若，，成等比數(shù)列，求的值．解：選擇①，，相減可得：，，，可得：．．，，成等比數(shù)列，，，，解得．選擇②，變形得：，，化為：，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．，解得．時，．，，成等比數(shù)列，，，，解得．選擇③，，，相減可得：，化為：，可得：，數(shù)列是首項與公差都為1的等差數(shù)列，．，，，成等比數(shù)列，，，，解得．4、