習(xí)題2：生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

§生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例1．生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為____________，通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道________是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，運(yùn)用________，可以解決一些生活中的______________．2．解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要把問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，這需通過(guò)分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定，當(dāng)定義域是開區(qū)間，而且其上有惟一的極值，則它就是函數(shù)的最值．一、選擇題1．某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A．30B．40C．50D．其他2．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬(wàn)件B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件D．7萬(wàn)件3．某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為()A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米4．若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為()A．eq\r(3,V)B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)5．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為()A．eq\f(\r(3),3)cmB．eq\f(10\r(3),3)cmC．eq\f(16\r(3),3)cmD．eq\f(20\r(3),3)cm6．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是r＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400,80000x>400))，則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是()A．100B．150C．200D．300題號(hào)123456答案二、填空題7．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元．那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________千米處．8．如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長(zhǎng)最小時(shí)，x與h的比為________．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為________．三、解答題10．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。?1．某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件．如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？12．某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝eq\f(購(gòu)地總費(fèi)用,建筑總面積))13．已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C＝100＋4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－eq\f(1,8)q，求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大．§生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例答案知識(shí)梳理1．優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)優(yōu)化問(wèn)題作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[V′(x)＝60x－eq\f(3,2)x2＝0，x＝0或x＝40.x(0,40)40(40,60)V′(x)＋0－V(x)極大值可見當(dāng)x＝40時(shí)，V(x)達(dá)到最大值．]2．C[y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．當(dāng)0<x<9時(shí)，y′>0；當(dāng)x>9時(shí)，y′<0，故當(dāng)x＝9時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值．]3．A[要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短，如圖所示，設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為eq\f(512,x)米，因此新墻壁總長(zhǎng)度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，則L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.當(dāng)x＝16時(shí)，L極小值＝Lmin＝64，此時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為eq\f(512,16)＝32(米)．]4．C[設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，直三棱柱高為h.體積V＝eq\f(\r(3),4)a2h，所以h＝eq\f(4V,\r(3)a2)，表面積S＝2·eq\f(\r(3),4)a2＋3a·eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)，S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，由S′＝0，得a＝eq\r(3,4V).經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a＝eq\r(3,4V)時(shí)，表面積最小．]5．D[設(shè)高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，體積V＝eq\f(π,3)x·(202－x2)(0<x<20)，V′＝eq\f(π,3)(400－3x2)，由V′＝0，得x＝eq\f(20\r(3),3)或x＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20\r(3),3)))時(shí)，V′>0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)，20))時(shí)，V′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取最大值．]6．D[由題意，總成本為c＝20000＋100x，所以總利潤(rùn)為p＝r－c＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－200000≤x≤400,60000－100xx>400))，p′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x0≤x≤400,－100x>400))，p′＝0，當(dāng)0≤x≤400時(shí)，得x＝300；當(dāng)x>400時(shí)，p′<0恒成立，易知當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大．]7．5解析依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1＝eq\f(k1,x)，每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2＝k2x，其中x是倉(cāng)庫(kù)到車站的距離．于是由2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f(4,5).因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)＝0得x＝5(x＝－5舍去)，經(jīng)驗(yàn)證，此點(diǎn)即為最小值點(diǎn)．故當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小．8．1∶1解析設(shè)窗戶面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則S＝eq\f(π,2)x2＋2hx，h＝eq\f(S,2x)－eq\f(π,4)x，所以窗戶周長(zhǎng)L＝πx＋2x＋2h＝eq\f(π,2)x＋2x＋eq\f(S,x)，L′＝eq\f(π,2)＋2－eq\f(S,x2).由L′＝0，得x＝eq\r(\f(2S,π＋4))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(2S,π＋4))))時(shí)，L′<0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2S,π＋4))，＋∞))時(shí)，L′>0，所以當(dāng)x＝eq\r(\f(2S,π＋4))時(shí)，L取最小值，此時(shí)eq\f(h,x)＝eq\f(2S－πx2,4x2)＝eq\f(2S,4x2)－eq\f(π,4)＝eq\f(π＋4,4)－eq\f(π,4)＝1.9．3解析設(shè)半徑為r，則高h(yuǎn)＝eq\f(27π,πr2)＝eq\f(27,r2).∴水桶的全面積S(r)＝πr2＋2πr·eq\f(27,r2)＝πr2＋eq\f(54π,r).S′(r)＝2πr－eq\f(54π,r2)，令S′(r)＝0，得r＝3.∴當(dāng)r＝3時(shí)，S(r)最?。?0．解(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1(0<x<m)，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256(0<x<m)．(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值，此時(shí)n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最?。?1．解(1)設(shè)商品降低x元時(shí)，多賣出的商品件數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期的銷售利潤(rùn)為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知條件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根據(jù)(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下表：x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)極小值極大值故x＝12時(shí)，f(x)達(dá)到極大值．因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價(jià)為30－12＝18(元)能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大．12．解設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，則f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N*)，f′(x)＝48－eq\f(10800,x2)，令f′(x)＝0得x＝15.當(dāng)x>15時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)0<x<15時(shí)，f′(x)<0.因此，當(dāng)x＝15時(shí)，f(x)取最小值f(15)＝2000.所以為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為15層．13．解收入R＝q·p＝qeq\b\lc\(