理論力學-理力講稿12動能定理12.3質(zhì)點系和剛體動能

TheoreticalMechanics第三 動力TheoreticalMechanics第12 動能定主主 郭第12 動能定 目力的質(zhì)點的動能質(zhì)點系和剛體的動質(zhì)點系的動能定率方勢力恒定Theoretical

第12第12 動能定質(zhì)點的質(zhì)點的動能TheoreticalTheoretical質(zhì)點的動能任一質(zhì)點在某瞬時的

v2 v動能是描述質(zhì)系運動強度的一個物理Theoretical

質(zhì)點的動能牛頓第二定

ma

m

vdt，將上式右端乘以ds，左端乘以vdtmvdvF質(zhì)點動能定理

d1mv2δ Theoretical

d1

積δ

d

mv2 δ

M1M作用于質(zhì)點上的有限路程上的

2FdMMM1質(zhì)點動能定理的積分形式，即作用于質(zhì)點上的12 12 212 22112

第12第12 動能定力力的TheoreticalTheoretical第12 動能定

力的功的一般表達幾種常見力的質(zhì)點系內(nèi)力的約束力的Theoretical

力的

力的元功:在一無限小位移中力所做WFdrW

W

FcosδW

Fxdx

Fydy

Fzd以元功用符號W而不用dW。Theoretical

力的

力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積2M2W M1

W

YdyM1M

FLML2TTheoretical

sW0s

cosWFs2

時功為正；當2

π時S2力的力的

重力的

力的z

2W122

mgd

z2重力的功僅與質(zhì)點運動開始和終了位置的高度差有

zC2Theoretical

彈性力可表示F

l0 1

d

l0

d

rerdrr

dr

d(rr)

1dr2dW12

)dr

k

l0

)2力的力的

力的

W12

)dr

2k

l0

)2彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終W12W1221 212k(2

滑動摩擦力

力的

物體沿粗糙軌道滑動時，動

F

FN總與滑動方向相反，所以，W Fds fFNM1M M1MTheoretical

滑動摩擦力的當物體純滾動時，圓輪與地面之間沒有相對滑動，其滑動摩擦力屬于靜滑動摩擦力。輪與地面的接觸點C是圓輪在此瞬時的速度瞬心vC0δW

FvCdt力的力的

作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的元功δW

d

Mz

MzδWMzd力的力的W122 dz1

如圖所示，兩質(zhì)點間有相互作用的內(nèi)力

FBδWFAFA

rBrA

rB

rA

δW

FAd

δW

力的力的

力的

光滑固定面和輥軸約其約束力垂直于作用點的位移光滑鉸鏈或軸承約由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。Theoretical

剛性連接的約

力的

這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等聯(lián)結(jié)兩個剛體的鉸：兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在點的微小位移上的元功之和等于零。柔性而不可伸長的繩繩索兩端的約束力大小相等，由于繩索不可伸長，所以兩點的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等具有理想約束的質(zhì)點系，有WNTheoretical

第12第12 動能定質(zhì)點系質(zhì)點系的動能定TheoreticalTheoretical質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中某一質(zhì)量為mi質(zhì)點受主動d1mv2δ δ

i

2,, 零零n 2 nd

mi

2

dT

d

2mivi

dTδWFTheoretical

質(zhì)點系的動能定質(zhì)系動能定理的微分形式：在質(zhì)系無限小的位移中，質(zhì)系動能的微分等于作用于質(zhì)系主動力的元功

δWF質(zhì)系動能定理的積分形式：質(zhì)系在任意有限路T2

Theoretical

第12第12 動能定質(zhì)質(zhì)點系和剛體的動TheoreticalTheoretical質(zhì)點系和剛體的動質(zhì)點系的動平移剛體的動定軸轉(zhuǎn)動剛體的平面運動剛體的Theoretical

質(zhì)點系和剛體的動質(zhì)點系的動能為組成質(zhì)點系的各質(zhì)點動能的算術(shù)1n12T

Theoretical

質(zhì)點系和剛體的動當剛體平動時，剛體上各點速度相同，于是平動T

1mv21v2m1 Theoretical

質(zhì)點系和剛體的動剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動的角速度為， 于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能T 1mv2

1mr2212

mr

2T22

IzTheoretical

質(zhì)點系和剛體的動T2

IC

I

IC

MdT2

IC2

(I

Md2)2

2IC

1Md2T2

Mv

1 C CTheoretical

質(zhì)點系的動能定例圖示系統(tǒng)中，滾子A、滑輪B均質(zhì)，重量和半徑均為Q及r，滾子沿傾角為的斜面向下純滾動，借跨過滑輪B的不可伸長解法一求加速度宜用動能定理的dTδWF系統(tǒng)在任意位置的動T1Qv2 I2

2 A輪純滾動，D為A輪瞬心，所以Theoretical

r

質(zhì)點系的動能定11

vCr

vPvC

IC

Qr2g

IO

Qr2gTP2Qv

dT

P2Qv2g

主動力Q、P

δ

因純滾動，滑動摩擦力F代入

WF，兩邊再除以dt

ds ， P2Q

CC

QsinP

PTheoretical

質(zhì)點系的動能定解法二此題亦可用動能定理的積分形式，求出任意瞬時的速度表達式，再對時間求T1Qv2 I2

2 設圓輪質(zhì)心C走過距離s，動能定理的積分形P2Qv

Theoretical

2g

質(zhì)點系的動能定設圓輪質(zhì)心C走過距離s，動能定理的積分形P2Qv

2g vC和s均為變量，將上式兩邊對時間求一階導數(shù)，

P

P) QsinP PTheoretical

質(zhì)點系的動能定例橢圓規(guī)位于水平面內(nèi)，由曲柄帶動規(guī)尺AB運動，如圖所BC＝l，滑塊A和B重量均為Q。常力偶M作用在曲柄上，設＝0時系統(tǒng)靜止，求曲柄角速度和角加速度(以轉(zhuǎn)角表示)v解：由幾何條件，OC＝BC，＝， 因此OC=AB=，系統(tǒng)由動，當轉(zhuǎn)過T1Qv21Qv21 21I2 2 2 v瞬心為Ⅰ，有運動

v2l

vB

Theoretical

質(zhì)點系的動能定T1Q(2lcos)21Q(2lsin

)2

11

l22112P(2l)22 2

3

v (4Q3P)l22g 系統(tǒng)中力做的功

W由動能定理的積分形式

vT10,T2

(4Q3P)lTheoretical

質(zhì)點系的動能定由動能定理的微分形v(4Q3P)ldT gdT

v[(4Q3P)l2/g] (4Q3P)lTheoretical

質(zhì)點系的動能定例圖示系統(tǒng)中，物塊A重，均質(zhì)圓輪B重，半徑為，可沿水平面純滾動，彈簧剛度系數(shù)為k，初位置=0時，彈簧為原長，系統(tǒng)由靜止開始運動，定滑輪D的質(zhì)量不計，繩不可伸長。試建立物塊A的運動微分方程，并求其運動規(guī)律。解：為建立物塊A的運動微分方程，宜對整個系統(tǒng)應用動能定理。以的位移為變量，當A從初始位置下降任意距離y時，它的速度為A，系統(tǒng)動能

T121

1v2vv

1 v v

IB

QRgTheoretical

vB

vA

B

質(zhì)點系的動能定T8P3Qv

T0初始位置時，彈簧為原長0

伸長

y2

k

y2

Py

0

8P

vA0

Py 8Theoretical

dt

質(zhì)點系的動能定對時間求一階導數(shù)，其中

dy 物塊A的運動微d2y

2kg

4Pdt

8P3Qy

k用微分形式的動能定理δ

Pdy

ydy

δ

P

y

dT

WFTheoretical

質(zhì)點系的動能定8P 2

vAP

y 此式兩邊被dt

yy1d2y1

4Pdt

8P

C

k令Ck

，得到以

為變量的標準形式的微分方d2

2kgdt

8P

y1Theoretical

質(zhì)點系的動能定設其

y1

物塊A的運動規(guī)

yC

0

2kg8P

dy

A

初始條件：t0

y

代入物塊A的運動規(guī)律y

4P ksin

tπ 4P8P 2 π,A4P2kTheoretical

質(zhì)點系的動能定具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，應用動能定理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；進一步對時間求導數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，在這種情形下應用動能定理求解已知力求運動的問題是很方便的。應用動能定理解題的步驟明確分析對象，一般以整個系統(tǒng)為研究Theoretical

分析系統(tǒng)的運動，計算系統(tǒng)在任意位置的動能或應用動能定理建立系統(tǒng)動力學方程，而后求對問題的進一步分知主動力求運動，即求速度、加速度或建立運動Theoretical

第12第12 動能定12.512.5功率功率方TheoreticalTheoretical功率功率方

功Pδ

F

F

F

P

M

nπ

[P]

[M功率的單位是焦耳/秒，稱為瓦特(W)。1W=1J/s=1Nm/sTheoretical

功率功率方

δ

δW

δW無dTN

Theoretical

第12第12 動能定勢力場勢能機械能守恒定TheoreticalTheoretical勢力場勢能機械能守恒定勢力勢機械能守恒定有勢力與勢能的Theoretical

勢力場勢能機械能守恒定勢力場如質(zhì)點在某空間內(nèi)任一位置都受有一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場，例如地球表面的空間為重力場。如質(zhì)點在某一力場內(nèi)運動時，力場力對于質(zhì)點所做的功僅與質(zhì)點起點與終點位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，則這種力場稱為勢力場或保守力場。質(zhì)點在勢力場內(nèi)所受的力稱為勢力或Theoretical

12.6勢力場勢能機械能守恒定勢V M0M

Fxdx

Fydy

重力ozoV z

FP(z

z0O零位置選在z0=0VFPTheoretical

勢力場勢能機械能守恒定勢對于質(zhì)點系V

彈性

V2

k(

)0)0是勢能零點時彈簧的變形量，若選擇彈簧自然長度為勢能零位置，即0=0，于是彈性力勢能Theoretical

V1k2

12.6勢力場勢能機械能守恒定保守系統(tǒng)：具有理想約束，且所受的主動力皆為勢力T2

勢力的功與路徑無關(guān)，可通如以0Theoretical

12.6勢力場勢能機械能守恒定機械能：質(zhì)系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)

機械能守恒定律，即保守系統(tǒng)在運動過程中，其機械能保保持不變。因為勢力場具有機械能守恒的特性，因此勢力場又稱為保守力場，而勢力又稱為保守力。質(zhì)系在非保守力作用下運動時，則機械能不守恒。例如摩擦力做功時總是使機械能減少，但是減少的能量并未消失，而是轉(zhuǎn)化為另一形式的能量。Theoretical

12.6勢力場勢能機械能守恒定勢能的大小因其在勢力場中的位置不同而異，可寫作坐標的單值連續(xù)函數(shù)x,,z，稱為勢能函數(shù)，即MOV (FxdxFydyFzO勢力的功與路徑無關(guān)，其元功必是函數(shù)V的全微分dV

(Fxdx

Fydy

由高等數(shù)學知，V的全微

dV

dx

dyV作用在質(zhì)點系上有勢力在坐標軸上的投影，等于勢能函數(shù)對相應坐標Theoretical

V x VFyyVFzz

鏈條總長度為l，線質(zhì)量密度為，下垂部分長度為b，鏈條從靜止開始，在自重作用下運動。不考 鏈條與臺面之間的磨求：鏈條完全離開臺面時的Theoretical

應用動能定理求解落鏈運動問題時，落鏈的動能不難計算，難點在于落鏈各部分的運動各不相同，落鏈的重力功為變力功，不易計算。b采用簡化模型，可以將落鏈的重力功Theoretical

CbdTheoretical

T－T1mv2

GWG

g(lb)(blb 應用動能定

(l2b2)glTheoretical

Theoretical

動能定已知均質(zhì)桿ABl，質(zhì)量為m；A端沿鉛垂槽滑動，B平槽運動，兩側(cè)彈簧相同，0TheoryofVibrationwith

動能定0位零勢能位置，一般T11ml22V

l(1cos)kl2sin22得1ml23

mg2

kl2

sin微幅振動時sin 1ml2kl2mgl代入上式，得微幅振動的微分方程為 2能發(fā)生振動的條

2kl2

mgl或2或

kmgTheoryofVibrationwith

動能定已知兩個相同的均質(zhì)滾子，質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，O1AO2Br0；連桿AB質(zhì)量為m2TheoryofVibrationwith

動能定解選為廣義坐標，=0為零勢能位置，一般處，該系統(tǒng)勢能和動能

Vm2gr0(1cosT

2 1 1

m2vAO OAB桿平動，選O1

OA1OA

vAO1v21得Av1v21

1

Ov式 Ov

vAO

1代入1

T3

r

1

(r

TheoryofVibrationwith

0動能定0得運

m2(r

r

cosm2

m2

cos在微幅振動時sin，cos1；令高階小量20，

代入

m2

r0)2m2gr0所

1

m2

m2

)2TheoryofVibrationwith

例無重量不可伸長的細繩繞過質(zhì)量為m、半徑R為的均質(zhì)圓盤。彈簧剛度為k，與細繩相連，如圖所示，列寫該系統(tǒng)的運動微分方程。解：系統(tǒng)具有