數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)-概率模型

§2概率模三、允許缺貨的模（一）概率論的誕生及應(yīng)約定賭若干局且誰先c局便算贏家若在一賭a(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭題求教于帕斯卡帕斯卡與費馬通信這一問題,于1654年共同建立了數(shù)學(xué)期望的數(shù)量規(guī)律.概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)確定性現(xiàn)的現(xiàn)象稱為確定實“不會從西邊升起”,確定性現(xiàn)象的特 條件完全決定結(jié)隨機現(xiàn)在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象 結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)實例2明天的天氣可能是晴也可能是多云或雨.

特征:條件不能完全決定結(jié)說系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.性但在大量試驗或觀察中這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這如何來研究隨機現(xiàn)象 定可以在相同的條件下重復(fù)地進行3、概率的定1933年，數(shù)學(xué)家柯爾莫哥提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴格定義，使概率AndreyNikolaevich1903.4--1）等可能概型(古典概型)定試驗的樣本空間只包含有限個元素具有以上兩個特點的驗稱為等可能概型或古典概型.設(shè)試E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成AE的任意個事件，且包含m個樣本點，則事件A出現(xiàn)的概率記為P(A)mn

A所包含樣本點的個數(shù).古典概型的基本模型:摸球模(1)無放回地摸 (2)有放回地摸例1某接待站在某一周曾接12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是解假設(shè)接待站的接待時間7777777777周周周周周周周周周周周故一周內(nèi)接待12次來訪

2 2 2 2 222222周周周周周周周周周周周周周12次接待都是在周二和周四周周

故12次接待都是在周二和周四進行的概率p 0.0000003小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的從例2假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等1/36564個人中至少解64個人生日各不相同的概率p365364(365

641). 故64個人中至少有2人生日相同的概率p1

365364

(365

說隨機選取n(率為

365)個人,他們的生日各不相同p365364(365

n1).而n個人中至少有兩個人日相同的概率為p1

365364(365

n1).我們利用包進行數(shù)值計算例3中的數(shù)學(xué)“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”然后從0~4號球中搖出一個特別號碼，構(gòu)成號碼。號碼相符的個數(shù)多少及順序確定等級。以號碼“abcdef+g”為例說明等級，如下例3中的數(shù)10選選7中選7中 選7中 選7中abcXXX 選7中例3中的數(shù)總獎金比例一般為銷售總額的50%，者單注金額2[(當期銷售總額×總獎金比例)-低項獎總額]例3中的數(shù)獎方比比比金金金金備1按25按35按45按5565例3中的數(shù)10選6+1（6+1/10）1

彩民獲各項獎的概2C1p1

5

2107

p2

510

8101

p3

例3中的數(shù)否可以推斷接待時間是有規(guī)定的解假設(shè)接待站的接待時間7777777777周周周周周周周周周周周故一周內(nèi)接待12次來訪

隨機模

確定性因素和隨機性因隨機因素可以忽地以平均值的作隨機因素影響必須考

確定性模隨機性模概率模 （二）背 傳送景 掛

產(chǎn)工作率的指標，研究提高傳送帶效率的途問題分進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運轉(zhuǎn)，應(yīng)模型假模型建待定）與生產(chǎn)總數(shù)n（已知）之比，記作D=s/n為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則如 設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則p=1-何 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則概 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-一周期內(nèi)有m個掛鉤通過每一工作臺的上 p=1-(1- D=m[1-(1-1/m)n]/n 模型解

Dmn

1)nm若(一周期運行的)掛鉤數(shù)m遠大于工作臺數(shù)n,D

(1

1n11n1定義E=1-D(一周期內(nèi)未運走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比當n遠大于1時En/2m~E與n成正比，與m若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)

的途徑 ?增加 模型推廣(改進

增加 法1.增加一個周期內(nèi)通過工作臺的鉤子數(shù)其它條件不法2.在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤若法1中m增加一倍,哪種辦法法1E

法2E（三）允許缺貨的模、問題的提在商店里，若商品數(shù)量不足，會發(fā)生缺貨現(xiàn)象，售不出去，會造成商品積壓，占用流動過多且最優(yōu)策略呢？這就著市場需求的隨機性問題，試建立數(shù)學(xué)型，制定最優(yōu)策略．二、模型假 允許缺貨，缺貨費為t時間的需求量每次定貨量不變，定貨費C3不單位費不變,記為SStR(tTSO量與時間關(guān)系三、模型建假設(shè)最初量為S

平均量為

/

平均缺貨量為

t1)/t1

S/在t時間內(nèi)所需費

2 22

21

R

S)2在t2

(1

三、模型建平均總費用Ct,S)

C3)/CC(t,S) 1tS (RtS)2C3求最佳策略,使平均總費用最小四、模型求四、模型求C

1[C S

(RtS)]C

1S

S)2 t

2R

C3]

t[C2

S)]t0

2C3(C12C3(C1C22C2C3C1(C1C2四、模型求

C(t,S)

C(t0,S02C2C1C2C3C1C22C1C3當C2很大時（2C1C3

S0

C(t0,S0)四、模型求

Rt2RC32RC3(C1C2在允許缺貨情況下在允許缺貨情況下 2C2C30C(CC1122C1C3C2(C12C1C3C2(C1C2 五、模型的分析與推事實上在大多實際問題中需求速度是隨機的這樣模型的使用受到了一定的局限例一鞋店平均每天賣出110雙鞋，批發(fā)手續(xù)為22

t0

（（四）報童最佳訂購報紙模問題的提（1）郵局有足夠的報紙可供報童（2）當天的報紙賣不出去，到明天就沒（3）每份報紙在當天什么時候賣出是無（4）報童除了從郵局買報所需費用以外,隨量

P(

i)

(i分析：每天從郵局訂購Q份報紙，每賣出一份報紙能掙k分錢每退回郵局一份報紙，得賠h分錢1、供過于求

0X

Qi0Q

i)2、供不應(yīng)求

X

kiQ1

Q)

C(Q)

h(Qi0

i)

k(iiQ1

Q)模型minC(Q)

C(Q

h(Q1i)Q

k[i(Qh(Q1i)Q

k

Q1)C(Q)(h

ki0

piCC(Q1)

(hkQi0QQ

pik

i0

kP

Q)

k五、五、從報童贏利的最大期望出發(fā)，求得最佳定期定量定一般情況，上一階段未出售的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售，這時只要將第一階段未出售的貨物數(shù)量作為第二階段初的量，仿照上述方法可求得最佳策略．（五）隨機人口模型 背景 ?一個人的出生 是隨機事平均 平 一個國家或地區(qū) 平均 平 對

一 或村X一 或村

隨機性模出生概概t的人口,出生概概Pn(t~概率P(X(t)=n研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方模型假若X(t)=n,對t到t+t的出生概率作以下假出生一人的概率與t成正比，記bnt出生二人及二人以上的概率為一人的概率與t成正比，記dnt二人及二人以上的概率為出生和是相互獨立的隨機事件進一步假bn與n成正比，記bn=n,~出生概率dn與n成正比，記dn=n，~概率建模 為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律Pn(t+t)=P(X(t事件X(t+t)=n的分X(t)=n-1,t內(nèi)出生一X(t)=n,t內(nèi)沒有出X(t)=n,t內(nèi)沒有出生其它(出生或二人，出生且一人，……)

概率 Pn-1(t),bn-1tPn+1(t),Pn(t),1-bnt-dntPP(tt)n tP(t)(1btdt)nnnnn (t) (t)(bd)P(t)nnn

微分方n(n(t)(n(t)()nPnP(0)

n

(t=0時已知人口為n0 0

n轉(zhuǎn)而X(t)的期望和方基本方X(t)的X(t)的期E(t)(t)

(n

(t)

(n

(t)

dEdEnndE

n(n

(t)

k

(t)

n(n

1)P

kk

(t)(

)n)nn

dEdE( nP(t