數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)-概率模型

§2概率模三、允許缺貨的模（一）概率論的誕生及應(yīng)約定賭若干局且誰先c局便算贏家若在一賭a(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭題求教于帕斯卡帕斯卡與費(fèi)馬通信這一問題,于1654年共同建立了數(shù)學(xué)期望的數(shù)量規(guī)律.概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、預(yù)報(bào)、產(chǎn)品的抽樣調(diào)自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)確定性現(xiàn)的現(xiàn)象稱為確定實(shí)“不會(huì)從西邊升起”,確定性現(xiàn)象的特 條件完全決定結(jié)隨機(jī)現(xiàn)在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象 結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)實(shí)例2明天的天氣可能是晴也可能是多云或雨.

特征:條件不能完全決定結(jié)說系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.性但在大量試驗(yàn)或觀察中這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象 定可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行3、概率的定1933年，數(shù)學(xué)家柯爾莫哥提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率AndreyNikolaevich1903.4--1）等可能概型(古典概型)定試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型.設(shè)試E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成AE的任意個(gè)事件，且包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為P(A)mn

A所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).古典概型的基本模型:摸球模(1)無放回地摸 (2)有放回地摸例1某接待站在某一周曾接12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是解假設(shè)接待站的接待時(shí)間7777777777周周周周周周周周周周周故一周內(nèi)接待12次來訪

2 2 2 2 222222周周周周周周周周周周周周周12次接待都是在周二和周四周周

故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率p 0.0000003小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的從例2假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等1/36564個(gè)人中至少解64個(gè)人生日各不相同的概率p365364(365

641). 故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率p1

365364

(365

說隨機(jī)選取n(率為

365)個(gè)人,他們的生日各不相同p365364(365

n1).而n個(gè)人中至少有兩個(gè)人日相同的概率為p1

365364(365

n1).我們利用包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算例3中的數(shù)學(xué)“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”然后從0~4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成號(hào)碼。號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定等級(jí)。以號(hào)碼“abcdef+g”為例說明等級(jí)，如下例3中的數(shù)10選選7中選7中 選7中 選7中abcXXX 選7中例3中的數(shù)總獎(jiǎng)金比例一般為銷售總額的50%，者單注金額2[(當(dāng)期銷售總額×總獎(jiǎng)金比例)-低項(xiàng)獎(jiǎng)總額]例3中的數(shù)獎(jiǎng)方比比比金金金金備1按25按35按45按5565例3中的數(shù)10選6+1（6+1/10）1

彩民獲各項(xiàng)獎(jiǎng)的概2C1p1

5

2107

p2

510

8101

p3

例3中的數(shù)否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的解假設(shè)接待站的接待時(shí)間7777777777周周周周周周周周周周周故一周內(nèi)接待12次來訪

隨機(jī)模

確定性因素和隨機(jī)性因隨機(jī)因素可以忽地以平均值的作隨機(jī)因素影響必須考

確定性模隨機(jī)性模概率模 （二）背 傳送景 掛

產(chǎn)工作率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途問題分進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)模型假模型建待定）與生產(chǎn)總數(shù)n（已知）之比，記作D=s/n為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個(gè)方便若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則如 設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則p=1-何 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則概 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過每一工作臺(tái)的上 p=1-(1- D=m[1-(1-1/m)n]/n 模型解

Dmn

1)nm若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù)n,D

(1

1n11n1定義E=1-D(一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時(shí)En/2m~E與n成正比，與m若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)

的途徑 ?增加 模型推廣(改進(jìn)

增加 法1.增加一個(gè)周期內(nèi)通過工作臺(tái)的鉤子數(shù)其它條件不法2.在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤若法1中m增加一倍,哪種辦法法1E

法2E（三）允許缺貨的模、問題的提在商店里，若商品數(shù)量不足，會(huì)發(fā)生缺貨現(xiàn)象，售不出去，會(huì)造成商品積壓，占用流動(dòng)過多且最優(yōu)策略呢？這就著市場(chǎng)需求的隨機(jī)性問題，試建立數(shù)學(xué)型，制定最優(yōu)策略．二、模型假 允許缺貨，缺貨費(fèi)為t時(shí)間的需求量每次定貨量不變，定貨費(fèi)C3不單位費(fèi)不變,記為SStR(tTSO量與時(shí)間關(guān)系三、模型建假設(shè)最初量為S

平均量為

/

平均缺貨量為

t1)/t1

S/在t時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)

2 22

21

R

S)2在t2

(1

三、模型建平均總費(fèi)用Ct,S)

C3)/CC(t,S) 1tS (RtS)2C3求最佳策略,使平均總費(fèi)用最小四、模型求四、模型求C

1[C S

(RtS)]C

1S

S)2 t

2R

C3]

t[C2

S)]t0

2C3(C12C3(C1C22C2C3C1(C1C2四、模型求

C(t,S)

C(t0,S02C2C1C2C3C1C22C1C3當(dāng)C2很大時(shí)（2C1C3

S0

C(t0,S0)四、模型求

Rt2RC32RC3(C1C2在允許缺貨情況下在允許缺貨情況下 2C2C30C(CC1122C1C3C2(C12C1C3C2(C1C2 五、模型的分析與推事實(shí)上在大多實(shí)際問題中需求速度是隨機(jī)的這樣模型的使用受到了一定的局限例一鞋店平均每天賣出110雙鞋，批發(fā)手續(xù)為22

t0

（（四）報(bào)童最佳訂購報(bào)紙模問題的提（1）郵局有足夠的報(bào)紙可供報(bào)童（2）當(dāng)天的報(bào)紙賣不出去，到明天就沒（3）每份報(bào)紙?jiān)诋?dāng)天什么時(shí)候賣出是無（4）報(bào)童除了從郵局買報(bào)所需費(fèi)用以外,隨量

P(

i)

(i分析：每天從郵局訂購Q份報(bào)紙，每賣出一份報(bào)紙能掙k分錢每退回郵局一份報(bào)紙，得賠h分錢1、供過于求

0X

Qi0Q

i)2、供不應(yīng)求

X

kiQ1

Q)

C(Q)

h(Qi0

i)

k(iiQ1

Q)模型minC(Q)

C(Q

h(Q1i)Q

k[i(Qh(Q1i)Q

k

Q1)C(Q)(h

ki0

piCC(Q1)

(hkQi0QQ

pik

i0

kP

Q)

k五、五、從報(bào)童贏利的最大期望出發(fā)，求得最佳定期定量定一般情況，上一階段未出售的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售，這時(shí)只要將第一階段未出售的貨物數(shù)量作為第二階段初的量，仿照上述方法可求得最佳策略．（五）隨機(jī)人口模型 背景 ?一個(gè)人的出生 是隨機(jī)事平均 平 一個(gè)國(guó)家或地區(qū) 平均 平 對(duì)

一 或村X一 或村

隨機(jī)性模出生概概t的人口,出生概概Pn(t~概率P(X(t)=n研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方模型假若X(t)=n,對(duì)t到t+t的出生概率作以下假出生一人的概率與t成正比，記bnt出生二人及二人以上的概率為一人的概率與t成正比，記dnt二人及二人以上的概率為出生和是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件進(jìn)一步假bn與n成正比，記bn=n,~出生概率dn與n成正比，記dn=n，~概率建模 為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律Pn(t+t)=P(X(t事件X(t+t)=n的分X(t)=n-1,t內(nèi)出生一X(t)=n,t內(nèi)沒有出X(t)=n,t內(nèi)沒有出生其它(出生或二人，出生且一人，……)

概率 Pn-1(t),bn-1tPn+1(t),Pn(t),1-bnt-dntPP(tt)n tP(t)(1btdt)nnnnn (t) (t)(bd)P(t)nnn

微分方n(n(t)(n(t)()nPnP(0)

n

(t=0時(shí)已知人口為n0 0

n轉(zhuǎn)而X(t)的期望和方基本方X(t)的X(t)的期E(t)(t)

(n

(t)

(n

(t)

dEdEnndE

n(n

(t)

k

(t)

n(n

1)P

kk

(t)(

)n)nn

dEdE( nP(t