理科數(shù)學函數(shù)奇偶性與周期性

第3偶性與周期 考綱

意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那關(guān)于y軸關(guān)于原點奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反在公共定義域

(填“相同”、“①兩個奇函數(shù)的和函數(shù) 奇函 ，兩個奇函數(shù)的積函是偶函數(shù)

奇函數(shù)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x) 如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則 x已知f(x)為奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x2＋1x 已知y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是減函數(shù)，若f(a)≥f(2)，則實數(shù)a的取值范圍是[－2,2]．函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為 若y＝f(x)既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，則其導函數(shù)y＝兩個防范一是判斷函數(shù)的奇偶性之前務(wù)必先考查函數(shù)的定二是若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)不一定存在；若函數(shù)f(x)三個結(jié)論一是若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)二是若對任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)f(x)是以2a為周期函數(shù)；若對任意x∈D都有f(x＋a)＝±

(f(x)≠0)，則f(x)也是2a為周期的函數(shù)，如

f′(－x)＝－f′(x)f′(－x)＝－f′(x)【例1】(1)判斷下列函數(shù)的奇偶性①f(x)＝x2－1＋(2)已知函數(shù) 1＋9x2－3x)＋1， 1 2①由21－x

f(x)＝±f(－x)．

xx

1的定義域為

＝－f(x)

解析設(shè) 則 2)＋f(－lg ＝g(lg2)＋1＋g(－lg2)＋1＝g(lg2)－g(lg答 規(guī)律方法定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝【訓練1】(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足g(x＝axax2(a>0且a≠1)g(2)＝af(2) 4 444

(2)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋ ()． 解 ＝4(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)所以答 【例2】(1)下列函數(shù)中，在其定義域中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)

D．f(x)＝－tan(2)f(x)是定義R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上為增函 ＝0，則不等)＞0的 ，B ， 8

解析

＝x在定義域上是奇函數(shù)，但不單調(diào)f(x)＝－x為非奇非偶函數(shù)；f(x)＝－tanx在定義域上是奇函數(shù)，(2)由已知f(x)在R上為偶函數(shù)，且 ∴f(log1x)＞0等價于 又f(x)在[0＋∞)上為增函數(shù) ∴|log1x|＞3，即log1x＞3或log1x＜－3，解得0＜x＜2或x＞2， 答 規(guī)律方法【訓練2】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0(解析因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又f(x)＝ex＋a(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，則＋a≥0，解得a≥－1，所以a的最小值是－1，故選答案【例3】(經(jīng)典題)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－ ()．令審題路線f(x－4)＝－f(x)――――→f(x－8)＝f(x)奇偶性周期性把－25,11,80化到區(qū)間[－2,2]上→利用[－2,2]解 ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(x)在R上是奇函數(shù)答 規(guī)律方法【訓練3】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x＋1)＝－f(x)其中判斷正確的序號 解析f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函數(shù)．又＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2答案正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?fx＝±1奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反【典例】若函數(shù)

為奇函數(shù)，則 2244

33[一般解法]f(－x)＝－f(x) 2－x＋ 2x＋

1 [優(yōu)美解法](特值法由已知f(x)為奇函數(shù)得 即所以a＋1＝3(1－a)，解得

感悟]已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值一般思路是：利用函若函數(shù)f(x)＝ax2＋(2