液壓與氣壓傳動

正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估一.單個正態(tài)總設(shè)給定置信度為1

X1

X2

XnN(,

2的樣本

X,S

分別是樣本均值和樣本方差

2為已知

由上節(jié)可知μ雙側(cè)置信區(qū)間為

X n /2n μ單側(cè)置信區(qū)間為

X

z

X

z,nn nn 1(2)2為未知因為根據(jù)第五章定理三

X

~t(nS則P

(n1)

XnSn

t/

(nnn

1即 nnPX t/2(n1)X t/2(nnn

1

nX /2nX

(n

類似地，可得μ的單側(cè)置信,X

St(n

X

St(n

nn nn 例 有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得量(克)如下設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均的置信度為0.95的置信區(qū)間解

n1t(n1分布表可知

t0.025(15)

計算

x

s3得的置信度為95%

6.20222.1315

就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克507.1克之間,這個估計的可信程度為若依此區(qū)間內(nèi)任一值作為的近似值其誤差不大

6.61(克這個誤差的可信度為4

已知

2的置信度

1的置信區(qū) X2根據(jù)

~2(ni1 (Xi P

(n)

i

2(n)

1 1

n(n

(

)2ni ,i1 n 2(n)

1

(n)

未知

的置信度

1

的置信區(qū)因為S2是2的無偏估計根據(jù)第五章定理二

(n1)S ~(n (n1)S 則P12(n1

/2(n

1(n1)S (n1)S 即P

(n1)

(n

1 / (n1)S (n1)S

(n

(n1) / 1/ 進(jìn)一步可得

1

nnn 2/2/(n21/(n 在應(yīng)用中，一般更關(guān)注方差的上限，類似上面的推導(dǎo)，可得方差σ2的置信度為1-α的單側(cè)置信區(qū)間為 (n1)S2

(n1)7注意:在密度函數(shù)不對稱時

如

分布F分布上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖8例2(續(xù)例1)求例1中總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度0.95的置信區(qū)解2

12

n

2(n1分布表可知2

計算

s代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間(4.58,9二.兩個正態(tài)總設(shè)給定置信度1,

X1

n2X ,n21

個總

N(,2的樣本,Y,Y

為第二 N(,2的樣本

X,Y本均值

S2,

2分別是第一、二個總體的樣本方差 討論兩個整體總體均值差和方差比的估計問題

1

2和

2112的一個置2122 22 .X .X

z/ 推導(dǎo)過程如下X,

分別

1

2的無偏估計X

2的無偏估計X,Y的獨立性 2 2X~N1,

,

Y~N2

, 可知X

~N

2

2 221222122

Y

2

于是得12的一個置信度1的置信區(qū)22 22 .X .X1212

z/

2和

只要n1和n2都很大(實用上

12的置信度

1的近似置 SS.X X

z/ (3)

2

2

但

為未知2112的一個置信度1的置信區(qū)21X X

t/2

11S2w (n1)S2(n1)SS2w其中

,

Sw n1n2 為比較?,??兩種型號 隨機地取? 10發(fā),得到槍口速度的平均值x1

s1

1.10(m/

隨機地取 20發(fā),得槍口速度平均值

x2

1.20(m/s),假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方相等,求兩總體均值信區(qū)間

2的置信度為0.95的置由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知2

n1

n2

n1

2

t(n1分布表可知

t0.025(28)

s 9sw

19,

sw

S2w于是得12的一個置信度為0.95的置信S2wx1

x2

Sw

(411

即所求置信區(qū)間為(3.07,122僅討論總體均

1,

2為未知的情況 的一個置信度為1

22S S , S S2 2S S2

/2

推導(dǎo)過程如下(n1)S (n1)S由于 ~

2(n

~

2(n

(n1)S (n1)S

與

相互獨立 根據(jù)F分布的定義(n1)S(n1)S112(n11(n1)S222(n22

S211S211S222

S

1)

S S 1S S 22P 222S2S

11的一個置信度為1

22S

S , S S2 2S S2

/2

1SS1 S2F/ (n1,n2

1

SS1 1S2F1/ (n1,n2s2 甲、乙兩臺機床加工同一種零件,在機床甲加工的零件中抽取9個樣品,在機床乙加工的零件s2s1由所給數(shù)據(jù)算得s1

0.357,在置信0.98下,試求這兩臺機床加工精度之比1 信區(qū)間.假定測量值都服從正態(tài)分布,方差分別1.22,1.2 n1

n2

1)

1/F/2(8,5)

F0.01(8,

的一個置信度為0.98 S1S22/(n1,n12 SS22(n1,n1)1120.3570.357

0.2450.245 例 為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率,試圖采一種新的催化劑,為慎重起見,在試驗工廠先進(jìn)

8次試驗得到得率的平均值

樣本方差

ss1又采用新的催化劑進(jìn)行了n2ss1

8次試驗得到得的平均值x2

樣本方

4.02,假設(shè)兩2體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且方差相等,2兩總體均值

1

2的置信水平為0.95的置信區(qū)由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知 (n1)S2(n1)S且

n1n2于是得12的一個置信水平0.95的置信區(qū)x1

x2

sw

(2.021188

即所求置信區(qū)間為

例 研究由機器A和機器B生產(chǎn) 內(nèi)徑,機抽取機A生產(chǎn)的管18只,測得樣本方差s1 0.34(mm2抽取機器B13只,s1s得樣本方差s

設(shè)兩樣本相互2立,且設(shè)由機器A和機器B生產(chǎn) 內(nèi)徑分別2從正態(tài)分

N(1,

2

N(2

2

i

2(i

121i2均未知求方差比121i2區(qū)間

2的置信度為0.90的置n1

n2

s1 s1

s2s2

1)

F0.05(17,12)

(17,12)

(17,12)

1的一個置信度為0.9022

,0.34

單個總體均值的置信區(qū)2為已知,X nn(2)

2為未知X

/2S (n單個總體方差

/ nn2的置信區(qū)(n1)S (n1)S /

(n

2

(n1)兩個總體均值差12的置信區(qū)122和12

2均為已知

XX

122122. S SS.X1和.X

均為未知

z/ 21221

2

但

為未知1X

t/2

2)Sw 122總體均

1,

2為未S S , S S2 2S S2

/2

如何評價兩

1

2

,0, 作

2/2 ,