134課題學(xué)習(xí)-最短路徑問題-優(yōu)質(zhì)課件

八年級(jí)上冊13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級(jí)上冊13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課件說明本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題．課件說明本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點(diǎn)之間，

線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點(diǎn)之間，復(fù)習(xí)如圖，點(diǎn)A是直線

l

外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線的所有線路中，最短的是？依據(jù)：垂線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線的所有線路中，最短的如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l異側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)C,使AC+BC最短。復(fù)習(xí)應(yīng)用如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l異側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)C,使A引言：前面我們研究了：

“兩點(diǎn)之間，線段最短”、

“垂線段最短”等的問題，

我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，

本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的

“將軍飲馬問題”．新知引入引言：新知引入唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，

黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題．如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營．請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？新知探究唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》新知探究這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？BAl新知探究這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．這個(gè)問題的解決并不難，海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題.

你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAl新知探究從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．這個(gè)問題的解這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al新知探究這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？新知探究（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；你能你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAlC（3）即：如圖，在直線l上找一點(diǎn)C，

使AC+BC最短。新知探究你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，BAlC（3）即：由這個(gè)問題我們不難聯(lián)想到，我們遇到的一個(gè)問題：如圖：點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l異側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短的數(shù)學(xué)問題。依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。新知探究由這個(gè)問題我們不難聯(lián)想到，我們遇到的一個(gè)問題：依據(jù)：兩點(diǎn)對(duì)于如上問題，實(shí)質(zhì)上是怎樣將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，并且使其滿足在直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等的問題。從而轉(zhuǎn)化為我們知道的異側(cè)兩點(diǎn)求最短路徑問題，那怎樣找B′？現(xiàn)在，要解決的問題是：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·新知探究對(duì)于如上問題，實(shí)質(zhì)上是怎樣將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C新知探究作法：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C新知探究問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·l證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′新知探究證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不問題問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．新知探究問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·l回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′新知?dú)w納回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的B·lA·B′CC1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）A·BMNE新知應(yīng)用1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,

MN=CD,BD∥CE,BD=CE,∴A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。ABMNECD作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，2.連接練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋新知應(yīng)用練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山ABCP基本思路：

由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋新知應(yīng)用基本思路：ABCPQ山河岸大橋新知應(yīng)用（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對(duì)稱在所研究問題中起什么作用？歸納小結(jié)（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？歸納小結(jié)謝謝謝謝八年級(jí)上冊13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級(jí)上冊13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課件說明本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題．課件說明本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點(diǎn)之間，

線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點(diǎn)之間，復(fù)習(xí)如圖，點(diǎn)A是直線

l

外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線的所有線路中，最短的是？依據(jù)：垂線段最短。復(fù)習(xí)回顧如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線的所有線路中，最短的如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l異側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)C,使AC+BC最短。復(fù)習(xí)應(yīng)用如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l異側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)C,使A引言：前面我們研究了：

“兩點(diǎn)之間，線段最短”、

“垂線段最短”等的問題，

我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，

本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的

“將軍飲馬問題”．新知引入引言：新知引入唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，

黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題．如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營．請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？新知探究唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》新知探究這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？BAl新知探究這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．這個(gè)問題的解決并不難，海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題.

你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAl新知探究從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．這個(gè)問題的解這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al新知探究這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？新知探究（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；你能你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BAlC（3）即：如圖，在直線l上找一點(diǎn)C，

使AC+BC最短。新知探究你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，BAlC（3）即：由這個(gè)問題我們不難聯(lián)想到，我們遇到的一個(gè)問題：如圖：點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l異側(cè)的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短的數(shù)學(xué)問題。依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。新知探究由這個(gè)問題我們不難聯(lián)想到，我們遇到的一個(gè)問題：依據(jù)：兩點(diǎn)對(duì)于如上問題，實(shí)質(zhì)上是怎樣將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，并且使其滿足在直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等的問題。從而轉(zhuǎn)化為我們知道的異側(cè)兩點(diǎn)求最短路徑問題，那怎樣找B′？現(xiàn)在，要解決的問題是：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·新知探究對(duì)于如上問題，實(shí)質(zhì)上是怎樣將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C新知探究作法：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C新知探究問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·l證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′新知探究證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不問題問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．新知探究問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·l回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′新知?dú)w納回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的B·lA·B′CC1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）A·BMNE新知應(yīng)用1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，2.連接AE交