概率第一章-概-率-論課件

第一章概率論第一章概率論第一章概率論(1)理解隨機(jī)事件、事件的關(guān)系及運(yùn)算、概率的古典定義等概率的相關(guān)概念；

(2)熟練掌握概率的加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式、伯努利概型等概率計算公式和方法；

(3)理解隨機(jī)變量、分布列、分布密度、分布函數(shù)、正態(tài)分布等概念，熟練掌握分布列、分布密度、分布函數(shù)及正態(tài)分布的相關(guān)計算；

(4)理解隨機(jī)變量的數(shù)字特征的有關(guān)概念，熟練掌握期望和方差的計算方法；

(5)培養(yǎng)把概率知識應(yīng)用于實(shí)際生活的意識與能力.

第一節(jié)隨機(jī)事件第一章概率論(1)理解隨機(jī)事件、事件的關(guān)系及運(yùn)算、概率第一章概率論第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

第三節(jié)概率的加法與乘法公式

第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性

第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布

第六節(jié)正態(tài)分布

第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一章概率論第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

第三節(jié)概率的加法第一節(jié)隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

在自然界和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的現(xiàn)象，可以分為兩大類：一類是確定性現(xiàn)象，另一類是隨機(jī)現(xiàn)象．確定性現(xiàn)象是指在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象．例如下面給出的都是確定性現(xiàn)象：

(1)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到100℃時，純水沸騰；

(2)異性電荷相互吸引；

(3)從裝有10個黃色乒乓球的盒子里任意摸出一個是黃球.

(１)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1；

(２)某種股票明天上漲；

(３)某款手機(jī)在一天內(nèi)的銷售量；

(４)某射手向一目標(biāo)射擊，擊中的環(huán)數(shù).第一節(jié)隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

在自然界和第一節(jié)隨機(jī)事件(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它正面向上的次數(shù)；

(2)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

(3)一射手進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止，記錄他的射擊次數(shù)；

(4)對一批燈泡，測試每一只的壽命.

(1)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，但事前知道實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果；

(3)每次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果一定會出現(xiàn).

例1對10環(huán)靶射擊一次，則Ａ＝｛擊中5環(huán)｝是隨機(jī)事件，Ｂ＝｛擊中環(huán)數(shù)在5～10環(huán)之間｝也是一個隨機(jī)事件.

例2箱內(nèi)裝有10件同型號的產(chǎn)品，其中7件是正品，3件是次品，從中任取兩件，則Ａ＝{恰有一件次品}，Ｂ＝{兩件全是次品}，Ｃ＝{兩件全是正品}都是隨機(jī)事件.第一節(jié)隨機(jī)事件(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它正第一節(jié)隨機(jī)事件例3若在１，２，３，…，9九個數(shù)字中任取一個，則事件Ａｉ表示取得大小為ｉ(ｉ＝１，２，…，９)的數(shù)；事件Ｂ表示取得一個偶數(shù)；事件Ｃ表示取得一個奇數(shù)，都是試驗(yàn)的可能結(jié)果.

例3中事件Ａｉ(ｉ＝１，２，…，９)是基本事件.事件Ｂ由事件Ａ２，Ａ４，Ａ６，Ａ８組合而成，事件Ｃ由事件Ａ１，Ａ３，Ａ５，Ａ７，Ａ９組合而成，這兩個事件稱為復(fù)合事件.一般的，由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件.

二、事件的關(guān)系與運(yùn)算

在隨機(jī)試驗(yàn)中有許多事件發(fā)生，而這些事件之間往往又有聯(lián)系．研究事件之間的各種關(guān)系與運(yùn)算，可以幫助我們更深刻地認(rèn)識隨機(jī)事件．

1.事件的包含與相等第一節(jié)隨機(jī)事件例3若在１，２，３，…，9九個數(shù)字中第一節(jié)隨機(jī)事件圖1-12.事件的和(或并)第一節(jié)隨機(jī)事件圖1-12.事件的和(或并)第一節(jié)隨機(jī)事件事件Ａ與事件Ｂ至少有一個發(fā)生的事件，稱為事件Ａ與事件Ｂ的和（或并）事件，記為Ａ∪Ｂ（或Ａ＋Ｂ）（圖1?2中的陰影部分）．因此，事件的和可以描述為：當(dāng)且僅當(dāng)事件Ａ，Ｂ中至少有一個發(fā)生時，事件Ａ∪Ｂ發(fā)生．即Ａ∪Ｂ＝{A，B至少有一個發(fā)生}．圖1-2第一節(jié)隨機(jī)事件事件Ａ與事件Ｂ至少有一個發(fā)生的事件第一節(jié)隨機(jī)事件(1)Ａ?(Ａ∪Ｂ)，

(2)若Ａ?Ｂ，則Ａ∪Ｂ＝Ｂ；

(3)Ａ∪Ω＝Ω，Ａ∪?＝Ａ，Ａ∪Ａ＝Ａ.

3.事件的交(或積)

事件Ａ與事件Ｂ同時發(fā)生的事件，稱為事件Ａ與事件Ｂ的交（或積），記為Ａ∩Ｂ（或ＡＢ）（圖1?3中的陰影部分）．因此，事件的交可以描述為：當(dāng)且僅當(dāng)事件A，B同時發(fā)生時，事件A∩B發(fā)生．即圖1-3第一節(jié)隨機(jī)事件(1)Ａ?(Ａ∪Ｂ)，

(2)若Ａ?Ｂ第一節(jié)隨機(jī)事件(1)(Ａ∩Ｂ)?Ａ，(Ａ∩Ｂ)?Ｂ；圖1-4第一節(jié)隨機(jī)事件(1)(Ａ∩Ｂ)?Ａ，(Ａ∩Ｂ)?Ｂ；第一節(jié)隨機(jī)事件(2)若Ａ?Ｂ，則Ａ∩Ｂ＝Ａ；

(3)Ａ∩Ω＝Ａ，Ａ∩?＝?，Ａ∩Ａ＝Ａ.

4.差事件

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件，稱為事件Ａ與事件Ｂ的差事件，記為Ａ－Ｂ（圖1?4中的陰影部分）．

5.互不相容(互斥)事件圖1-5第一節(jié)隨機(jī)事件(2)若Ａ?Ｂ，則Ａ∩Ｂ＝Ａ；

(3)第一節(jié)隨機(jī)事件6.互逆(對立)事件圖1-6第一節(jié)隨機(jī)事件6.互逆(對立)事件圖1-6第一節(jié)隨機(jī)事件例4設(shè)一個工人生產(chǎn)了三個零件，記Ａｉ＝“第ｉ(ｉ＝１，２，３)個零件是正品”，試用Ａｉ(ｉ＝１，２，３)表示下列事件：

(1)沒有一個零件是次品；

(2)只有一個零件是正品；

(3)恰有一個零件是次品；

(4)至少有一個零件是次品.

解(1)“沒有一個零件是次品”，即“全是正品”，可表示為：Ａ１Ａ２Ａ３；

(2)“只有一個零件是正品”表示為：Ａ１∪Ａ２∪Ａ３；

(3)“恰有一個零件是次品”表示為：Ａ２Ａ３∪Ａ１Ａ３∪Ａ１Ａ２；

(4)“至少有一個是次品”表示為：∪∪或.

1.指出下列各事件之間的關(guān)系.第一節(jié)隨機(jī)事件例4設(shè)一個工人生產(chǎn)了三個零件，記Ａｉ第一節(jié)隨機(jī)事件(1)10件產(chǎn)品全是合格品與10件產(chǎn)品中只有1件廢品；

(2)10件產(chǎn)品全是合格品與10件產(chǎn)品中至少有1件廢品.

2.寫出下列試驗(yàn)的樣本空間.

(1)從Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四位學(xué)生中，推選代表參加數(shù)學(xué)競賽：

1)推選其中三位，參加學(xué)校組織的競賽；

2)推選其中兩位，一位參加省級競賽，另一位參加全國競賽.

(2)從盛有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球.

(3)實(shí)測某種型號燈泡的壽命.

3.設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示四個事件，試用它們表示下列事件：

(1)四個事件都不發(fā)生；

(3)四個事件中至少有一個發(fā)生；(4)四個事件中至多有一個發(fā)生.第一節(jié)隨機(jī)事件(1)10件產(chǎn)品全是合格品與10件產(chǎn)品第二節(jié)隨機(jī)事件的概率一、概率的統(tǒng)計性定義

概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性．在隨機(jī)試驗(yàn)中，不僅要關(guān)心可能出現(xiàn)哪些隨機(jī)事件，更關(guān)心的是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，因?yàn)檫@對人們進(jìn)行預(yù)測判斷更有價值．雖然隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性，但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的．從數(shù)學(xué)角度，希望能找到一個數(shù)，來刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小這一客觀事實(shí)，這個數(shù)稱為隨機(jī)事件發(fā)生的概率．表格例1為實(shí)驗(yàn)炮彈在正常條件下的合格率，第二節(jié)隨機(jī)事件的概率一、概率的統(tǒng)計性定義

概率論研究的第二節(jié)隨機(jī)事件的概率對100000發(fā)炮彈中的100發(fā)炮彈進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)，結(jié)果有90發(fā)炮彈正常，合格的頻率為９０/１００＝0.9，因此，可以認(rèn)為該批炮彈的合格率基本在0.9左右，即任意從中抽取一發(fā)炮彈，能正常發(fā)射的可能性為0.9.

(1)０≤Ｐ(Ａ)≤１；

(2)Ｐ(Ω)＝１；

(3)Ｐ(?)＝０；

(4)若Ａ?Ｂ，則Ｐ(Ａ)≤Ｐ(Ｂ)；

(5)Ｐ(Ａ)＝１－Ｐ().

二、概率的古典定義第二節(jié)隨機(jī)事件的概率對100000發(fā)炮彈中的100發(fā)炮彈進(jìn)第二節(jié)隨機(jī)事件的概率按概率的統(tǒng)計性定義求概率，即用頻率來確定概率往往是很困難的，甚至是不現(xiàn)實(shí)的．事實(shí)上，很多隨機(jī)現(xiàn)象不需要進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，根據(jù)所討論事件的特點(diǎn)就可直接計算事件的概率，而且與事實(shí)完全一致，甚至比試驗(yàn)更加精確和可信．例如，拋擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，Ａi＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為i}（i＝１，２，３，４，５，６）是隨機(jī)試驗(yàn)的６個基本事件，由于骰子的對稱性，出現(xiàn)各個基本事件的可能性相同，都為１/６，這個結(jié)果是可信的，沒有人會懷疑的．這種計算方法就叫做概率的古典概型方法．

(1)有限性——樣本空間的元素(基本事件)只有有限個，即Ω＝｛ω１，ω２，ω３，…，ωｎ｝；

(2)等可能性——每一個基本事件發(fā)生的可能性都相同，即

例2先后拋擲兩枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)一個正面一個背面的概率.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率按概率的統(tǒng)計性定義求概率，即用頻率第二節(jié)隨機(jī)事件的概率解試驗(yàn)的樣本空間Ω＝｛(正、正)，(正、背)，(背、正)，(背、背)｝，設(shè)Ａ表示出現(xiàn)“一個正面、一個背面”，則事件Ａ包含兩個基本事件(正、背)、(背、正)，所以

例3袋中有5個白球3個黑球，從中任取2個球，求

(1)取到2個白球的概率；

(2)取到1個白球1個黑球的概率；

(3)至少取到1個黑球的概率.

解(1)設(shè)Ａ表示“取到2個白球”，則Ｐ(Ａ)＝＝５/１４.

(2)設(shè)Ｂ表示“取到1個白球和1個黑球”，則Ｐ(Ｂ)＝＝１５/２８.

(3)設(shè)Ｃ表示“至少取到1個黑球”，它包括“恰好取到1個黑球”和“恰好取到2個黑球”兩個事件，則Ｐ(Ｃ)＝＝９/１４.

例4兩封信隨機(jī)的向四個郵筒投寄，求第二節(jié)隨機(jī)事件的概率解試驗(yàn)的樣本空間Ω＝｛(正、正)，(第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(1)第二個郵筒只投入一封信的概率；

(2)前兩個郵筒各有一封信的概率.

解兩封信隨機(jī)的投入四個郵筒，共有４×４＝１６中可能投法.

(1)設(shè)Ａ表示“第二個郵筒只投入一封信”，則Ｐ(Ａ)＝＝３/８.

(2)設(shè)Ｂ表示“前兩個郵筒內(nèi)各有一封信”，則Ｐ(Ｂ)＝２/１６＝１/８.

1.交通指揮站每分鐘開啟綠燈、黃燈、紅燈的時間分別是35s、5s、20s，求出現(xiàn)綠燈、黃燈、紅燈的概率.

2.從52張撲克牌中任取4張，求：

(1)4張牌花色都不相同的概率；

(2)4張牌中有3張A，1張Ｋ的概率.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(1)第二個郵筒只投入一封信的概率；

第二節(jié)隨機(jī)事件的概率3.已知10件同類零件，其中3件是次品，從中任取4件.試求下列事件的概率：

(1)恰有2件是次品；

(3)4件全是正品；(4)至少有1件是正品.

4.把數(shù)字1、2、3、4、5分別寫在五張小紙片上，從中任取三張，組成一個三位數(shù).試求下列事件的概率：

(1)三位數(shù)為奇數(shù)；(2)三位數(shù)為5的倍數(shù)；

(3)三位數(shù)為3的倍數(shù)；(4)三位數(shù)小于350.

5.從0、1、2、3、…、9這10個數(shù)字中，有放回地任取6個.試求下列事件的概率：

(1)6個數(shù)字全不同；

(2)6個數(shù)字中不含3、6、9；第二節(jié)隨機(jī)事件的概率3.已知10件同類零件，其中3件是次品第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(3)5在6個數(shù)字中恰好出現(xiàn)兩次；

(4)5在6個數(shù)字中至少出現(xiàn)一次.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(3)5在6個數(shù)字中恰好出現(xiàn)兩次；

(第三節(jié)概率的加法與乘法公式一、概率的加法公式

1.互斥事件的加法公式

如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么它們并事件的概率等于這兩個事件概率之和．即

例1一批產(chǎn)品共有20個，其中16個正品，4個次品，從這批產(chǎn)品中任取3個，求其中至少有一件次品的概率.

解設(shè)Ａ＝“取出的三件產(chǎn)品中至少有一件次品”，Ａ１＝“取出的3件產(chǎn)品中恰有i件次品”(ｉ＝１，２，３)，則有Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３，且Ａ１，Ａ２，Ａ３互不相容.由古典定義，得

2.任意事件的加法公式

對任意兩個事件A與B，有第三節(jié)概率的加法與乘法公式一、概率的加法公式

1.互斥事件第三節(jié)概率的加法與乘法公式圖1-7例2袋中有20個球，其中3個白球，17個黑球，從中任取3個，第三節(jié)概率的加法與乘法公式圖1-7例2袋中有20個球，第三節(jié)概率的加法與乘法公式求：

(1)沒有白球的概率；

(2)恰有1個白球的概率；

(3)至多有1個白球的概率；

(4)至少有1個白球的概率.

解(1)設(shè)A表示“任取3個球沒有白球”，則

(2)設(shè)B表示“任取3個球中恰有1個白球”，則

(3)設(shè)Ｃ表示“任取3個球中至多有1個白球”，Ｃ＝Ａ∪Ｂ，則

(4)設(shè)Ｄ表示“任取3個球中至少有1個白球”，那就包括取到的有1個或2個或3個白球的情況，其概率就是取到1個、2個、3個白球的概率之和，

例3求從所有兩位數(shù)中任意選一個能被2或3整除的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式求：

(1)沒有白球的概率；

(第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“能被２整除的兩位數(shù)”，B表示“能被３整除的兩位數(shù)”，數(shù)字中有一部分既能被2整除也能被3整除，即是AB.

二、條件概率公式

隨機(jī)事件的發(fā)生都有一定的隨機(jī)性和關(guān)聯(lián)性，有時不只是簡單的求某一事件發(fā)生的概率，還可能有進(jìn)一步的條件要求：即在某一個相關(guān)事件已經(jīng)發(fā)生的前提下另一隨機(jī)事件發(fā)生的概率．圖1-8第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“能被２整除的兩位數(shù)第三節(jié)概率的加法與乘法公式例4經(jīng)統(tǒng)計，某地區(qū)人的壽命達(dá)到60歲的概率為0.8，達(dá)到70歲的概率為0.65，求60歲的人中生命能超過70歲的概率.

解設(shè)A表示“壽命達(dá)到60歲”，B表示“壽命達(dá)到70歲以上”，顯然，Ｂ?Ａ，所以，ＡＢ＝Ｂ.于是

例5100件產(chǎn)品中有96件正品，其中一級品70件，現(xiàn)從中任取1件，求：

(1)取到的是正品的概率；

(2)在取得正品的前提下，是一級品的概率.

解設(shè)B表示“取得正品”，A表示“取得一級品”，則AB＝Ａ.

(1)Ｐ(Ｂ)＝９６/１００＝２４/２５.

(2)Ｐ(ＡＢ)＝７０/１００＝７/１０，

三、概率的乘法公式第三節(jié)概率的加法與乘法公式例4經(jīng)統(tǒng)計，某地區(qū)人的壽命達(dá)到第三節(jié)概率的加法與乘法公式由條件概率計算公式，可直接推得概率的乘法公式：

例6討論抓鬮的公平性.設(shè)有10個鬮中只有一個物鬮，10個人不論先后順序抓鬮，每人只能抓一次、一個鬮，試討論其結(jié)果與順序無關(guān).

解設(shè)Ａｉ表示第ｉ(ｉ＝１，２，…，１０)個人抓到物鬮，則第一個人抓到物鬮的概率

例7假設(shè)在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先發(fā)現(xiàn)乙機(jī)并向乙機(jī)開火，由于距離較遠(yuǎn)，擊落乙機(jī)的概率是0.6；若乙機(jī)未被擊落而進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.7；當(dāng)甲機(jī)未被擊落再次進(jìn)攻乙機(jī)時，擊落乙機(jī)的概率為0.8，在這幾個回合中，分別計算甲、乙被擊落的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式由條件概率計算公式，可直接推第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“甲機(jī)擊落乙機(jī)”，Ａ１、Ａ２分別表示甲機(jī)第一、二次擊落乙機(jī)，則Ａ＝Ａ１∪Ａ２，Ｂ表示“乙機(jī)擊落甲機(jī)”.根據(jù)題意，得

1.有三個人，每個人都以同等的可能被分配到四個房間中的每一間，求：

(1)三個人被分配到同一個房間的概率；

(2)三個人被分配到不同房間的概率.

2.口袋內(nèi)裝有兩個五分、三個二分、五個一分的硬幣，任意取出五個，求總數(shù)超過一角的概率.

3.一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué)，求他們中有4個人的生日在同一月份的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“甲機(jī)擊落乙機(jī)”，Ａ第三節(jié)概率的加法與乘法公式4.某公司組織英語和計算機(jī)兩個培訓(xùn)班，40名職工中有20名參加英語班，16名參加計算機(jī)班，同時參加兩個班學(xué)習(xí)的有8名職工，在該公司中任選一名職工，問他是參加培訓(xùn)班學(xué)習(xí)的職工的概率是多少？

5.某商品，甲廠的市場占有率為65%，乙廠的市場占有率為35%，已知甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠產(chǎn)品的合格率為93%，求在市場上買到甲廠生產(chǎn)的合格品的概率及乙廠生產(chǎn)的合格品的概率.

6.袋中有10個球，其中3個白球，7個紅球，每次任取1個，不放回的取兩次，求：

(1)兩次都取到白球的概率；

(2)兩次取出的球顏色不同的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式4.某公司組織英語和計算機(jī)兩個培第三節(jié)概率的加法與乘法公式7.甲、乙兩班共70名學(xué)員，其中女學(xué)員40名，又知甲班有30名學(xué)員，女學(xué)員有15名，問碰到甲班學(xué)員時，恰好是女學(xué)員的概率.

8.某廠產(chǎn)品中有4%的廢品，而合格品中有75%是一級品，求任取一件產(chǎn)品為一級品的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式7.甲、乙兩班共70名學(xué)員，其中第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性一、全概率公式

先看下面的例子．

例1市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%.甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%.求市場上燈泡的合格率.

解設(shè)A＝“甲廠的產(chǎn)品”，Ｂ＝“產(chǎn)品為合格品”，則“非甲廠的產(chǎn)品”，即＝“乙廠的產(chǎn)品”.由于Ｂ＝ＡＢ＋Ｂ，并且ＡＢ與Ｂ互不相容，于是

例2設(shè)一個倉庫中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、兩箱分別是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率分別為１/１０，１/１５，１/２０.從這些產(chǎn)品中抽取一箱，再從該箱中抽取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率.第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性一、全概率公式

先看下面第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性解設(shè)Ｂｉ(ｉ＝１，２，３)分別表示產(chǎn)品是甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)的，Ａ表示“從中任取一件是正品”.由全概率公式

例3盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新的.第一次比賽時，從中任取3個來用，比賽后仍放回盒中，第二次比賽仍從盒中任取3個球，求第二次取出的球都是新球的概率.

解設(shè)Ａ＝“第二次取出的球都是新球”，第二次取出的新球個數(shù)與第一次取出的新球個數(shù)有關(guān)，設(shè)Ｂｉ＝“第一次取出了ｉ個新球”(ｉ＝０，１，２，３).顯然，Ｂ０，Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３互不相容，且Ｂ０∪Ｂ１∪Ｂ２∪Ｂ３＝Ω，所以，

二、事件的獨(dú)立性第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性解設(shè)Ｂｉ(ｉ＝１，２，３)第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性前面我們知道，有時某一事件發(fā)生的概率與該事件在另一事件發(fā)生的前提下發(fā)生的概率是不一樣的，即Ｐ（Ａ）≠Ｐ（ＡＢ）．但在實(shí)踐中還有這樣的情況，事件Ａ發(fā)生的可能性不受事件Ｂ發(fā)生與否的影響，即Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）．例如，連續(xù)兩次投擲一枚硬幣，“第一次出現(xiàn)正面”與“第二次出現(xiàn)正面”這兩個事件中任何一個發(fā)生與否，都不影響另一個發(fā)生的可能性，這就是事件的獨(dú)立性問題．

(1)事件Ａ與Ｂ獨(dú)立的充要條件是

(2)若事件Ａ與Ｂ相互獨(dú)立，則Ａ與、Ｂ與、與中的每一對事件都相互獨(dú)立.

(3)若事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ相互獨(dú)立，則有第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性前面我們知道，有時某一事第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性例4甲、乙兩人獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，擊中目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，求在一次射擊中：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)甲擊中乙未擊中的概率；(3)目標(biāo)被擊中的概率.

解設(shè)Ａ＝“甲擊中目標(biāo)”，Ｂ＝“乙擊中目標(biāo)”，則Ａ與Ｂ相互獨(dú)立，且Ｐ(Ａ)＝0.９，Ｐ(Ｂ)＝０.８.因此

(1)Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)＝0.9×0.8＝0.72；

(2)Ｐ(Ａ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ()＝0.9×0.2＝0.18；

(3)Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ)＝0.9＋0.8－0.98.

例5一元件能正常工作的概率稱為該元件的可信度，由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率成為該系統(tǒng)的可信度.設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可信度均為ｒ(０＜ｒ＜１)，而各個元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求：第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性例4甲、乙兩人獨(dú)立地向同一第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性(1)由3個元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)的可信度；

(2)由3個元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的可信度.

解設(shè)Ａｉ＝“第ｉ個元件能正常工作”(ｉ＝１，２，３)，Ａ＝“串聯(lián)系統(tǒng)能正常工作”，Ｂ＝“并聯(lián)系統(tǒng)能正常工作”.顯然，Ａ１，Ａ２，Ａ３相互獨(dú)立.

(1)Ｐ(Ａ)＝Ｐ(Ａ１Ａ２Ａ３)＝Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ａ２)Ｐ(Ａ３)＝ｒ３.

(2)Ｂ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３，

三、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及伯努利概型第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性(1)由3個元件組成的串聯(lián)系第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性在相同條件下重復(fù)多次作一種試驗(yàn)，若每次結(jié)果發(fā)生的概率不受其他各次試驗(yàn)結(jié)果的影響，則稱這種重復(fù)試驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這種試驗(yàn)的概率計算模型就叫做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型．其中有一種情形，其特點(diǎn)是，在相同條件下進(jìn)行ｎ次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩種相互對立的結(jié)果發(fā)生，即Ａ或，若Ｐ（Ａ）＝ｐ，則Ｐ（）＝１－ｐ＝ｑ（０＜ｐ＜１），稱這ｎ次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為二項概型，又稱伯努利（Bernoulli）概型．

例６某射手對同一目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊，每次命中目標(biāo)的概率為ｐ，不中的概率為ｑ.求三次射擊恰好命中兩次的概率.

解設(shè)Ａ={射擊一次，命中目標(biāo)}，則Ｐ(Ａ)＝ｐ，Ｐ()＝ｑ＝１－ｐ，又設(shè)Ａｉ＝{第ｉ次命中目標(biāo)}(ｉ＝１，２，３)，Ｂ＝{三次射擊恰好命中兩次}.則第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性在相同條件下重復(fù)多次作一第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性例7從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽1件，求其中恰有2件次品的概率.

解本題為伯努利概型，其中ｎ＝５，ｐ＝３/１２＝１/４，ｑ＝１－ｐ＝９/１２＝３/４.于是

Ｐ５(２)＝Ｃ２２３＝１０·１/１６·２７/６４≈0.264.

１.一工人看管三臺機(jī)床，在一小時內(nèi)甲、乙、丙三臺機(jī)床需要工人照看的概率分別是0.9、0.8和0.85，求在一小時內(nèi)：

(1)沒有一臺機(jī)床需要照看的概率；

(2)至少有一臺需要照看的概率.

2.某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種螺釘，其產(chǎn)量分別占總量的25%、35%、40%.每個車間的產(chǎn)品中，次品分別占5%、4%、2%，現(xiàn)從全部螺釘中任取一個，求恰為次品的概率.第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性例7從一批由9件正品、3件第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性3.已知甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球放入甲袋，求：

(1)甲袋中紅球數(shù)增加的概率；

(2)甲袋中紅球數(shù)不變的概率.

4.在乒乓球比賽中，甲每局取勝的概率為0.6，求甲三局兩勝的概率.

5.燈泡使用壽命在1000ｈ以上的概率為0.3，求3只燈泡在使用1000ｈ后最多只有一只損壞的概率.

6.某機(jī)構(gòu)有一個5人組成的顧問小組，若每個顧問貢獻(xiàn)正確意見的百分比是0.7.現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)對某事可行與否征求意見，按少數(shù)服從多數(shù)的原則，求做出正確決策的概率.第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性3.已知甲袋中有3個白球和2第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念

通過對隨機(jī)事件及其概率的研究，使人們對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性有了初步的認(rèn)識．為了深入、全面地研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，需要把這些現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量化．其實(shí)在隨機(jī)試驗(yàn)中，有很多試驗(yàn)的結(jié)果直接表現(xiàn)為數(shù)量．例如，一次射擊中命中的環(huán)數(shù)；在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，抽出的廢品數(shù)；在銷售產(chǎn)品時的銷售量；測量時的誤差等等．有些試驗(yàn)的結(jié)果，雖然不表現(xiàn)為數(shù)量，但可以采用適當(dāng)?shù)姆椒?，使它們?shù)量化．例如，拋擲一枚均勻的硬幣，結(jié)果有兩種：“正面向上”和“反面向上”，雖不表現(xiàn)為數(shù)量，但如果將正面向上記為“1”，反面向上記為“0”，則試驗(yàn)的結(jié)果就數(shù)量化了．第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念

通過對隨機(jī)事第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例1某電話總機(jī)在一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)記為μ，它是一個隨機(jī)變量，可能取值為０，１，２，….

例2某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對于汽車通過該站的時間完全不知道，他在任一時刻到達(dá)車站都是等可能的，那么他的候車時間Ｘ是一個隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間［０，５］內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，即Ｘ∈［０，５］.

(1)離散型隨機(jī)變量：只可能取有限個或可列無限個值.如例1中的μ是離散型隨機(jī)變量.

(2)非離散型隨機(jī)變量：可以在整個數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實(shí)數(shù)區(qū)間的全部值.

二、離散型隨機(jī)變量

1.離散型隨機(jī)變量及其分布第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例1某電話總機(jī)在一天內(nèi)接到的呼叫次第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布定義2離散型隨機(jī)變量Ｘ的所有可能值ｘｋ（ｋ＝１，２，）與其對應(yīng)的概率Ｐ（Ｘ＝ｘｋ）＝ｐｋ（ｋ＝１，２，３…）所組成的．表格(1)０≤ｐｋ≤１(ｋ＝１，２，…)；(2)∑ｐｋ＝１.

例3投擲一枚骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)X的分布列.

解Ｘ的所有可能取值為１～６這六個自然數(shù)，且概率都是１/６，其分布列為第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布定義2離散型隨機(jī)變量Ｘ的所有可第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表格例4一批零件中有9個合格品和3個廢品.安裝機(jī)器時，從這批零件中依次抽取，如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前，已取出的廢品數(shù)的概率分布.

解設(shè)取得合格品前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為０，１，２，３.且第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表格例4一批零件中有9個合格品和3第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表格2.常見離散型隨機(jī)變量的分布

(1)兩點(diǎn)分布表格例5一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，求取到合格品數(shù)ξ的分布列.

解ξ可以?。昂停眱蓚€值，“ξ＝０”表示取到廢品，“１”表示取到合格品.這是兩點(diǎn)分布，且第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表格2.常見離散型隨機(jī)變量的分布

(第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表格(2)二項分布表格例6設(shè)每臺機(jī)器在一分鐘內(nèi)需要修理的概率為0.1，求10臺機(jī)器在同一分鐘內(nèi)最多有兩臺需要修理的概率.

解設(shè)Ｘ表示在同一分鐘內(nèi)需要修理的機(jī)器數(shù)，則Ｘ～Ｂ(１０，０.1)，所以，

(3)泊松(Poisson)分布第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表格(2)二項分布表格例6設(shè)每臺機(jī)第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例7一大批產(chǎn)品的廢品率為ｐ＝0.015，求任取一箱(有100個產(chǎn)品)，箱中有一個廢品的概率.

解由題意知，ｎ＝１００，ｐ＝0.015，用二項分布計算，得

Ｐ1．5(１)＝0.334695.

三、連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量的取值可以充滿某個實(shí)數(shù)區(qū)間或整個數(shù)軸．如測量時的誤差、人的身高、體重等都是連續(xù)型隨機(jī)變量．由于連續(xù)型隨機(jī)變量的取值不可數(shù)，因此不能用給出分布列的辦法表示它的概率分布規(guī)律．為此需要引入概率密度函數(shù)的概念．

(1)密度函數(shù)是非負(fù)函數(shù)，即ｆ(ｘ)≥０；

(2)∫＋∞－∞ｆ(ｘ)ｄｘ＝１.

(1)分布密度曲線不在ｘ軸的下方；第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例7一大批產(chǎn)品的廢品率為ｐ＝0.0第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布(2)分布密度曲線與ｘ軸之間的圖形面積為１.圖1-9第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布(2)分布密度曲線與ｘ軸之間的圖形面第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例8設(shè)ｆ(ｘ)＝是某連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的分布密度.求

(1)常數(shù)ｋ；(2)Ｐ(１＜Ｘ＜３)；(3)Ｐ(Ｘ＜１).

解(1)因?yàn)椤遥蓿蓿?ｘ)ｄｘ＝ｋ∫２０(４ｘ－２ｘ２)ｄｘ＝ｋ２ｘ２－２３ｘ３２０＝８３ｋ＝１，

(2)Ｐ(１＜Ｘ＜３)＝∫２１３８(４ｘ－２ｘ２)ｄｘ＋∫３２０ｄｘ＝１２.

(3)Ｐ(Ｘ＜１)＝Ｐ(－∞＜Ｘ＜１)＝∫０－∞０ｄｘ＋∫１０３８(４ｘ－２ｘ２)ｄｘ＝１２.

例9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ服從區(qū)間［－ａ，ａ］(ａ＞０)上的均勻分布，且已知概率Ｐ(Ｘ＞１)＝１/３，求：(1)常數(shù)ａ的值；(2)概率Ｐ.

解(1)因?yàn)椋亍眨郏?，ａ］，所以，第五?jié)隨機(jī)變量及其分布例8設(shè)ｆ(ｘ)＝是某連續(xù)型隨機(jī)變量第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布(2)由(1)知，ｆ(ｘ)＝，于是

四、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

對離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，可以分別用分布列和概率密度函數(shù)來描述．而實(shí)際上還存在一個描述這兩類隨機(jī)變量概率分布的統(tǒng)一方法，這就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)．

(1)０≤Ｆ(ｘ)≤１，其中ｘ∈(－∞，＋∞).

(3)Ｆ(－∞)＝Ｆ(ｘ)＝０，

例10設(shè)隨機(jī)變量Ｘ的分布列為表格解(1)當(dāng)ｘ＜１時，Ｆ(ｘ)＝Ｐ(Ｘ≤ｘ)＝∑ｘｋ＜１ｐｋ＝０；第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布(2)由(1)知，ｆ(ｘ)＝，于是

第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布(2)當(dāng)１≤ｘ＜２時，Ｆ(ｘ)＝Ｐ(Ｘ≤ｘ)＝∑ｘｋ＜２ｐｋ＝Ｐ(Ｘ＝１)＝０.3；

(3)當(dāng)２≤ｘ＜３時，

(4)當(dāng)ｘ≥３時，圖1-10第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布(2)當(dāng)１≤ｘ＜２時，Ｆ(ｘ)＝Ｐ(第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例11已知連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的密度函數(shù)為

解當(dāng)x＜a時，例12設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

解(1)由，

(2)由(1)得F(x)=１/２+１/πarctanx，所以

(3)f(x)＝F′(X)＝１/π

1.下面表(1)、(2)是否為某個隨機(jī)變量的分布列？第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布例11已知連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的密度函第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表(1)第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表(1)第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表(2)2.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：表(2)3.盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個新球，不放回地抽取，每次取一個直到取得新球?yàn)橹?，求下列隨機(jī)事件的概率分布：

(1)抽取次數(shù)Ｘ；

(2)取得的舊球個數(shù)Y.第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布表(2)2.已知離散型隨機(jī)變量X的概第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布4.設(shè)某批數(shù)量較多的電子管，其正品率為75%，現(xiàn)對這批電子管進(jìn)行測試，只要遇到一個正品電子管就停止測試，求測試次數(shù)的分.

5.一大批種子的發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒播撒土壤中，求：

(1)恰有8粒發(fā)芽的概率；

(2)不少于8粒發(fā)芽的概率.

6.校對一本共100頁的書，更正了150個錯誤，假設(shè)每頁上的錯誤數(shù)X服從泊松分布，求該書原來每頁上的錯誤都不超過4個的概率.

7.若隨機(jī)變量X的概率密度為：

f（x）＝，

8.已知公共汽車到達(dá)某站的時間服從10時到10時半之間的均勻分布，求如果10時到達(dá)車站，需要等候10分鐘以上的概率.第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布4.設(shè)某批數(shù)量較多的電子管，其正品率第六節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義及性質(zhì)

定義1若連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）＝稱X服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記作圖1-11第六節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義及性質(zhì)

定義1第六節(jié)正態(tài)分布圖1-12(1)曲線位于x軸的上方，以x=μ為對稱軸，第六節(jié)正態(tài)分布圖1-12(1)曲線位于x軸的上方，第六節(jié)正態(tài)分布向左右對稱地?zé)o限伸延，并且以x軸為漸近線；

(2)曲線在x=μ處達(dá)到最高點(diǎn)，最大值為１/σ；

(3)若固定σ，改變μ的值，則曲線y=f(x)沿x軸平行移動，曲線的幾何形狀不變；若固定μ，改變σ的值，σ越大y=f(x)的圖形越平坦，曲線愈“矮胖”(即分布愈分散)；σ越小y=f(x)的圖形越陡峭，曲線愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近).

二、正態(tài)分布的概率計算

設(shè)隨機(jī)變量X～Ｎ（μ，σ2），則根據(jù)分布函數(shù)的概念，X在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)取值的概率為第六節(jié)正態(tài)分布向左右對稱地?zé)o限伸延，并且以x軸為漸近第六節(jié)正態(tài)分布圖1-13(1)Φ(+∞)＝１，Φ(-∞)＝０；第六節(jié)正態(tài)分布圖1-13(1)Φ(+∞)＝１，Φ(第六節(jié)正態(tài)分布(2)Φ(-x)=1-Φ(x).

例1設(shè)X～N(0，1)，求：

(1)P(X＜1.5)；(2)P(0.5＜X＜1.5)；(3)Ｐ

解(1)P(X＜1.5)=Φ(1.5)查正態(tài)分布表0.9332.

(2)P(0.5＜X＜1.5)＝Φ(1.5)-Φ(0.5)=0.9332-0.6915=0.2417.

(3)P(X≥1.5)=1-P(X＜1.5)=1-Φ(1.5)=1-0.9332=0.0668.

例2設(shè)X～N(1.5～4)，試求：

(1)P(X＜3.5)；(2)

解這里μ=1.5，σ=2，于是

(1)P(X＜3.5)=Φ＝Φ(1)=0.8413.

(2)P(X＜-4)=Φ＝Φ(-2.75)

(3)P(＜３)＝P(-3＜X＜3)第六節(jié)正態(tài)分布(2)Φ(-x)=1-Φ(x).

例1第六節(jié)正態(tài)分布例3若X～N(μ，σ2)，求：

(1)P(μ-σ＜X＜μ+σ)；(2)

(3)P(μ-3σ＜X＜μ+3σ).

解(1)P(μ-σ＜X＜μ+σ)

(2)P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=Φ(２)-Φ(-2)=2Φ(２)-1=0.9546.

(3)P(μ-3σ＜X＜μ+3σ)=Φ(３)-Φ(-3)=2Φ(３)-1=0.9974.

例4在機(jī)床上加工零件，發(fā)現(xiàn)它的長度X是服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量.已知μ＝20cm，σ=0.2cm.求零件長度在19.7～20.3cm之間的概率(即兩邊偏差不超過０.3cm).

解已知μ=20，σ=0.2，故第六節(jié)正態(tài)分布例3若X～N(μ，σ2)，求：

(1第六節(jié)正態(tài)分布例5某工程隊完成某項工程所需要的天數(shù)X服從參數(shù)為μ=100，σ2=25的正態(tài)分布.按合同規(guī)定，若在100天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎10000元，若在100～115天內(nèi)完成，則得一般獎1000元，若超過115天，則罰款5000元，求該工程隊在完成這項工程時，罰款5000元的概率.

解由已知，該工程隊完成這項工程所需天數(shù)X服從正態(tài)分布，即X～N(100，52)，于是

1.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X～N(0，1)，若概率P(≥a)=0.05，求常數(shù)a.

2.設(shè)X～N(6，9)，已知P(0≤X≤2a)=0.9623，求常數(shù)a.

3.某種電池的壽命服從正態(tài)分布N(300，352)，求電池壽命在250小時以上的概率.第六節(jié)正態(tài)分布例5某工程隊完成某項工程所需要的天數(shù)第六節(jié)正態(tài)分布4.某高等學(xué)校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(65，102)，如果85分以上為優(yōu)秀，求數(shù)學(xué)考試成績?yōu)閮?yōu)秀的考生大致占總?cè)藬?shù)的百.

5.某食品公司收購了大量生豬，其重量X的概率分布為X～N(100，102)(單位：kg)，如果從中任選一頭，求

(１)其重量不超過100kg的概率；

(2)其重量在80～120kg的概率.第六節(jié)正態(tài)分布4.某高等學(xué)校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績服從正第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望

1.數(shù)學(xué)期望的概念

平均值是人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常用到的一個概念，比較兩個班的成績，要用到平均成績；考察一個地區(qū)人們的生活狀況，一個重要指標(biāo)是人均收入.隨機(jī)變量有多種可能的取值，自然也應(yīng)該有平均值.

例1在教學(xué)檢查時，對某班12名學(xué)生的某科成績進(jìn)行抽考，60分和74分各三名，65分、85分和93分的各兩名，則其平均成績是

(1)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為

(2)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

例2設(shè)隨機(jī)變量X服從0-1分布，分布列為

解E(X)＝０×q+1×p=p.第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望

1.數(shù)學(xué)期望的概念

第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征例3甲、乙兩工人一個月中出現(xiàn)廢品數(shù)的概率分布如下表，判斷誰的技術(shù)更高些.表格解E(X)＝0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.

例4設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間［a，b］上的均勻分布，即(a，b)，求X的數(shù)學(xué)期望.

解因?yàn)閒(x)＝１/b-a，所以第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征例3甲、乙兩工人一個月中出現(xiàn)廢品第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征例5如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

解Ｅ(Ｘ)＝∫+∞-∞xf(x)dx＝∫＋∞０λxe-λxdx＝-∫＋∞０xde-λx＝［-xe-λx］+∞０+∫+∞０e-λxdx=-１λe-λx＋∞０＝１λ.

2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

由數(shù)學(xué)期望的定義可得如下性質(zhì)：

(１)Ｅ(Ｃ)＝Ｃ(Ｃ為常數(shù)).

(２)Ｅ(ＣＸ)＝ＣＥ(Ｘ).

(３)Ｅ(Ｘ±Ｙ)＝Ｅ(Ｘ)±Ｅ(Ｙ).

(４)若Ｘ、Ｙ是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征例5如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨機(jī)變量的方差

1.方差的概念

數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均情況，為了能對隨機(jī)變量的變化情況做出更全面、準(zhǔn)確的描述，人們還希望知道隨機(jī)變量對期望值的偏離程度究竟有多大.

例6設(shè)甲、乙兩門炮射擊時，著彈點(diǎn)與目標(biāo)的距離分別為隨機(jī)變量Ｘ，Ｙ，且各自的概率分布為：第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨機(jī)變量的方差

1.方差的概念第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表格表格解Ｅ(Ｘ)＝１/５(８０＋８５＋９０＋９５＋１００)＝９０.

例6中隨機(jī)變量X、Y的方差分別為：

(1)如果離散型隨機(jī)變量X的分布列為

(2)如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，則第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表格表格解Ｅ(Ｘ)＝１/５(８０第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征例7設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.7，P(X=1)=0.3，求D(X).

解X服從的是兩點(diǎn)分布，由例2知，E(X)＝0.3.于是

例8設(shè)X～N(μ，σ2)，求E(X)及D(X).

解X的分布密度為

2.方差的簡單性質(zhì)

由方差的定義可知方差具有以下性質(zhì)：

(1)D(C)＝０，(C為常數(shù)).

(2)D(CX)=C２D(X)，(Ｃ為常數(shù)).

(３)Ｄ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｄ(Ｘ)＋Ｄ(Ｙ)

例9已知互相獨(dú)立的變量X、Y的概率分布如下：第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征例7設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表格表格解Ｅ(Ｘ)＝０×０.３＋１×0.1＋２×0.2＋３×0.4＝１.７.

三、常見隨機(jī)變量分布表達(dá)式及數(shù)字特征

根據(jù)均值和方差的計算公式，很容易求得常見隨機(jī)變量的均值和方差.為學(xué)習(xí)方便，將常見隨機(jī)變量分布表達(dá)式及數(shù)字特征列于表1?1．第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表格表格解Ｅ(Ｘ)＝０×０.３＋第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表1-1常見隨機(jī)變量分布表達(dá)式及數(shù)字特征1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表1-1常見隨機(jī)變量分布表達(dá)式及第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表1-1常見隨機(jī)變量分布表達(dá)式及數(shù)字特征2.已知X～(0，1)且P(X=0)=0.2，求X的數(shù)學(xué)期望及標(biāo)準(zhǔn)差.

3.連續(xù)投擲10次硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)的均值及方差.

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，若數(shù)學(xué)期望E(4X-1)=7，求參數(shù)λ.

5.某超市采購2000件某種商品，這種商品在運(yùn)輸途中損壞的概率為0.002，求超市收到的這批商品的損壞數(shù)的均值及方差.

6.假定每人生日在各個月份的機(jī)會是等同的，求10個人中生日在第二季度的平均人數(shù).第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征表1-1常見隨機(jī)變量分布表達(dá)式及第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征?數(shù)學(xué)史料

一、歷史背景

17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步.數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點(diǎn)，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支.除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期“使歐幾里得幾何相形見絀”的若干重大成就之一.

二、概率論的起源第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征?數(shù)學(xué)史料

一、歷史背景

第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率論起源于對賭博問題的研究.早在16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還有與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)的內(nèi)容，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了.表格三、概率論在實(shí)踐中曲折發(fā)展第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率論起源于對賭博問題的研究.第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì).后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等的研究，促進(jìn)了概率論的深化和發(fā)展.從17世紀(jì)到19世紀(jì)，伯努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對概率論的發(fā)展做出了深刻的研究和杰出的貢獻(xiàn).在這段時間里，概率論的發(fā)展簡直到了使人著迷的程度.但是，隨著概率論的各個分支領(lǐng)域獲得大量進(jìn)展和成果，以及在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的概率定義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象.到20世紀(jì)初，概率論的一些基本概念尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)學(xué)分支，仍然缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征在概率問題早期的研究中，逐步建第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征四、概率論理論基礎(chǔ)的建立

概率論的第一本專著是1713年問世的雅各·伯努利的《推測術(shù)》.經(jīng)過二十多年的艱難研究，伯努利表述并證明了著名的“大數(shù)定律”.所謂“大數(shù)定律”，簡單地說就是，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁.因此，伯努利被稱為概率論的奠基人.為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫.1933年，他發(fā)表了著名的《概率論的基本概念》，用公理化結(jié)構(gòu)定義了概率論，這個結(jié)構(gòu)的確立是概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展成熟奠定了更牢固的基礎(chǔ).

五、概率論的應(yīng)用第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征四、概率論理論基礎(chǔ)的建立

概率第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征20世紀(jì)以來，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)發(fā)展的推動，概率論飛速發(fā)展，理論課題不斷擴(kuò)大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬.尤其在最近幾十年中，概率論的方法被引入各工程技術(shù)學(xué)科和社會學(xué)科.目前，概率論在近代物理、自動控制、地震預(yù)報和氣象預(yù)報、工廠產(chǎn)品質(zhì)量控制、農(nóng)業(yè)試驗(yàn)和公用事業(yè)等方面都得到了重要應(yīng)用.越來越多的概率論方法被引入到經(jīng)濟(jì)、金融和管理科學(xué).

1.一批由37件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求：

(1)恰有一件次品的概率；(2)

(3)3件全是正品的概率；(4)

2.在0，1，2，…，9共10個數(shù)字中，任取4個不同數(shù)字，試求這4個數(shù)字能排成一個四位偶數(shù)的概率.第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征20世紀(jì)以來，由于物理學(xué)、生物第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.甲、乙兩城市都位于長江下游，根據(jù)一百年來的氣象記錄統(tǒng)計顯示，甲、乙兩城市一年中雨天占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨占的比例為12%，求：

(1)乙市為雨天時，甲市也為雨天的概率；

(2)甲市為雨天時，乙市也為雨天的概率；

(3)甲、乙兩城市至少有一天為雨天的概率.

4.某工廠有甲、乙、丙三個車間，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%、35%、40%，各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%、4%、2%，求全廠產(chǎn)品的次品率.第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.甲、乙兩城市都位于長江下游，根第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征5.甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別是0.4、0.5、0.7，又設(shè)若只有一人射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.2；若兩人射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.6；若三人射中，飛機(jī)必墜毀，求飛機(jī)墜毀的概率.

6.如圖１-１４所示，電路是由兩個并聯(lián)電池A，B再與電池C串聯(lián)而成，設(shè)電池A，B，C

圖1-14第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征5.甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.從一批含有7件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取，在下列兩種情況下，分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布列：

(1)每次取出的產(chǎn)品不再放回；

(2)每次取出的產(chǎn)品檢驗(yàn)后放回，再取下一件產(chǎn)品.

8.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在某時刻t每個設(shè)備被使用的概率為0.1，求在同一時刻：

(1)恰有兩個設(shè)備被使用的概率；(2)至少有一個設(shè)備被使用的概率.

9.一女工照管800個紗錠，若一紗錠在單位時間內(nèi)斷紗的概率為0.005，求單位時間內(nèi)：

(1)恰好斷紗4次的概率；(2)斷紗次數(shù)不多于3的概率.

10.設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度為：第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.從一批含有7件正品及3件次品的第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征f（x）＝

(1)求系數(shù)a；

(2)求隨機(jī)變量X落在區(qū)間內(nèi)的概率.

11.已知隨機(jī)變量X的分布列為：

（1）求X的分布函數(shù)F（x），并作出其圖像；表格(1)求X的分布函數(shù)F(x)，并作出其圖像；

(2)求P(-1＜X≤1)，P(X≥1).

12.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征f（x）＝

(1)求系數(shù)a；

(2第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ｆ（x）＝，

13.已知X的概率分布為

Ｐ（Ｘ＝k）＝Ｃk（0．3）k（0．７）200－k，（k＝0，１，２，…，２００），求：Ｅ（Ｘ），Ｄ（Ｘ），Ｄ（－２Ｘ＋１）．

14.已知隨機(jī)變量X服從二項分布Ｘ～Ｂ(n，p)且Ｅ(Ｘ)＝６０，２４，求n和p的值.

15.一批零件有9個正品，3個次品，在安裝機(jī)器時，從這批零件中任取一個，若取出的是次品不放回地再取一個，直到取出的是正品安裝在機(jī)器上，求在取到正品之前，已取出的次品數(shù)X的期望和方差.第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ｆ（x）＝，

13.已知X的概率分第一章概率論第一章概率論第一章概率論(1)理解隨機(jī)事件、事件的關(guān)系及運(yùn)算、概率的古典定義等概率的相關(guān)概念；

(2)熟練掌握概率的加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式、伯努利概型等概率計算公式和方法；

(3)理解隨機(jī)變量、分布列、分布密度、分布函數(shù)、正態(tài)分布等概念，熟練掌握分布列、分布密度、分布函數(shù)及正態(tài)分布的相關(guān)計算；

(4)理解隨機(jī)變量的數(shù)字特征的有關(guān)概念，熟練掌握期望和方差的計算方法；

(5)培養(yǎng)把概率知識應(yīng)用于實(shí)際生活的意識與能力.

第一節(jié)隨機(jī)事件第一章概率論(1)理解隨機(jī)事件、事件的關(guān)系及運(yùn)算、概率第一章概率論第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

第三節(jié)概率的加法與乘法公式

第四節(jié)全概率公式及事件的獨(dú)立性

第五節(jié)隨機(jī)變量及其分布

第六節(jié)正態(tài)分布

第七節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一章概率論第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

第三節(jié)概率的加法第一節(jié)隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

在自然界和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的現(xiàn)象，可以分為兩大類：一類是確定性現(xiàn)象，另一類是隨機(jī)現(xiàn)象．確定性現(xiàn)象是指在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象．例如下面給出的都是確定性現(xiàn)象：

(1)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到100℃時，純水沸騰；

(2)異性電荷相互吸引；

(3)從裝有10個黃色乒乓球的盒子里任意摸出一個是黃球.

(１)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1；

(２)某種股票明天上漲；

(３)某款手機(jī)在一天內(nèi)的銷售量；

(４)某射手向一目標(biāo)射擊，擊中的環(huán)數(shù).第一節(jié)隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

在自然界和第一節(jié)隨機(jī)事件(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它正面向上的次數(shù)；

(2)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

(3)一射手進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止，記錄他的射擊次數(shù)；

(4)對一批燈泡，測試每一只的壽命.

(1)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，但事前知道實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果；

(3)每次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果一定會出現(xiàn).

例1對10環(huán)靶射擊一次，則Ａ＝｛擊中5環(huán)｝是隨機(jī)事件，Ｂ＝｛擊中環(huán)數(shù)在5～10環(huán)之間｝也是一個隨機(jī)事件.

例2箱內(nèi)裝有10件同型號的產(chǎn)品，其中7件是正品，3件是次品，從中任取兩件，則Ａ＝{恰有一件次品}，Ｂ＝{兩件全是次品}，Ｃ＝{兩件全是正品}都是隨機(jī)事件.第一節(jié)隨機(jī)事件(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它正第一節(jié)隨機(jī)事件例3若在１，２，３，…，9九個數(shù)字中任取一個，則事件Ａｉ表示取得大小為ｉ(ｉ＝１，２，…，９)的數(shù)；事件Ｂ表示取得一個偶數(shù)；事件Ｃ表示取得一個奇數(shù)，都是試驗(yàn)的可能結(jié)果.

例3中事件Ａｉ(ｉ＝１，２，…，９)是基本事件.事件Ｂ由事件Ａ２，Ａ４，Ａ６，Ａ８組合而成，事件Ｃ由事件Ａ１，Ａ３，Ａ５，Ａ７，Ａ９組合而成，這兩個事件稱為復(fù)合事件.一般的，由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件.

二、事件的關(guān)系與運(yùn)算

在隨機(jī)試驗(yàn)中有許多事件發(fā)生，而這些事件之間往往又有聯(lián)系．研究事件之間的各種關(guān)系與運(yùn)算，可以幫助我們更深刻地認(rèn)識隨機(jī)事件．

1.事件的包含與相等第一節(jié)隨機(jī)事件例3若在１，２，３，…，9九個數(shù)字中第一節(jié)隨機(jī)事件圖1-12.事件的和(或并)第一節(jié)隨機(jī)事件圖1-12.事件的和(或并)第一節(jié)隨機(jī)事件事件Ａ與事件Ｂ至少有一個發(fā)生的事件，稱為事件Ａ與事件Ｂ的和（或并）事件，記為Ａ∪Ｂ（或Ａ＋Ｂ）（圖1?2中的陰影部分）．因此，事件的和可以描述為：當(dāng)且僅當(dāng)事件Ａ，Ｂ中至少有一個發(fā)生時，事件Ａ∪Ｂ發(fā)生．即Ａ∪Ｂ＝{A，B至少有一個發(fā)生}．圖1-2第一節(jié)隨機(jī)事件事件Ａ與事件Ｂ至少有一個發(fā)生的事件第一節(jié)隨機(jī)事件(1)Ａ?(Ａ∪Ｂ)，

(2)若Ａ?Ｂ，則Ａ∪Ｂ＝Ｂ；

(3)Ａ∪Ω＝Ω，Ａ∪?＝Ａ，Ａ∪Ａ＝Ａ.

3.事件的交(或積)

事件Ａ與事件Ｂ同時發(fā)生的事件，稱為事件Ａ與事件Ｂ的交（或積），記為Ａ∩Ｂ（或ＡＢ）（圖1?3中的陰影部分）．因此，事件的交可以描述為：當(dāng)且僅當(dāng)事件A，B同時發(fā)生時，事件A∩B發(fā)生．即圖1-3第一節(jié)隨機(jī)事件(1)Ａ?(Ａ∪Ｂ)，

(2)若Ａ?Ｂ第一節(jié)隨機(jī)事件(1)(Ａ∩Ｂ)?Ａ，(Ａ∩Ｂ)?Ｂ；圖1-4第一節(jié)隨機(jī)事件(1)(Ａ∩Ｂ)?Ａ，(Ａ∩Ｂ)?Ｂ；第一節(jié)隨機(jī)事件(2)若Ａ?Ｂ，則Ａ∩Ｂ＝Ａ；

(3)Ａ∩Ω＝Ａ，Ａ∩?＝?，Ａ∩Ａ＝Ａ.

4.差事件

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件，稱為事件Ａ與事件Ｂ的差事件，記為Ａ－Ｂ（圖1?4中的陰影部分）．

5.互不相容(互斥)事件圖1-5第一節(jié)隨機(jī)事件(2)若Ａ?Ｂ，則Ａ∩Ｂ＝Ａ；

(3)第一節(jié)隨機(jī)事件6.互逆(對立)事件圖1-6第一節(jié)隨機(jī)事件6.互逆(對立)事件圖1-6第一節(jié)隨機(jī)事件例4設(shè)一個工人生產(chǎn)了三個零件，記Ａｉ＝“第ｉ(ｉ＝１，２，３)個零件是正品”，試用Ａｉ(ｉ＝１，２，３)表示下列事件：

(1)沒有一個零件是次品；

(2)只有一個零件是正品；

(3)恰有一個零件是次品；

(4)至少有一個零件是次品.

解(1)“沒有一個零件是次品”，即“全是正品”，可表示為：Ａ１Ａ２Ａ３；

(2)“只有一個零件是正品”表示為：Ａ１∪Ａ２∪Ａ３；

(3)“恰有一個零件是次品”表示為：Ａ２Ａ３∪Ａ１Ａ３∪Ａ１Ａ２；

(4)“至少有一個是次品”表示為：∪∪或.

1.指出下列各事件之間的關(guān)系.第一節(jié)隨機(jī)事件例4設(shè)一個工人生產(chǎn)了三個零件，記Ａｉ第一節(jié)隨機(jī)事件(1)10件產(chǎn)品全是合格品與10件產(chǎn)品中只有1件廢品；

(2)10件產(chǎn)品全是合格品與10件產(chǎn)品中至少有1件廢品.

2.寫出下列試驗(yàn)的樣本空間.

(1)從Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四位學(xué)生中，推選代表參加數(shù)學(xué)競賽：

1)推選其中三位，參加學(xué)校組織的競賽；

2)推選其中兩位，一位參加省級競賽，另一位參加全國競賽.

(2)從盛有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球.

(3)實(shí)測某種型號燈泡的壽命.

3.設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示四個事件，試用它們表示下列事件：

(1)四個事件都不發(fā)生；

(3)四個事件中至少有一個發(fā)生；(4)四個事件中至多有一個發(fā)生.第一節(jié)隨機(jī)事件(1)10件產(chǎn)品全是合格品與10件產(chǎn)品第二節(jié)隨機(jī)事件的概率一、概率的統(tǒng)計性定義

概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性．在隨機(jī)試驗(yàn)中，不僅要關(guān)心可能出現(xiàn)哪些隨機(jī)事件，更關(guān)心的是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，因?yàn)檫@對人們進(jìn)行預(yù)測判斷更有價值．雖然隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性，但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的．從數(shù)學(xué)角度，希望能找到一個數(shù)，來刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小這一客觀事實(shí)，這個數(shù)稱為隨機(jī)事件發(fā)生的概率．表格例1為實(shí)驗(yàn)炮彈在正常條件下的合格率，第二節(jié)隨機(jī)事件的概率一、概率的統(tǒng)計性定義

概率論研究的第二節(jié)隨機(jī)事件的概率對100000發(fā)炮彈中的100發(fā)炮彈進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)，結(jié)果有90發(fā)炮彈正常，合格的頻率為９０/１００＝0.9，因此，可以認(rèn)為該批炮彈的合格率基本在0.9左右，即任意從中抽取一發(fā)炮彈，能正常發(fā)射的可能性為0.9.

(1)０≤Ｐ(Ａ)≤１；

(2)Ｐ(Ω)＝１；

(3)Ｐ(?)＝０；

(4)若Ａ?Ｂ，則Ｐ(Ａ)≤Ｐ(Ｂ)；

(5)Ｐ(Ａ)＝１－Ｐ().

二、概率的古典定義第二節(jié)隨機(jī)事件的概率對100000發(fā)炮彈中的100發(fā)炮彈進(jìn)第二節(jié)隨機(jī)事件的概率按概率的統(tǒng)計性定義求概率，即用頻率來確定概率往往是很困難的，甚至是不現(xiàn)實(shí)的．事實(shí)上，很多隨機(jī)現(xiàn)象不需要進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，根據(jù)所討論事件的特點(diǎn)就可直接計算事件的概率，而且與事實(shí)完全一致，甚至比試驗(yàn)更加精確和可信．例如，拋擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，Ａi＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為i}（i＝１，２，３，４，５，６）是隨機(jī)試驗(yàn)的６個基本事件，由于骰子的對稱性，出現(xiàn)各個基本事件的可能性相同，都為１/６，這個結(jié)果是可信的，沒有人會懷疑的．這種計算方法就叫做概率的古典概型方法．

(1)有限性——樣本空間的元素(基本事件)只有有限個，即Ω＝｛ω１，ω２，ω３，…，ωｎ｝；

(2)等可能性——每一個基本事件發(fā)生的可能性都相同，即

例2先后拋擲兩枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)一個正面一個背面的概率.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率按概率的統(tǒng)計性定義求概率，即用頻率第二節(jié)隨機(jī)事件的概率解試驗(yàn)的樣本空間Ω＝｛(正、正)，(正、背)，(背、正)，(背、背)｝，設(shè)Ａ表示出現(xiàn)“一個正面、一個背面”，則事件Ａ包含兩個基本事件(正、背)、(背、正)，所以

例3袋中有5個白球3個黑球，從中任取2個球，求

(1)取到2個白球的概率；

(2)取到1個白球1個黑球的概率；

(3)至少取到1個黑球的概率.

解(1)設(shè)Ａ表示“取到2個白球”，則Ｐ(Ａ)＝＝５/１４.

(2)設(shè)Ｂ表示“取到1個白球和1個黑球”，則Ｐ(Ｂ)＝＝１５/２８.

(3)設(shè)Ｃ表示“至少取到1個黑球”，它包括“恰好取到1個黑球”和“恰好取到2個黑球”兩個事件，則Ｐ(Ｃ)＝＝９/１４.

例4兩封信隨機(jī)的向四個郵筒投寄，求第二節(jié)隨機(jī)事件的概率解試驗(yàn)的樣本空間Ω＝｛(正、正)，(第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(1)第二個郵筒只投入一封信的概率；

(2)前兩個郵筒各有一封信的概率.

解兩封信隨機(jī)的投入四個郵筒，共有４×４＝１６中可能投法.

(1)設(shè)Ａ表示“第二個郵筒只投入一封信”，則Ｐ(Ａ)＝＝３/８.

(2)設(shè)Ｂ表示“前兩個郵筒內(nèi)各有一封信”，則Ｐ(Ｂ)＝２/１６＝１/８.

1.交通指揮站每分鐘開啟綠燈、黃燈、紅燈的時間分別是35s、5s、20s，求出現(xiàn)綠燈、黃燈、紅燈的概率.

2.從52張撲克牌中任取4張，求：

(1)4張牌花色都不相同的概率；

(2)4張牌中有3張A，1張Ｋ的概率.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(1)第二個郵筒只投入一封信的概率；

第二節(jié)隨機(jī)事件的概率3.已知10件同類零件，其中3件是次品，從中任取4件.試求下列事件的概率：

(1)恰有2件是次品；

(3)4件全是正品；(4)至少有1件是正品.

4.把數(shù)字1、2、3、4、5分別寫在五張小紙片上，從中任取三張，組成一個三位數(shù).試求下列事件的概率：

(1)三位數(shù)為奇數(shù)；(2)三位數(shù)為5的倍數(shù)；

(3)三位數(shù)為3的倍數(shù)；(4)三位數(shù)小于350.

5.從0、1、2、3、…、9這10個數(shù)字中，有放回地任取6個.試求下列事件的概率：

(1)6個數(shù)字全不同；

(2)6個數(shù)字中不含3、6、9；第二節(jié)隨機(jī)事件的概率3.已知10件同類零件，其中3件是次品第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(3)5在6個數(shù)字中恰好出現(xiàn)兩次；

(4)5在6個數(shù)字中至少出現(xiàn)一次.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率(3)5在6個數(shù)字中恰好出現(xiàn)兩次；

(第三節(jié)概率的加法與乘法公式一、概率的加法公式

1.互斥事件的加法公式

如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么它們并事件的概率等于這兩個事件概率之和．即

例1一批產(chǎn)品共有20個，其中16個正品，4個次品，從這批產(chǎn)品中任取3個，求其中至少有一件次品的概率.

解設(shè)Ａ＝“取出的三件產(chǎn)品中至少有一件次品”，Ａ１＝“取出的3件產(chǎn)品中恰有i件次品”(ｉ＝１，２，３)，則有Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３，且Ａ１，Ａ２，Ａ３互不相容.由古典定義，得

2.任意事件的加法公式

對任意兩個事件A與B，有第三節(jié)概率的加法與乘法公式一、概率的加法公式

1.互斥事件第三節(jié)概率的加法與乘法公式圖1-7例2袋中有20個球，其中3個白球，17個黑球，從中任取3個，第三節(jié)概率的加法與乘法公式圖1-7例2袋中有20個球，第三節(jié)概率的加法與乘法公式求：

(1)沒有白球的概率；

(2)恰有1個白球的概率；

(3)至多有1個白球的概率；

(4)至少有1個白球的概率.

解(1)設(shè)A表示“任取3個球沒有白球”，則

(2)設(shè)B表示“任取3個球中恰有1個白球”，則

(3)設(shè)Ｃ表示“任取3個球中至多有1個白球”，Ｃ＝Ａ∪Ｂ，則

(4)設(shè)Ｄ表示“任取3個球中至少有1個白球”，那就包括取到的有1個或2個或3個白球的情況，其概率就是取到1個、2個、3個白球的概率之和，

例3求從所有兩位數(shù)中任意選一個能被2或3整除的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式求：

(1)沒有白球的概率；

(第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“能被２整除的兩位數(shù)”，B表示“能被３整除的兩位數(shù)”，數(shù)字中有一部分既能被2整除也能被3整除，即是AB.

二、條件概率公式

隨機(jī)事件的發(fā)生都有一定的隨機(jī)性和關(guān)聯(lián)性，有時不只是簡單的求某一事件發(fā)生的概率，還可能有進(jìn)一步的條件要求：即在某一個相關(guān)事件已經(jīng)發(fā)生的前提下另一隨機(jī)事件發(fā)生的概率．圖1-8第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“能被２整除的兩位數(shù)第三節(jié)概率的加法與乘法公式例4經(jīng)統(tǒng)計，某地區(qū)人的壽命達(dá)到60歲的概率為0.8，達(dá)到70歲的概率為0.65，求60歲的人中生命能超過70歲的概率.

解設(shè)A表示“壽命達(dá)到60歲”，B表示“壽命達(dá)到70歲以上”，顯然，Ｂ?Ａ，所以，ＡＢ＝Ｂ.于是

例5100件產(chǎn)品中有96件正品，其中一級品70件，現(xiàn)從中任取1件，求：

(1)取到的是正品的概率；

(2)在取得正品的前提下，是一級品的概率.

解設(shè)B表示“取得正品”，A表示“取得一級品”，則AB＝Ａ.

(1)Ｐ(Ｂ)＝９６/１００＝２４/２５.

(2)Ｐ(ＡＢ)＝７０/１００＝７/１０，

三、概率的乘法公式第三節(jié)概率的加法與乘法公式例4經(jīng)統(tǒng)計，某地區(qū)人的壽命達(dá)到第三節(jié)概率的加法與乘法公式由條件概率計算公式，可直接推得概率的乘法公式：

例6討論抓鬮的公平性.設(shè)有10個鬮中只有一個物鬮，10個人不論先后順序抓鬮，每人只能抓一次、一個鬮，試討論其結(jié)果與順序無關(guān).

解設(shè)Ａｉ表示第ｉ(ｉ＝１，２，…，１０)個人抓到物鬮，則第一個人抓到物鬮的概率

例7假設(shè)在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先發(fā)現(xiàn)乙機(jī)并向乙機(jī)開火，由于距離較遠(yuǎn)，擊落乙機(jī)的概率是0.6；若乙機(jī)未被擊落而進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.7；當(dāng)甲機(jī)未被擊落再次進(jìn)攻乙機(jī)時，擊落乙機(jī)的概率為0.8，在這幾個回合中，分別計算甲、乙被擊落的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式由條件概率計算公式，可直接推第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“甲機(jī)擊落乙機(jī)”，Ａ１、Ａ２分別表示甲機(jī)第一、二次擊落乙機(jī)，則Ａ＝Ａ１∪Ａ２，Ｂ表示“乙機(jī)擊落甲機(jī)”.根據(jù)題意，得

1.有三個人，每個人都以同等的可能被分配到四個房間中的每一間，求：

(1)三個人被分配到同一個房間的概率；

(2)三個人被分配到不同房間的概率.

2.口袋內(nèi)裝有兩個五分、三個二分、五個一分的硬幣，任意取出五個，求總數(shù)超過一角的概率.

3.一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué)，求他們中有4個人的生日在同一月份的概率.第三節(jié)概率的加法與乘法公式解設(shè)A表示“甲機(jī)擊落乙機(jī)”，Ａ第三節(jié)概率的加法與乘法公式4.某公司組織英語和計算機(jī)兩個培訓(xùn)班，40名職工中有20名參加英語班，16名參加計算機(jī)班，同時參加兩個班學(xué)習(xí)的有8名職工，在該公司中任選一名職工，問他是參加培訓(xùn)班學(xué)習(xí)的職工的概率是多少？

5.某商品，甲廠的市場占有率為65%，乙廠的市場占有率為35%，已知甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠產(chǎn)品的合格率為93%，求在市場上買到甲廠生產(chǎn)的合格品的概率及乙廠生產(chǎn)的合格品的概率.

6.袋中有10個球，其中3個白球，7個紅球