線性代數(shù)講課資料1課件

一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元線性方程組一元一次方程一元二次方程二元、三元線性行列式矩陣及其運(yùn)算矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關(guān)性矩陣的特征值和特征向量行列式第一章行列式§1二階與三階行列式第一章行列式§1二階與三階行列式3記稱它為二階行列式，定義為記憶方法：對(duì)角線法則1二階行列式記稱它為二階行列式，定義為記憶方法：對(duì)角線法則1二階行列式4類似的，我們還可以定義三階行列式為記憶方法：對(duì)角線法則注意：對(duì)角線法則只適用于二階、三階行列式類似的，我們還可以定義三階行列式為記憶方法：對(duì)角線法則注意：5線性代數(shù)講課資料1課件6n

階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§2全排列及其逆序數(shù)把1,2,……,n

排成無重復(fù)一列，稱為一個(gè)n

階全排列.奇排列

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.在一個(gè)排列中如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有例1排列1

2……n

稱為自然排列，所以是偶排列.一個(gè)逆序.偶排列一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.

它的逆序數(shù)為0，三階排列共有3×2×1=3!個(gè).n階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§27例2排列3251

4的逆序數(shù)為t(３２５１４)例3排列n(n?1)…321的逆序數(shù)為

t(n(n?1)…321)=0+1+2+…+(n?1)=排列32514為奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

排列逆序數(shù)的計(jì)算方法：分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．例2排列32514的逆序數(shù)為8三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是3!=6

項(xiàng)的代數(shù)和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3一、定義三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是39三階行列式可以寫成三階行列式可以寫成10

定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n

階行列式,項(xiàng)的代數(shù)和，

即

規(guī)定為所有形如記成定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n階行列11例

1下三角行列式二、相關(guān)題型例1下三角行列式二、相關(guān)題型12例2下三角行列式例3

三階行列式例2下三角行列式例3三階行列式13

例5n

階行列式

例4四階行列式例5n階行列式例4四階行列式14線性代數(shù)講課資料1課件15例7用行列式定義計(jì)算例7用行列式定義計(jì)算16解解17線性代數(shù)講課資料1課件18經(jīng)對(duì)換a與b,得排列

所以，經(jīng)一次相鄰對(duì)換，排列改變奇偶性.§4對(duì)換

對(duì)換

定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.

證先證相鄰對(duì)換的情形.

那么設(shè)排列經(jīng)對(duì)換a與b排列，得排列

相鄰對(duì)換再證一般對(duì)換的情形.設(shè)排列經(jīng)對(duì)換a與b,得排列19事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1

次相鄰對(duì)換變?yōu)榕帕校?）.

定理2

n

階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對(duì)換的情形及2m+1

是奇數(shù)，性相反.所以這兩個(gè)排列的奇偶事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1次相鄰對(duì)換變?yōu)榕帕校?20

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求這兩個(gè)排列的逆序數(shù).經(jīng)對(duì)換1與4得排列例1排列53142解t(53142)211.選擇i與k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出應(yīng)冠以的符號(hào)3.計(jì)算n

階行列式練習(xí)1.選擇i與k使（1）25i22行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即排列25413

為偶排列；（2）i=3,k=4時(shí)，即排列25314

為奇排列.行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即23

性質(zhì)1

性質(zhì)2

§5行列式的性質(zhì)

推論

兩行（列）相同的行列式值為零.數(shù)k,

性質(zhì)3

等于用數(shù)k

乘此行列式.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)說明：行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也同樣成立；反之亦然。說明：第i行；第i列；交換兩行交換兩列說明：性質(zhì)1性質(zhì)224

性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列

式等于零.

推論行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面.性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，

則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.說明：當(dāng)某一行（或列）的元素為兩數(shù)之和時(shí)，行列式關(guān)于該行（或列）可分解為兩個(gè)行列式。若n階行列式每個(gè)元素都表示成兩數(shù)之和，則它可分解成個(gè)行列式。性質(zhì)425例如例如26把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變.性質(zhì)6下一頁把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)27設(shè)行列式DT

稱為行列式D

的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=返回設(shè)行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=返回28

設(shè)行列式D=det(aij)互換第i,j(i＜j)兩行,得行列式

性質(zhì)2的證明設(shè)行列式D=det(aij)互換第29其中，當(dāng)k≠i,j

時(shí),bkp=akp;當(dāng)k=i,j

時(shí)，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=?D返回其中，當(dāng)k≠i,j時(shí),bkp=akp;當(dāng)30例3返回例3返回31

r2-r1例5==0例6例7返回返回返回r2-r1例5==0例632

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8計(jì)算行列式第一步解r2-r1,r3-3r1,r433

r2÷2

r3+r2,r4-2r2第二步r2÷2r3+r2,r4-2r2第34

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r3r4÷(-3),r3←→r4r4+3r335線性代數(shù)講課資料1課件36

例10計(jì)算行列式

解從第4行開始，后行減前行得，例10計(jì)算行列式解從第4行37線性代數(shù)講課資料1課件38

例11計(jì)算行列式

解各行都加到第一行，例11計(jì)算行列式解各行都加到第39

各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)40特點(diǎn)：各行的和相等特點(diǎn)：各行的和相等41線性代數(shù)講課資料1課件42小結(jié)1.了解行列式的定義.2.掌握行列式的性質(zhì).3.運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式.作業(yè)小結(jié)1.了解行列式的定義.2.掌握行列式的性質(zhì).3.運(yùn)用行列43練習(xí)1.計(jì)算行列式2.x為何值時(shí),行列式=-4D=2+4x練習(xí)1.計(jì)算行列式2.x為何值時(shí),行列式=-443.計(jì)算四階行列式因?yàn)樾辛惺紻互換第1行、第4行(r1←→r4)得行列式D1，所以3.解3.計(jì)算四階行列式因?yàn)樾辛惺紻互換第1行、第4行454.證明4.證明46一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元線性方程組一元一次方程一元二次方程二元、三元線性行列式矩陣及其運(yùn)算矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關(guān)性矩陣的特征值和特征向量行列式第一章行列式§1二階與三階行列式第一章行列式§1二階與三階行列式49記稱它為二階行列式，定義為記憶方法：對(duì)角線法則1二階行列式記稱它為二階行列式，定義為記憶方法：對(duì)角線法則1二階行列式50類似的，我們還可以定義三階行列式為記憶方法：對(duì)角線法則注意：對(duì)角線法則只適用于二階、三階行列式類似的，我們還可以定義三階行列式為記憶方法：對(duì)角線法則注意：51線性代數(shù)講課資料1課件52n

階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§2全排列及其逆序數(shù)把1,2,……,n

排成無重復(fù)一列，稱為一個(gè)n

階全排列.奇排列

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.在一個(gè)排列中如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有例1排列1

2……n

稱為自然排列，所以是偶排列.一個(gè)逆序.偶排列一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.

它的逆序數(shù)為0，三階排列共有3×2×1=3!個(gè).n階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§253例2排列3251

4的逆序數(shù)為t(３２５１４)例3排列n(n?1)…321的逆序數(shù)為

t(n(n?1)…321)=0+1+2+…+(n?1)=排列32514為奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

排列逆序數(shù)的計(jì)算方法：分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．例2排列32514的逆序數(shù)為54三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是3!=6

項(xiàng)的代數(shù)和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3一、定義三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是355三階行列式可以寫成三階行列式可以寫成56

定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n

階行列式,項(xiàng)的代數(shù)和，

即

規(guī)定為所有形如記成定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n階行列57例

1下三角行列式二、相關(guān)題型例1下三角行列式二、相關(guān)題型58例2下三角行列式例3

三階行列式例2下三角行列式例3三階行列式59

例5n

階行列式

例4四階行列式例5n階行列式例4四階行列式60線性代數(shù)講課資料1課件61例7用行列式定義計(jì)算例7用行列式定義計(jì)算62解解63線性代數(shù)講課資料1課件64經(jīng)對(duì)換a與b,得排列

所以，經(jīng)一次相鄰對(duì)換，排列改變奇偶性.§4對(duì)換

對(duì)換

定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.

證先證相鄰對(duì)換的情形.

那么設(shè)排列經(jīng)對(duì)換a與b排列，得排列

相鄰對(duì)換再證一般對(duì)換的情形.設(shè)排列經(jīng)對(duì)換a與b,得排列65事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1

次相鄰對(duì)換變?yōu)榕帕校?）.

定理2

n

階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對(duì)換的情形及2m+1

是奇數(shù)，性相反.所以這兩個(gè)排列的奇偶事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1次相鄰對(duì)換變?yōu)榕帕校?66

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求這兩個(gè)排列的逆序數(shù).經(jīng)對(duì)換1與4得排列例1排列53142解t(53142)671.選擇i與k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出應(yīng)冠以的符號(hào)3.計(jì)算n

階行列式練習(xí)1.選擇i與k使（1）25i68行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即排列25413

為偶排列；（2）i=3,k=4時(shí)，即排列25314

為奇排列.行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即69

性質(zhì)1

性質(zhì)2

§5行列式的性質(zhì)

推論

兩行（列）相同的行列式值為零.數(shù)k,

性質(zhì)3

等于用數(shù)k

乘此行列式.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)說明：行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也同樣成立；反之亦然。說明：第i行；第i列；交換兩行交換兩列說明：性質(zhì)1性質(zhì)270

性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列

式等于零.

推論行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面.性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，

則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.說明：當(dāng)某一行（或列）的元素為兩數(shù)之和時(shí)，行列式關(guān)于該行（或列）可分解為兩個(gè)行列式。若n階行列式每個(gè)元素都表示成兩數(shù)之和，則它可分解成個(gè)行列式。性質(zhì)471例如例如72把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變.性質(zhì)6下一頁把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)73設(shè)行列式DT

稱為行列式D

的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=返回設(shè)行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=返回74

設(shè)行列式D=det(aij)互換第i,j(i＜j)兩行,得行列式

性質(zhì)2的證明設(shè)行列式D=det(aij)互換第75其中，當(dāng)k≠i,j

時(shí),bkp=akp