新高中人教B版數(shù)學必修五課時作業(yè)111正弦定理

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)課時目標1.熟記正弦定理的內(nèi)容.2.能夠初步運用正弦定理解斜三角形．ABCπ1．在△ABC中，A＋B＋C＝________，2＋2＋2＝2.π，則a＝________，b＝_____________________________.2．在Rt△ABC中，C＝2cc3．一般地，我們把三角形的三個角及其對邊分別叫做三角形的__________．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做________．4．正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即_______，這個比值是______________________．一、選擇題1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶3∶22．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為()A.3＋1B．23＋1C．26D．2＋232223．在△ABC中，sinA＝sinB＋sinC，則△ABC為()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，若sinA>sinB，則角A與角B的大小關(guān)系為()A．A>BB．A<BC．A≥BD．A，B的大小關(guān)系不能夠確定5．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，則B等于()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若是c＝3a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°二、填空題7．在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，則C＝___________________________.18．在△ABC中，若tanA＝3，C＝150°，BC＝1，則AB＝________.2π9．在△ABC中，b＝1，c＝3，C＝3，則a＝________.10．在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A＝______.三、解答題11．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．12．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，則角A的大小為________．a(chǎn)14．在銳角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求b的取值范圍．1．利用正弦定理能夠解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角．2．已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角形解的情況比較復雜，可能無解，可能一解或兩解．比方：已知a、b和A，用正弦定理求B時的各種情況．a(chǎn)＝bsinAbsinA<a<ba<bsinAa≥bA為銳角一解(直角)兩解(一銳角，一鈍角)無解一解(銳角)a≤ba≤b為直角或鈍角一解(銳角)無解§1.1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理(一)答案知識梳理1．π2.sinAsinB3.元素解三角形a＝b＝c三角形外接圓的直徑4.sinAsinBsinC2R作業(yè)設(shè)計1．Da＝b，得4＝b，∴b＝26.]2．C[由正弦定理sinAsinBsin45°sin60°3．A[sin2A＝sin2B＋sin2CR)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形．]4．A[由sinA>sinB2RsinA>2RsinBa>bA>B.]a＝b得sinB＝bsinA2sin60°25．C[由sinA＝3＝sinBa2.a>b，∴A>B，B<60°.∴B＝45°.]6．A[∵c＝3a，∴sinC＝3sinA＝3sin(180－°30°－C)＝3sin(30＋°C)132sinC＋2cosC，即sinC＝－

3cosC.∴tanC＝－

3.又

C∈(0°，180°)，∴C＝120°.]7．75°剖析由正弦定理得2＝6，∴sinA＝2sinAsin60°2.BC＝2<AC＝6，∴A為銳角．∴A＝45°.C＝75°.8.102剖析∵tanA＝1，A∈(0°，180°)，∴sinA＝10310.由正弦定理知BC＝AB，sinAsinC∴AB＝BCsinC＝1×sin150°10sinA10＝2.109．1剖析由正弦定理，得3＝1，2πsinBsin31∴sinB＝2.∵C為鈍角，π∴B必為銳角，∴B＝，6π∴A＝6.∴a＝b＝1.10．30°剖析∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosA，sin60＝°2sinA，化簡得：sinA＝33，∴A＝30°.3cosA，∴tanA＝3abc11．解∵sinA＝sinB＝sinC，22×2asinB22∴b＝2sin45°＝sin30＝1＝4.sinA°2C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，asinC22sin105°22sin75°∴c＝sinA＝sin30°＝1＝2＋23.212．解a＝23，b＝6，a<b，A＝30°<90°.又由于bsinA＝6sin30＝°3，a>bsinA，因此本題有兩解，由正弦定理得：sinB＝bsinA6sin30°3＝23＝，故B＝60°或120°.a2當B＝60°時，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；當B＝120°時，C＝30°，c＝a＝23.因此B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.π13.6剖析∵sinB＋cosB＝π2sin(＋B)＝2.4π∴sin(4＋B)＝1.π又0<B<π，∴B＝.42由正弦定理，得sinA＝asinB2×21＝2＝.b2π又a<b，∴A<B，∴A＝.614．解在銳角三角形ABC中，A，B，C<90°，B<90°，即2B<90°，∴30°<B<45°.180°－3B<90°，由正弦定理知：a＝sinA＝sin2B＝2cosB∈(2，3)，bsinBsinB故a的取值范圍是(2，3)．b正弦定理(二)課時目標1.熟記正弦定理的有關(guān)變形公式.2.能夠運用正弦定理進行簡單的推理與證明．a(chǎn)＝b＝c＝2R的常有變形：1．正弦定理：sinAsinBsinC(1)sinA∶sinB∶sinC＝________；a＝b＝c＝a＋b＋c＝______；(2)sinAsinBsinCsinA＋sinB＋sinC(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；(4)sinA＝________，sinB＝________，sinC＝____________.2．三角形面積公式：S＝__________＝____________＝______________.一、選擇題1．在△ABC中，sinA＝sinB，則△ABC是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形abcD．等腰三角形2．在△ABC中，若cosA＝cosB＝cosC，則△ABC是()A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形3，a＝10，則邊長c的取值范圍是()3．在△ABC中，sinA＝415，＋∞B．(10，＋∞)A.240C．(0,10)D.0，34．在△ABC中，a＝2bcosC，則這個三角形必然是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶66．已知三角形面積為1，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為()4A．1B．21C.2D．4二、填空題7．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝1，S△ABC＝43，則b＝________.38．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，則c＝________.ab2c9．在單位圓上有三點A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則sinA＋2sinB＋sinC________.a＋b＋c10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，則＝sinA＋sinB＋sinC________，c＝________.三、解答題a－ccosB＝sinB11．在△ABC中，求證：b－ccosAsinA.2212．在△ABC中，已知atanB＝btanA，試判斷△ABC的形狀．能力提升13．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(3＋1)∶2，則最大角為()A．45°B．60°C．75°D．90°Bπ14．在△ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，C＝4，cos2＝255，求△ABC的面積S.1．在△ABC中，有以下結(jié)論：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)A＋BCπ2＋＝；22(4)sinA＋B＝cosC，cosA＋B＝sinC，tanA＋B＝122222C.tan22．借助正弦定理能夠進行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明．1．1.1正弦定理(二)答案知識梳理1．(1)a∶b∶c(2)2R1bcsinA2casinB作業(yè)設(shè)計1．D2．B[由正弦定理知：

(3)2RsinA2RsinB2RsinC(4)abc112R2R2R2.absinC22sinA＝sinB＝sinC，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.]cosAcosBcosCc＝a＝40，∴c＝40403．D[∵sinCsinA33sinC．∴0<c≤3.]4．A[由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)＝2sinBcosC，sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，sin(B－C)＝0，∴B＝C.]5．B[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，b＋cc＋aa＋b∴4＝5＝6.令b＋c＝c＋a＝a＋b＝k(k>0)，4567a＝2kb＋c＝4k5則c＋a＝5k，解得b＝2k.a＋b＝6k3c＝2k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]6．A[設(shè)三角形外接圓半徑為21abcabc△4R42＝1，∴abc＝1.]47．23剖析∵cosC＝1，∴sinC＝22，∴1absinC＝43，∴b＝23.3328．2剖析由正弦定理a＝b，得3＝1，sinAsinBsin60°sinBsinB＝12，故B＝30°或150°.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.9．7剖析∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，∴a＝b＝c＝2R＝2，sinAsinBsinCa＋b＋2c＝2＋1＋4＝7.sinA2sinBsinC10．126剖析a＋b＋c＝a＝63＝12.sinA＋sinB＋sinCsinA3211S△ABC＝2absinC＝2×63×12sinC＝183，∴sinC＝1，∴c＝a＝12，∴c＝6.2sinCsinAabc11．證明由于在△ABC中，sinA＝sinB＝sinC＝2R，因此左邊＝2RsinA－2RsinCcosB＝B＋C－sinCcosB＝sinBcosC＝sinB＝右2RsinB－2RsinCcosAA＋C－sinCcosAsinAcosCsinA邊．因此等式建立，即a－ccosB＝sinBb－ccosAsinA.12．解設(shè)三角形外接圓半徑為22R，則atanB＝btanAa2sinB＝b2sinAcosBcosA4R2sin2AsinB4R2sin2BsinAcosB＝cosAsinAcosA＝sinBcosBsin2A＝sin2B2A＝2B或2A＋2B＝ππA＝B或A＋B＝2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．13．C[設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120°，∴sinC＝sin(120°－A)＝sin120cos°A－cos120sin°A＝3＋1＝3＋1＝3＋1，sinAsinAsinA2tanA2222tanA＝1，A＝45°，C＝75°.]2B－1＝3，14．解cosB＝2cos25故B為銳角，sinB＝4.53π72因此sinA＝sin(π－B－C)＝sin4－B＝10.由正弦定理得c＝asinC＝10，sinA7111048因此S△ABC＝acsinB＝×2××＝.22757余弦定理(一)課時目標1.熟記余弦定理及其推論.2.能夠初步運用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一邊的______等于其他兩邊的______的和減去這兩邊與它們的____的余弦的積的______．即a2＝______________，b2＝__________________，c2＝_______.2．余弦定理的推論cosA＝______________________；cosB＝______________________；cosC＝______.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，則C＝______；(2)若c2＝a2＋b2－ab，則C＝______；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，則C＝______.一、選擇題1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于()A.3B．3C.5D．52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，則△ABC的最小角為()ππA.3B.6ππC.4D.123．在△ABC中，已知a＝2，則bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．44．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosB等于()1322A.4B.4C.4D.32A＝c－b(a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則△ABC的形狀5．在△ABC中，sin22c為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形6．在△ABC中，已知面積S＝1(a2＋b2－c2)，則角C的度數(shù)為()4A．135°B．45°C．60°D．120°二、填空題7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，則A＝________.8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________.9．三角形三邊長為a，b，a2＋ab＋b2(a>0，b>0)，則最大角為________．π10．在△ABC中，BC＝1，B＝3，當△ABC的面積等于3時，tanC＝________.三、解答題11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，試求AC邊上的中線長．12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長；(3)求△ABC的面積．能力提升13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD為邊BC上的高，則AD的長是________．14．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．1．利用余弦定理能夠解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形．(2)已知三邊求三角形的任意一角．2．余弦定理與勾股定理余弦定理能夠看作是勾股定理的推行，勾股定理能夠看作是余弦定理的特例．1．1.2余弦定理(一)答案知識梳理1．平方平方夾角兩倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c22.2bc2ca2ab3．(1)90°(2)60°(3)135°作業(yè)設(shè)計1．A2222．B[∵a>b>c，∴C為最小角，由余弦定理cosC＝a＋b－c2ab＝72＋32－13232×7×43＝2.π∴C＝.]6222c2222a＋b－c＋a－b＝2a3．C[bcosC＋ccosB＝b·2ab＋c·2ac2a＝a＝2.]2222224．B[∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cosB＝a＋c－b＝a＋4a－2a＝3.]2ac2a·2a45．B[∵sin2A＝1－cosA＝c－b，∴cosA＝b＝b2＋c2－a2a2＋b2＝c2，222cc2bc吻合勾股定理．故△ABC為直角三角形．]6．B12221222222[∵S＝(a＋b－c)＝absinC，∴a＋b－c＝2absinC，∴c＝a＋b－2absinC.42由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.]7．120°8．30°剖析∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12，∴c＝23.由正弦定理a＝c1sinAsinC得，sinA＝.2a<c，∴A<60°，A＝30°.9．120°剖析易知：a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，設(shè)最大角為θ，則cosθ＝a2＋b2－a2＋ab＋b22＝－1，∴θ＝120°.2ab210．－231剖析S△ABC＝2acsinB＝3，c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝13，cosC＝a2＋b2－c2＝－1，sinC＝12，2ab1313∴tanC＝－12＝－23.2222222，設(shè)中線長為11．解由條件知：cosA＝AB＋AC－BC＝9＋8－7＝x，由余弦定2·AB·AC2×9×832AC22AC222理知：x＝2＋AB－2··ABcosA＝4＋9－2×4×9×＝49，23∴x＝7.因此所求中線長為7.112．解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－2，又∵C∈(0°，180°)，C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的兩根，a＋b＝23，∴ab＝2.AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，AB＝10.△＝132213.3剖析∵cosC＝BC2＋AC2－AB2＝2，2×BC×AC2sinC＝22.AD＝AC·sinC＝3.14．解由余弦定理知b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2cosA＝2bc，cosB＝2ac，cosC＝，2ab代入已知條件得b2＋c2－a2a2＋c2－b2c2－a2－b2a·2bc＋b·＋c·＝0，2ac2ab通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，張開整理得(a2－b2)2＝c4.a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.依照勾股定理知△ABC是直角三角形．余弦定理(二)課時目標1.熟練掌握正弦定理、余弦定理.2.會用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問題．1．正弦定理及其變形(1)a＝sinA

bsinB

＝

csinC

＝______.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)sinA＝______，sinB＝______，sinC＝____________________________________.(4)sinA∶sinB∶sinC＝________.2．余弦定理及其推論(1)a2＝________________.(2)cosA＝________________.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為________；c2>a2＋b2?C為________；c2<a2＋b2?C為________．3．在△ABC中，邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，則有：(1)A＋B＋C＝____，A＋B＝__________.2(2)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________.(3)sinA＋B＝________，cosA＋B＝__________.22一、選擇題1．已知a、b、c為△ABC的三邊長，若滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則∠C的大小為()A．60°B．90°C．120°D．150°2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀必然是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，則這個三角形的最小外角為()A．30°B．60°C．90°D．120°4．△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2b＝a＋c，則此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C＝120°，c＝2a，則()A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能夠確定6．若是將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長度確定二、填空題2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則邊c＝________.7．在△ABC中，邊a，b的長是方程x8．設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是________．9．已知△ABC的面積為23，BC＝5，A＝60°，則△ABC的周長是________．10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，則△ABC外接圓的面積是________．三、解答題a2－b211．在△ABC中，求證：A－B.c2＝sinC3→→12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊的長，cosB=,且AB·BC＝－21.5(1)求△ABC的面積；(2)若a＝7，求角C.能力提升13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是()πB．0<C<πA．0<C≤26ππππC.<C<D.<C≤62632314．△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知b＝ac且cosB＝.1＋1的值；4(1)求tanAtanC→→3(2)設(shè)BA·BC＝，求a＋c的值．21．解斜三角形的常有種類及解法在三角形的6個元素中要已知三個(最少有一邊)才能求解，常有種類及其解法見下表：已知條件應(yīng)用一般解法定理一邊和兩角正弦由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解(如a，B，C)定理時只有一解.兩邊和夾角余弦由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解時只有一解.(如a，b，C)定理三邊(a，b，c)

正弦定理余弦定理正弦

由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解時只有一解.定原因正弦定理求出角B；由兩邊和其中一邊的對余弦用正弦定理或余弦定理求角如(a，b，A)定理2.依照所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種路子(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理推行邊、角變換．

A＋B＋C＝180°，求出角C；再利c.可有兩解、一解或無解.1．1.2余弦定理(二)答案知識梳理abc1．(1)2R(2)2RsinA2RsinB2RsinC(3)2R2R2R22b2＋c2－a2(4)a∶b∶c2.(1)b＋c－2bccosA(2)2bc(3)直角鈍角銳角πC(2)sinC－cosC－tanC(3)cosCsinC3.(1)π－2222作業(yè)設(shè)計1．C[∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab，即a2＋b2－c2＝－1，2ab2cosC＝－1，∴∠C＝120°.]22．C[∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]3.B[∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不如設(shè)a＝3，b＝5，c＝7，C為最大內(nèi)角，22－721則cosC＝3＋5＝－.2×3×52C＝120°.∴最小外角為60°.]4．D[∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.]5．A[在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.]6．A[設(shè)直角三角形三邊長為a，b，c，且a2＋b2＝c2，則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x22(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所對的最大角變?yōu)殇J角．]7.19剖析由題意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，c＝19.8．2<a<8剖析∵2a－1>0，∴a>1，最大邊為2a＋1.2222∵三角形為鈍角三角形，∴a＋(2a－1)<(2a＋1)，a>2，∴2<a<8.9．12剖析11AB·AC·sin60＝°23，S△ABC＝AB·AC·sinA＝22AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosAAB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周長為12.13π10.3剖析133，S△ABC＝bcsinA＝4c＝2c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4cos60°＝13，∴a＝13.2R＝a＝13＝239，sinA332∴R＝39213π3.∴S外接圓＝πR＝3.sinAcosB－cosAsinB＝sinAsinB11．證明右邊＝sinCsinC·cosB－sinC·cosA222aa＋c－b＝·2acc

222222bb＋c－a＝a＋c－bb－·2bc2c2－c

22222＋c－aa－b＝左邊．2＝22cca2－b2A－B.因此2＝sinCc12.解→→→→＝21.（1）∵AB·BC＝－21，BA·BC→→→→BA·BC＝|BA||BC·|·cosB＝accosB＝21.ac＝35，∵cosB＝3，∴sinB＝4.55114∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.225(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝42.由正弦定理：c＝bsinCsinB.csinB＝54＝2∴sinC＝4×2.b25∵c<b且B為銳角，∴C必然是銳角．∴C＝45°.13．A[方法一(應(yīng)用正弦定理)∵AB＝BC，∴1＝2sinCsinAsinCsinAsinC＝12sinA，∵0<sinA≤1，1∴0<sinC≤2.AB<BC，∴C<A，∴C為銳角，π0<C≤6.方法二(應(yīng)用數(shù)形結(jié)合)以下列圖，以B為圓心，以1為半徑畫圓，則圓上除了直線BC上的點外，都可作為A點．從點C向圓B作切線，設(shè)切點為A1和πA2，當A與A1、A2重合時，角C最大，易知此時：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝6，π0<C≤6.]332714．解(1)由cosB＝4，得sinB＝1－4＝4.由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.11cosAcosCsinCcosA＋cosCsinA于是tanA＋tanC＝sinA＋sinC＝sinAsinC＝sinB＝1＝47＝27.sinBsinB→→33(2)由BA·BC＝得ca·cosB＝，22由cosB＝34，可得ca＝2，即b2＝2.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.

A＋C2sinB§1.2應(yīng)用舉例(一)課時目標1.認識數(shù)學建模的思想.2.利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關(guān)距離的問題．1．基線的定義：在測量上，我們依照測量需要合適確定的線段叫做基線．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．2．方向角：指從正北方向線按________方向旋轉(zhuǎn)到目標方向線所成的水平角．如圖中的A點的方向角為α.3．計算不能直接測量的兩點間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應(yīng)用之一．一、選擇題1．若點P在點Q的北偏西A．南偏西45°10′C．南偏東45°10′

45°10方′向上，則點Q在點P的()B．南偏西44°50′D．南偏東44°50′2．已知兩燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB.3akmC.2akmD．2akm3．海上有A、B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A．103nmile106B.3nmileC．52nmileD．56nmile4．以下列圖，設(shè)定一點C，測出兩點的距離為(

A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算A、B)A．502mB．503mC．252mD.252m25．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達N處，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A．20(6＋2)海里/小時B．20(6－2)海里/小時C．20(6＋3)海里/小時D．20(6－3)海里/小時6．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時，乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ敿?、乙兩船相距近來時，它們所航行的時間是()15015A.7分鐘B.7小時C．21.5分鐘D．2.15分鐘二、填空題7．如圖，A、B兩點間的距離為________．8．如圖，A、N兩點之間的距離為________．9．以下列圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為______．10．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km后，又測得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是________km.三、解答題11．如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為126nmile，在看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為83nmile，貨輪由A處向正北航行到D再看燈塔B在北偏東120°方向上，求：

A處處時，(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．12．如圖，為測量河對岸

A、B兩點的距離，在河的這邊測出

CD

的長為

32

km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B兩點間的距離．能力提升13．臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向搬動，離臺風中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的連續(xù)時間為(A．0.5小時B．1小時C．1.5小時D．2小時

)14．以下列圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距102海里．問乙船每小時航行多少海里？1．解三角形應(yīng)用問題的基本思路是：畫圖解三角形檢驗實責問題――→數(shù)學問題――→數(shù)學問題的解――→實責問題的解．2．測量距離問題：這類問題的情境一般屬于“測量有阻擋物相隔的兩點間的距離”．在測量過程中，要依照實質(zhì)需要采用合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度．§1.2應(yīng)用舉例(一)答案知識梳理2．順時針作業(yè)設(shè)計1．C2．B[∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理得AB＝3a.]BC＝AB3．D[在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：sinAsinB∴BC＝10解得BC＝56.]sin60°sin45°4．AAC＝AB，[由題意知∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACBsin∠ABC2AB＝AC·sin∠ACB＝50×2＝502(m)．]sin∠ABC125．B[由題意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得MN＝MSsin30°sin105.°∴MN＝MSsin30°10＝10(6－2)．sin105＝6＋2°4則v貨＝20(6－2)海里/小時．]6．A[設(shè)行駛x小時后甲到點C，乙到點D，兩船相距ykm，則∠DBC＝180°－60°＝120°.y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋10025x－52－25＝28(x－x)＋100＝2814＋10077∴當x＝515014(小時)＝7(分鐘)時，y2有最小值．∴y最?。甝7．32－28．4039．60m剖析在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.AC＝AB＝120m.作CD⊥AB，垂足為D，則CD即為河的寬度．由正弦定理得AC＝CD，sin∠ADCsin∠CAD120＝CD，sin90°sin30°CD＝60(m)∴河的寬度為60m.10.

36剖析如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得，BC＝AB，sin∠CABsin∠ACB∴BC＝1·sin15＝°6－2(km)．sin6023°設(shè)C到直線AB的距離為d，則d＝BC·sin75＝°6－26＋2(km)．23·4＝3611．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝ABsinBsin∠ADB2126×2＝24(nmile)．32在△ADC中，由余弦定理得，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，解得CD＝83≈14(nmile)．即A處與D處的距離為24nmile，燈塔C與D處的距離約為14nmile.12．解在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，BCCD由正弦定理得＝，則BC＝CDsin30°6sin45＝(km)．°4在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD為正三角形．3∴AC＝CD＝2(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB22＋BC236－2×3623＝AC－2AC·BC·cos45°＝＋162×4×＝，428∴AB＝64(km)．答河對岸A、B兩點間距離為64km.13．B[設(shè)t小時時，B市恰好處于危險區(qū)，則由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40·cos45°＝302.化簡得：4t2－82t＋7＝0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝7.4從而|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝1.]14．解以下列圖，連接A1B2，由已知A2B2＝102，20A1A2＝302×＝102，60A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等邊三角形，A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45＝°202＋(102)2－2×20×102×2＝200.2∴B1B2＝102.因此，乙船速度的大小為10220×60＝302(海里/小時)．答乙船每小時航行302海里．§1.2應(yīng)用舉例(二)課時目標1.利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關(guān)高度的問題理及三角形面積公式解決三角形中的幾何胸襟問題．

.2.利用正、余弦定1．仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平線____方時叫仰角，目標視線在水平線____方時叫俯角．(以下列圖)2．已知△ABC的兩邊a、b及其夾角C，則△ABC的面積為________．一、選擇題1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為()A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90°2．設(shè)甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是()40A．203m，33mB．103m,203mC．10(3－2)m,203m20D.23m，33m3．如圖，為測一樹的高度，在地面上采用A、B兩點，從A、B兩點分別測得望樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為()A．30＋303mB．30＋153mC．15＋303mD．15＋33m4．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時兩船間的距離為()A．2h米B.2h米C.3h米D．22h米5．在某個地址測得某山岳仰角為θ，對著山岳在平行地面上前進600m后測仰角為原來的2倍，連續(xù)在平行地面上前進2003m后，測得山岳的仰角為原來的4倍，則該山岳的高度是()A．200mB．300mC．400mD．1003m6．平行四邊形中，AC＝65，BD＝17，周長為18，則平行四邊形面積是()A．16B．17.5C．18D．18.53二、填空題7．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的3倍，則甲船應(yīng)取方向__________才能追上乙船；追上時甲船行駛了________海里．8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面積為103，則其周長為________．9．已知等腰三角形的底邊長為6，一腰長為12，則它的內(nèi)切圓面積為________．10．某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°，距離為10nmile的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9nmile的速度向一小島湊近，艦艇時速21nmile，則艦艇到達漁船的最短時間是______小時．三、解答題11．以下列圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.12．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．能力提升13．以下列圖，為認識某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測得水深AD＝80m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．14．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連成30°角，求兩條船之間的距離．1．測量底部不能到達的建筑物的高度問題．由于底部不能到達，這類問題不能夠直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達的點之間的距離，爾后轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切蔚膯栴}．2．測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依照需要求出所求的角．§1.2應(yīng)用舉例(二)答案知識梳理11．上下2.2absinC作業(yè)設(shè)計1．B2．A[h甲＝20tan60＝°203(m)．h乙＝20tan60403(m)．]－°20tan30＝°3160×＝303．A[在△PAB中，由正弦定理可得60＝PB，PB＝2，－sin30°sin15°sin15°h＝PBsin45＝°(30＋303)m.]A[以下列圖，BC＝3h，AC＝h，AB＝3h2＋h2＝2h.]5．B[以下列圖，600·sin2θ＝2003·sin4θ，cos2θ＝23，∴θ＝15°，∴h＝2003·sin4θ＝300(m)．]6．A[設(shè)兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，則a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝3或a＝4，b＝5，cosα＝3，55SABCD＝absinα＝16.]7．北偏東30°3a剖析以下列圖，設(shè)到C點甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，則BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，由正弦定理知BC＝AC，sin∠CABsinB∴1＝3，sin∠CABsin120°sin∠CAB＝1，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，2BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·－1＝3a2，∴AC＝3a.28．20剖析設(shè)AB＝8k，AC＝5k，k>0，則S＝1AB·AC·sinA＝103k2＝103.2∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：222·AC·cosA＝82＋521BC＝AB＋AC－2AB－2×8×5×＝49.2BC＝7，∴周長為AB＋BC＋CA＝20.27π9.5剖析不如設(shè)三角形三邊為a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：222222＝7，cosA＝b＋c－a＝12＋12－62bc2×12×128sinA＝1－72＝15.88由1(a＋b＋c)·r＝1bcsinA得r＝315.225內(nèi)切圓227π∴S＝πr＝5.210.3剖析設(shè)艦艇和漁船在B處相遇，則在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，設(shè)艦艇到達漁船的最短時間為t，則AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，則(21t)2＝(9t)2＋100－2或t＝－52×10×9tcos120，°解得t＝312(舍)．11．解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.依照正弦定理得：AC＝BC，sin∠ABCsin∠BAC即AC＝BC，－αα－β∴AC＝BCcosα＝hcosαα－βα－β.hcosαsinβ在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝α－β.hcosαsinβ即山高CD為α－β.12．解連接BD，則四邊形面積11S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC.22A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.1S＝2(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，20－16cosA＝52－48cosC.1又cosC＝－cosA，∴cosA＝－2.∴A＝120°.∴四邊形ABCD的面積S＝16sinA＝83.13．解作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)，EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理的變形公式，得DE2＋EF2－DF2＝1302＋1502－102×298＝16cos∠DEF＝2DE·EF2×130×15065.即∠DEF的余弦值為1665.14．解以下列圖：CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，30BD＝＝303.tan30°在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，CD＝30，即兩船相距30m.復習課解三角形課時目標1.掌握正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡單的三角形胸襟問題．2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實責問題．一、選擇題1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，則B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對2．在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.－1，0D.1，＋∞224．以下列圖，D、C、B三點在地面同素來線上，DC＝a，從C、D兩點測得A點的仰角分別是β、α(β<α)．則A點離地面的高AB等于()A.asinαsinβB.asinαsinβα－βα－βC.asinαcosβD.acosαcosβα－βα－β5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面積為2203，那么BC的長度為()A．25B．51C．493D．496．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，則A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°二、填空題5x2－7x－6＝0的根，則7．三角形兩條邊長分別為3cm,5cm，其夾角的余弦值是方程此三角形的面積是2________cm.8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，