工學(xué)《信號與系統(tǒng)》-第九章-拉普拉斯變換課件

第9章拉普拉斯變換12/2/2022196第9章拉普拉斯變換11/30/20221964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉普拉斯變換；2.雙邊拉普拉斯變換的收斂域；6.單邊拉普拉斯變換；3.零極點圖；12/2/20222964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉9.0引言

傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例和為基底分解信號的。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也理應(yīng)能以此為基底對信號進行分解。

傅里葉分析方法之所以在信號與LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因為相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。12/2/20223969.0引言傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例

通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與Ｚ變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。

將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。12/2/2022496通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多9.1拉普拉斯變換

復(fù)指數(shù)信號是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，則系統(tǒng)對產(chǎn)生的響應(yīng)是:，其中顯然當(dāng)時，就是連續(xù)時間傅里葉變換。TheLaplaceTransform12/2/20225969.1拉普拉斯變換復(fù)指數(shù)信號是一切LT一.雙邊拉氏變換的定義：稱為的雙邊拉氏變換，其中。若，則有:

這就是的傅里葉變換。表明：連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在或是在軸上的特例。12/2/2022696一.雙邊拉氏變換的定義：稱為的雙邊拉氏變換，其中由于

所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。12/2/2022796由于所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的11/30例1.在時，積分收斂。當(dāng)時，的傅里葉變換存在顯然，在時，拉氏變換收斂的區(qū)域為，包括了（即軸）。12/2/2022896例1.在時，積分收斂。當(dāng)時，比較和，顯然有當(dāng)時，可知例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。12/2/2022996比較和，顯然有當(dāng)時，可知例由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是S平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對拉氏變換是非常重要的概念。12/2/20221096由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂3.

不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。5.如果拉氏變換的ROC包含軸，則有4.只有拉氏變換的表達式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系。12/2/202211963.不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的二.拉氏變換的ROC及零極點圖：例3.12/2/20221296二.拉氏變換的ROC及零極點圖：例3.11/30/2022可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對應(yīng)的。若是有理函數(shù)12/2/20221396可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平

分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。

將的全部零點和極點表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個，最多與真實的相差一個常數(shù)因子。因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法。12/2/20221496分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。將9.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms4.右邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線的右邊。3.時限信號的ROC是整個S平面。2.在ROC內(nèi)無任何極點。1.ROC是S平面上平行于軸的帶形區(qū)域。12/2/202215969.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：The若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號,,在ROC內(nèi)，則有絕對可積，即：12/2/20221696若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右5.左邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線的左邊。

若是左邊信號，定義于,在ROC內(nèi)，，則表明也在收斂域內(nèi)。12/2/202217965.左邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直6.雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。例1.其它12/2/202218966.雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于考查零點，令例2.有極點

顯然在也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個S平面上無極點。得（k為整數(shù)）12/2/20221996考查零點，令例2.有極點顯然在也有當(dāng)時，上述ROC有公共部分，當(dāng)時，上述ROC無公共部分，表明不存在。12/2/20222096當(dāng)時，上述ROC有公共部分，當(dāng)

當(dāng)是有理函數(shù)時，其ROC總是由的極點分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：3.雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區(qū)域。2.左邊信號的ROC一定位于

最左邊極點的左邊。1.右邊信號的ROC一定位于

最右邊極點的右邊。12/2/20222196當(dāng)是有理函數(shù)時，其ROC總是由例3.可以形成三種ROC：ROC：ROC：ROC：此時是右邊信號。此時是左邊信號。此時是雙邊信號。12/2/20222296例3.可以形成三種ROC：此時是右邊信號。此TheUnilateralLaplaceTransform

單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。一.定義:

如果是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。9.3單邊拉普拉斯變換12/2/20222396TheUnilateralLaplaceTran

單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定位于最右邊極點的右邊。

正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不再強調(diào)其ROC。單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。12/2/20222496單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號第9章拉普拉斯變換12/2/20222596第9章拉普拉斯變換11/30/20221964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉普拉斯變換；2.雙邊拉普拉斯變換的收斂域；6.單邊拉普拉斯變換；3.零極點圖；12/2/202226964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉9.0引言

傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例和為基底分解信號的。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也理應(yīng)能以此為基底對信號進行分解。

傅里葉分析方法之所以在信號與LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因為相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。12/2/202227969.0引言傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例

通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與Ｚ變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。

將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。12/2/20222896通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多9.1拉普拉斯變換

復(fù)指數(shù)信號是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，則系統(tǒng)對產(chǎn)生的響應(yīng)是:，其中顯然當(dāng)時，就是連續(xù)時間傅里葉變換。TheLaplaceTransform12/2/202229969.1拉普拉斯變換復(fù)指數(shù)信號是一切LT一.雙邊拉氏變換的定義：稱為的雙邊拉氏變換，其中。若，則有:

這就是的傅里葉變換。表明：連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在或是在軸上的特例。12/2/20223096一.雙邊拉氏變換的定義：稱為的雙邊拉氏變換，其中由于

所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。12/2/20223196由于所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的11/30例1.在時，積分收斂。當(dāng)時，的傅里葉變換存在顯然，在時，拉氏變換收斂的區(qū)域為，包括了（即軸）。12/2/20223296例1.在時，積分收斂。當(dāng)時，比較和，顯然有當(dāng)時，可知例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。12/2/20223396比較和，顯然有當(dāng)時，可知例由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是S平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對拉氏變換是非常重要的概念。12/2/20223496由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂3.

不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。5.如果拉氏變換的ROC包含軸，則有4.只有拉氏變換的表達式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系。12/2/202235963.不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的二.拉氏變換的ROC及零極點圖：例3.12/2/20223696二.拉氏變換的ROC及零極點圖：例3.11/30/2022可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對應(yīng)的。若是有理函數(shù)12/2/20223796可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平

分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。

將的全部零點和極點表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個，最多與真實的相差一個常數(shù)因子。因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法。12/2/20223896分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。將9.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms4.右邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線的右邊。3.時限信號的ROC是整個S平面。2.在ROC內(nèi)無任何極點。1.ROC是S平面上平行于軸的帶形區(qū)域。12/2/202239969.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：The若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號,,在ROC內(nèi)，則有絕對可積，即：12/2/20224096若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右5.左邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線的左邊。

若是左邊信號，定義于,在ROC內(nèi)，，則表明也在收斂域內(nèi)。12/2/202241965.左邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直6.雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。例1.其它12/2/202242966.雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于考查零點，令例2.有極點

顯然在也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個S平面上無極點。得（k為整數(shù)）12/2/20224396考查零點，令例2.有極點顯然在也有當(dāng)時，上述ROC有公共部分，當(dāng)時，上述ROC無公共部分，表明不存在。12/2/20224496當(dāng)時，