測量誤差與不確定度課件

第一章

測量誤差與實驗不確定度第一章

測量誤差與實驗不確定度1

第一節(jié)測量和測量誤差

一、測量及其分類

1測量在一定條件下使用具有計量標準單位的計量儀器對被測物理量進行比較，從而確定被測量的數(shù)值和單位。

2測量分類

1)直接測量與間接測量2)等精度測量與不等精度測量

3)單次測量與重復測量第一節(jié)測量和測量誤差一、測量及其分類2

直接測量直接測量:使用儀器或量具，直接測得被測量的量值的測量。由直接測量所得的物理量，稱為直接測量量。直接測量直接測量:3

間接測量

間接測量:通過直接測量量，再根據(jù)某一函數(shù)關系把待測量計算出來的測量。

間接測量間接測量:4間接測量用單擺測量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺直接測得單擺的擺長l和用秒表直接測得周期T，再通過單擺公式：g=（42l）/T2把重力加速度g計算出來。

l和T

是直接測量量，g稱為間接測量量。lT間接測量用單擺測量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺5

等精度、不等精度測量等精度測量:對同一類物理量的測量都是在相同條件（包括測量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下進行的測量。不等精度測量:不滿足上述條件的測量。

等精度、不等精度測量等精度測量:6重復測量與單次測量重復測量：在相同條件（包括測量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下對同一狀態(tài)的物理量進行的多次測量。當實際情況不能滿足重復測量所要求的條件或不需要多次重復測量（例如每次重復測量示值都完全一致）時，才采取單次測量的處理方式。重復測量與單次測量重復測量：7

二、測量誤差及其分類（一）誤差的定義

被測量的物理量在特定條件下客觀存在的真實量值稱為該物理量的真值，記作X0。

測量值X和真值X0的差定義為測量誤差，記為ΔX

即：

ΔX

=X–X0

它反映了測量值偏離真值的大小和方向。

（二）誤差的分類測量誤差與不確定度課件8

1系統(tǒng)誤差

1）系統(tǒng)誤差由于實驗系統(tǒng)的原因，在測量過程中造成的誤差。

2）誤差來源儀器誤差、環(huán)境誤差、理論(方法)誤差、個人習慣誤差。3）誤差特點誤差的大小和符號總是保持恒定，或按一定規(guī)律以可約定的方式變化。4）誤差消除方法找出原因，在實驗前或實驗后加以修正。1系統(tǒng)誤差1）系統(tǒng)誤差9系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差如電表的零點誤差修正：接入電路前，先調(diào)機械零點。電表指針不在零點機械零點調(diào)節(jié)螺釘系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差電表指針不在零點機械零點調(diào)節(jié)螺釘10操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左11操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確122隨機誤差（偶然誤差）1）隨機誤差由某些偶然的或不確定的因素，在測量過程中造成的誤差。2）誤差來源環(huán)境和實驗條件的無規(guī)則變化。3）誤差特點誤差的量值和符號以不可約定的方式變化著，對每次測量值來說，其變化是無規(guī)則的，但對大量測量值，其變化則服從確定的統(tǒng)計分布（正態(tài)分布）規(guī)律。2隨機誤差（偶然誤差）1）隨機誤差13隨機誤差服從的正態(tài)分布特點xP-3σ

-2σ

–σ0σ

2σ3σ隨機誤差服從的正態(tài)分布特點xP-3σ-2σ–σ14隨機誤差正態(tài)分布的特點

*單峰性

絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

*對稱性

絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率大致相等。

*有界性

絕對值非常大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。

*抵償性誤差算術平均值隨測量次數(shù)增加而趨于零。測量誤差與不確定度課件15

標準誤差：標準誤差的統(tǒng)計意義系統(tǒng)誤差已消除的條件下，重復測量次數(shù)n足夠大時，任一次測量隨機誤差的絕對值小于σ的概率為68.3%，小于2σ的概率為95.4%，小于3σ的概率為99.7%標準誤差可描述偶然誤差的可能范圍與可信程度！式中：μ是測量列和算術平均值標準誤差的統(tǒng)計意義標準誤差可描述偶然誤差的164)減小隨機誤差的方法

A)增加重復測量次數(shù)一般重復5～10次即可。測量值波動范圍越大，則需重復次數(shù)越多。

B)以標準偏差代替標準誤差來評估隨機誤差的范圍與可信度。

C)用測量平均值作為測量結果的最佳估計值。4)減小隨機誤差的方法A)增加重復測量次數(shù)17

3粗大誤差（過失誤差）

1)粗大誤差

測量值明顯偏離正常值的異常誤差。2)誤差來源儀器使用方法錯誤、粗心大意、記錄出錯等。3)誤差消除方法用3σ準則（萊特準則）鑒別并剔除。當測量次數(shù)較多時，若某測量值與算術平均值的偏差絕對值大于3倍標準偏差時，可認為該值是壞值而剔除。3粗大誤差（過失誤差）1)粗大誤差18一、測量結果的表達方式

測量的目的是要獲得被測物理量的真值！由于測量誤差不可避免，真值也就無法確定，也無法確定誤差的大小。只能通過科學的方法確定的最佳估計值及其不確定度，把測量結果表達為：

物理量最佳估計值不確定度第二節(jié)不確定度及其概念一、測量結果的表達方式測量的目的是要獲得19

測量結果

的含義

表示真值以一定的概率存在于范圍內(nèi)；

同一項測量結果對應不同的置信概率要求，不確定度Δ的估算值也不同，通常要求的概率值越高，對應的Δ值越大。

Δ值通常只保留最大一位非零數(shù)，尾數(shù)一般只進不舍，例如計算結果是0.051，保留結果是0.06。

保留的末位數(shù)與Δ的非零數(shù)位同數(shù)量級，例：

L=3.566±0.007(mm)測量結果的含義

20二、不確定度基本概念1不確定度不確定度是表征測量結果具有離散性的一個參數(shù)。2不確定度分類根據(jù)估算方法將不確定度分量分為兩類：

A類不確定度用統(tǒng)計方法估算的分量，記為ΔA。

B類不確定度用其他方法估算的分量，記為ΔB。二、不確定度基本概念1不確定度21

3總不確定度總不確定度Δ是以上兩類所有分量的合成。若各ΔAi、ΔBi相互獨立，并具有相同置信概率，則測量誤差與不確定度課件22

第三節(jié)B類不確定度估算

一儀器誤差(限)

正確使用儀器時，儀器的示值與被測量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對值被稱為儀器誤差(限)，用

Δ儀表示。

Δ儀的含義：在正常使用下儀器示值的最大可能誤差，置信概率通常為95%～99%。第三節(jié)B類不確定度估算一儀器誤差(限)23常用物理實驗儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級)Δ儀鋼尺300mm1mm0.5mm(最小分度的1/2)螺旋測微計20mm0.005mm最小分度的1/2游標卡尺150mm0.02mm（50分度）0.02mm機械表12h1s最小分度值水銀溫度計100℃1℃最小分度值磁電式電表NmKA·K·%常用物理實驗儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級)Δ儀24

二

B類不確定度的估算評定△

B需結合誤差分布規(guī)律、參照標準、估算誤差限等因素，故△

B有多項分量，評定方法也有多種。常用評定方法有：根據(jù)測量條件估算誤差限；根據(jù)理論公式或實驗推算誤差限；根據(jù)儀器誤差限評定△

B。我們約定：在大學物理實驗中，近似使用儀器誤差限來確定△

B。即:

ΔB≈Δ儀二B類不確定度的估算25例題1

數(shù)字萬用表誤差限，Δ儀=讀數(shù)×A%+N，其中:A為精度等級，N為顯示末位上的字數(shù)。某萬用表20kΩ量程的電阻檔A

=0.8，N

=0.03，用該檔測量某電阻，讀數(shù)為5.36kΩ，這次測量結果是多少？

解：

Δ=Δ儀=5.36×0.8%+0.03=0.073

(kΩ)

測量結果表示為：R=5.36±0.08（kΩ）測量誤差與不確定度課件26

例題2

檢定一塊1.5級，10mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在5mA處它的誤差最大，為0.13mA，而在其它刻度處，誤差均小于0.13mA，試問，這塊電表是否合格？

解：該級別的電流表儀器誤差限為：

Δ儀=10（mA）×1.5%=0.15（mA）該電流表在所有刻度上，最大誤差為0.13mA，均小于儀器誤差，故這塊電表是合格產(chǎn)品。

27一單次直接測量的不確定度

實際情況不允許重復測量或不需要多次測量時，可采取單次測量的方式。若單次測量的主要誤差來源是儀器誤差時，以儀器誤差限Δ儀作為單次測量不確定度。

Δ=Δ儀

注意：這是一種很粗略很近似的估算。

第四節(jié)直接測量結果與不確定度的估算一單次直接測量的不確定度第四節(jié)直接測量結果與不確28二多次測量時隨機誤差的統(tǒng)計估計1、用算術平均值作為待測量X的最佳估計值設對某物理量X進行n次等精度測量，得一列測量值：

x1、x2、xn，這一列測量值的算術平均值為：二多次測量時隨機誤差的統(tǒng)計估計1、用算術平均值作為待測量X29

2.多次測量時隨機誤差的統(tǒng)計估計

1）先計算殘差（偏差）：

2）計算標準差（標準偏差）：

3）計算算術平均值的標準差：測量誤差與不確定度課件30*3.異常數(shù)據(jù)的剔除

1）萊特準則（3σ準則）

若第k次測量值xk滿足條件：

|xk-|＞3σ

則可判斷xk

是壞值。2）萊特準則的適用范圍萊特準則以測量次數(shù)較多（大樣本）為前提，一般適合于測量值呈正態(tài)分布（即高斯分布）的情況。

測量誤差與不確定度課件31例題3

（P18例1.4.1）對某物理量進行了15次等精度的測量，測量值如表所示。設這些測量值已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤差，試判斷在下列測量值中是否含有壞值？解:

由測量數(shù)據(jù)計算算術平均值:測量誤差與不確定度課件32

由測量數(shù)據(jù)和算術平均值，可以計算出標準差：由標準差計算出3σ：

3σ=3×0.033=0.099第八測量值的殘差：

由萊特準則知：第八測量值是一個壞值，應預以剔除。

由測量數(shù)據(jù)和算術平均值，可以計算出標準差：33對剩余的14個數(shù)據(jù)重新計算：新的算術平均值（剔除了第八測量值）為：新的標準差為：

測量誤差與不確定度課件34

新的標準差計算出3σ’：

3σ’=3×0.016=0.048再檢查各測量值的殘差，沒有再出現(xiàn)|xk–|＞3σ的情況，可認為，剩余數(shù)據(jù)中，沒有壞值存在。測量誤差與不確定度課件354.多次測量時A類不確定度的估算

重復測量次數(shù)為5～10次，置信概率在95%左右時，A類不確定度ΔA可按下式近似估算。

σ叫標準偏差(或簡稱標準差)計算標準偏差的公式叫貝塞爾公式.測量誤差與不確定度課件36

5多次測量的合成不確定度

在大學物理實驗中，當測量次數(shù)5≤n≤10時，合成不確定度可這樣近似計算:

A類分量:ΔA≈σ

，置信概率95%；B類分量:ΔB≈Δ儀，置信概率95%；測量結果的合成不確定度為:5多次測量的合成不確定度在大學物理實驗中37

例題4

用游標卡尺對某物體長度進行等精度測量10次，測量數(shù)據(jù)如下表，設儀器誤差限為0.02mm。求不確定度并表示測量結果。

解:

1求出算平均值:

1234567891083.5483.5883.5283.5683.6083.6483.5483.5683.5883.501234567891083.5483.5883.5283.538

2求出標準偏差

利用科學計算器統(tǒng)計功能可快速得到上述結果！3計算合成不確定度取ΔB≈

Δ儀4測量結果為：X=83.56±0.05(mm)（P=0.95）測量誤差與不確定度課件39

第五節(jié)間接測量結果與不確定度的估算

一間接測量值的算術平均值

設間接測量量N是直接測量量x，y，z的函數(shù)，即：

各直接測量量的測量結果為：第五節(jié)間接測量結果與不確定度的估算一間接測量值的算術40間接測量量N

的算術平均值為:

例題5

測量出金屬圓環(huán)的外直徑D2=（3.600±0.004）cm；內(nèi)直徑D1=（2.880±0.004）cm；高度h=（2.575±0.004）cm；試求出這個金屬圓環(huán)體積V的平均值？

測量誤差與不確定度課件41

解：計算金屬圓環(huán)體積V的函數(shù)表達式為：則金屬圓環(huán)體積V平均值的函數(shù)表達式為：代入各直接測量量的平均值，可得圓環(huán)體積算術平均值：

測量誤差與不確定度課件42二間接測量量的不確定度的合成如前述:各直接測量量表示為：每個直接測量量的誤差都會傳遞給N,若各直接測量量完全獨立，則ΔN對應每個直接測量誤差來源都對應有一個獨立分量，分別記為ΔNx，ΔNy，ΔNz。二間接測量量的不確定度的合成如前述:各直接測量43其中ΔNx∝Δx，比例系數(shù)是函數(shù)f(x,y,z)

對自變量x的偏導數(shù)，即:測量誤差與不確定度課件44

則間接測量量N的不確定度可以用下式合成：

稱為不確定度傳遞系數(shù)，它反映了各直接測量量的不確定度對間接測量量不確定度的貢獻（權重）。

測量誤差與不確定度課件45常用函數(shù)不確定度合成計算公式（一）測量誤差與不確定度課件46常用函數(shù)不確定度合成計算公式（二）測量誤差與不確定度課件47例題6

用單擺測量重力加速度。已知擺長和周期的測量結果分別為：試求重力加速度的測量結果。

解：重力加速度的函數(shù)表達式為測量誤差與不確定度課件48

則重力加速度的平均值為：先求重力加速度相對不確定度測量誤差與不確定度課件49

重力加速度的合成不確定度為重力加速度的測量結果為測量誤差與不確定度課件50

實驗中得到的測量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾數(shù)不能任意取舍，應反映出測量的準確度。

一有效數(shù)字的概念

1有效數(shù)字的定義在測量結果中，所有可靠數(shù)字再加上末位的存疑數(shù)字，統(tǒng)稱為測量結果的有效數(shù)字。有效數(shù)字中所有位數(shù)的個數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。

第六節(jié)有效數(shù)字與近似計算實驗中得到的測量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾51

2、有效數(shù)字的讀取規(guī)則

1）記錄測量儀器的精度、級別、最小分度值（最小刻度值）；

2）估計測量儀器的儀器誤差限；

3）記錄有效數(shù)字時要記錄到誤差所在位。

52

例題7

用300mm長的毫米分度鋼尺測量長度，應如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？

解：該鋼尺最小分度值為1mm，儀器誤差限取最小分度值的一半，即

正確記錄數(shù)據(jù)方法是：1）確切讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)；2）應估讀一位，即讀到0.1mm位。

如22.5mm。測量誤差與不確定度課件53

例題8伏安法測量電壓和電流值。若使用量程分別為10V和10mA的0.5級的電壓表和電流表，應如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？解：由儀器誤差限計算公式（表1-3-1），可得：因此讀取并記錄電壓和電流的有效數(shù)字時，應分別記錄到0.01V和0.01mA位。

如：1.00V；2.00mA。測量誤差與不確定度課件54也有些儀器儀表一般不進行估讀或不可能估讀。例如：數(shù)字顯示儀表，只能讀出其顯示器上所記錄的數(shù)字。當該儀表對某穩(wěn)定的輸入信號表現(xiàn)出不穩(wěn)定的末位顯示時，表明該儀表的不確定度可能大于末位顯示的1，此時可記錄一段時間間隔內(nèi)的平均值。

測量誤差與不確定度課件55

3、有效數(shù)字在實際測量中的應用

1）有效數(shù)字的位數(shù)與儀器精度（最小分度值）有關

2）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關。

3）關于“0”的處理數(shù)值中間和末尾的“0”均為有效數(shù)字，如：50.07，2.400。數(shù)值前的“0”不屬有效數(shù)字。如：0.012

56

4）科學記數(shù)法對數(shù)量級很大或較小的測量值，使用科學記數(shù)法，寫成的冪次形式，其中：a為1～9之間的實數(shù)，n為任意整數(shù)。例如地球半徑是6371km，用科學記數(shù)法表示為

6.371106m。氦－氖激光波長為632.8nm，用科學記數(shù)法表示為6.32810－7m。測量誤差與不確定度課件575)尾數(shù)舍入規(guī)則(數(shù)字的截尾規(guī)則)為了使運算過程簡單或準確地表示有效數(shù)字，需要對不應保留的尾數(shù)進行舍入。舍入規(guī)則是“四舍六入五湊偶”即：小于五舍去，大于五進位，等于五時則把尾數(shù)湊成偶數(shù)。

測量誤差與不確定度課件58

例如:對以下數(shù)據(jù)保留4位有效位數(shù)字1.04346→1.0431.04368→1.0445.76453→5.764（舍5不進位）5.76153→5.762（舍5進位）

測量誤差與不確定度課件59二有效數(shù)字的運算規(guī)則

1有效數(shù)字運算的基本原則

1）準確數(shù)與準確數(shù)運算，結果為準確數(shù)。2）可疑數(shù)與任何數(shù)運算，結果為可疑數(shù)。3）運算過程中可保留2位可疑數(shù)，最終結果一般只保留1位可疑數(shù)。測量誤差與不確定度課件602有效數(shù)字運算規(guī)則1）加減法運算

13.5＋1.625＝15.125，結果取15.171.3－0.753＝70.547，結果取70.52）乘除法運算

23.12.2＝50.82，結果取51

3725.8÷136＝27.4

測量誤差與不確定度課件613)乘方、開方：一般與底的位數(shù)相同7652＝5.85105

4)函數(shù)運算(簡算法)三角函數(shù)、對數(shù)，由有效數(shù)字的位數(shù)確定

Sin30012’=0.50304)函數(shù)運算(簡算法)62

3測量結果的有效數(shù)字

不確定度的有效數(shù)字：一般只取一位有效數(shù)字，余數(shù)“只進不舍”。間接測量結果的有效數(shù)字：測量結果的有效位數(shù)的末位，要與不確定度所在的位對齊，舍去其它多余的存疑數(shù)字。

63

例題9

用單擺測量重力加速度g。直接測量值為：周期T＝2.0090.002（s），擺長L＝1.0000.001（m），試計算不確定度并表示測量結果。

解：重力加速度計算公式g=（42L）/T2，

重力加速度g的算術平均值:=(43.1421.000)/2.0092=9.771

64

計算g的相對不確定度計算g的不確定度測量誤差與不確定度課件65

只取一位有效數(shù)字，“只進不舍”，

Δg＝0.03注意：測量結果值的有效位數(shù)的末位，與不確定度所在的位對齊。

重力加速度測量結果表示為：g＝9.770.03（m/s2)測量誤差與不確定度課件66第一章

測量誤差與實驗不確定度第一章

測量誤差與實驗不確定度67

第一節(jié)測量和測量誤差

一、測量及其分類

1測量在一定條件下使用具有計量標準單位的計量儀器對被測物理量進行比較，從而確定被測量的數(shù)值和單位。

2測量分類

1)直接測量與間接測量2)等精度測量與不等精度測量

3)單次測量與重復測量第一節(jié)測量和測量誤差一、測量及其分類68

直接測量直接測量:使用儀器或量具，直接測得被測量的量值的測量。由直接測量所得的物理量，稱為直接測量量。直接測量直接測量:69

間接測量

間接測量:通過直接測量量，再根據(jù)某一函數(shù)關系把待測量計算出來的測量。

間接測量間接測量:70間接測量用單擺測量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺直接測得單擺的擺長l和用秒表直接測得周期T，再通過單擺公式：g=（42l）/T2把重力加速度g計算出來。

l和T

是直接測量量，g稱為間接測量量。lT間接測量用單擺測量某地的重力加速度g，是根據(jù)用米尺71

等精度、不等精度測量等精度測量:對同一類物理量的測量都是在相同條件（包括測量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下進行的測量。不等精度測量:不滿足上述條件的測量。

等精度、不等精度測量等精度測量:72重復測量與單次測量重復測量：在相同條件（包括測量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下對同一狀態(tài)的物理量進行的多次測量。當實際情況不能滿足重復測量所要求的條件或不需要多次重復測量（例如每次重復測量示值都完全一致）時，才采取單次測量的處理方式。重復測量與單次測量重復測量：73

二、測量誤差及其分類（一）誤差的定義

被測量的物理量在特定條件下客觀存在的真實量值稱為該物理量的真值，記作X0。

測量值X和真值X0的差定義為測量誤差，記為ΔX

即：

ΔX

=X–X0

它反映了測量值偏離真值的大小和方向。

（二）誤差的分類測量誤差與不確定度課件74

1系統(tǒng)誤差

1）系統(tǒng)誤差由于實驗系統(tǒng)的原因，在測量過程中造成的誤差。

2）誤差來源儀器誤差、環(huán)境誤差、理論(方法)誤差、個人習慣誤差。3）誤差特點誤差的大小和符號總是保持恒定，或按一定規(guī)律以可約定的方式變化。4）誤差消除方法找出原因，在實驗前或實驗后加以修正。1系統(tǒng)誤差1）系統(tǒng)誤差75系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差如電表的零點誤差修正：接入電路前，先調(diào)機械零點。電表指針不在零點機械零點調(diào)節(jié)螺釘系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差電表指針不在零點機械零點調(diào)節(jié)螺釘76操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左77操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確操作者偏視習慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確782隨機誤差（偶然誤差）1）隨機誤差由某些偶然的或不確定的因素，在測量過程中造成的誤差。2）誤差來源環(huán)境和實驗條件的無規(guī)則變化。3）誤差特點誤差的量值和符號以不可約定的方式變化著，對每次測量值來說，其變化是無規(guī)則的，但對大量測量值，其變化則服從確定的統(tǒng)計分布（正態(tài)分布）規(guī)律。2隨機誤差（偶然誤差）1）隨機誤差79隨機誤差服從的正態(tài)分布特點xP-3σ

-2σ

–σ0σ

2σ3σ隨機誤差服從的正態(tài)分布特點xP-3σ-2σ–σ80隨機誤差正態(tài)分布的特點

*單峰性

絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

*對稱性

絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率大致相等。

*有界性

絕對值非常大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。

*抵償性誤差算術平均值隨測量次數(shù)增加而趨于零。測量誤差與不確定度課件81

標準誤差：標準誤差的統(tǒng)計意義系統(tǒng)誤差已消除的條件下，重復測量次數(shù)n足夠大時，任一次測量隨機誤差的絕對值小于σ的概率為68.3%，小于2σ的概率為95.4%，小于3σ的概率為99.7%標準誤差可描述偶然誤差的可能范圍與可信程度！式中：μ是測量列和算術平均值標準誤差的統(tǒng)計意義標準誤差可描述偶然誤差的824)減小隨機誤差的方法

A)增加重復測量次數(shù)一般重復5～10次即可。測量值波動范圍越大，則需重復次數(shù)越多。

B)以標準偏差代替標準誤差來評估隨機誤差的范圍與可信度。

C)用測量平均值作為測量結果的最佳估計值。4)減小隨機誤差的方法A)增加重復測量次數(shù)83

3粗大誤差（過失誤差）

1)粗大誤差

測量值明顯偏離正常值的異常誤差。2)誤差來源儀器使用方法錯誤、粗心大意、記錄出錯等。3)誤差消除方法用3σ準則（萊特準則）鑒別并剔除。當測量次數(shù)較多時，若某測量值與算術平均值的偏差絕對值大于3倍標準偏差時，可認為該值是壞值而剔除。3粗大誤差（過失誤差）1)粗大誤差84一、測量結果的表達方式

測量的目的是要獲得被測物理量的真值！由于測量誤差不可避免，真值也就無法確定，也無法確定誤差的大小。只能通過科學的方法確定的最佳估計值及其不確定度，把測量結果表達為：

物理量最佳估計值不確定度第二節(jié)不確定度及其概念一、測量結果的表達方式測量的目的是要獲得85

測量結果

的含義

表示真值以一定的概率存在于范圍內(nèi)；

同一項測量結果對應不同的置信概率要求，不確定度Δ的估算值也不同，通常要求的概率值越高，對應的Δ值越大。

Δ值通常只保留最大一位非零數(shù)，尾數(shù)一般只進不舍，例如計算結果是0.051，保留結果是0.06。

保留的末位數(shù)與Δ的非零數(shù)位同數(shù)量級，例：

L=3.566±0.007(mm)測量結果的含義

86二、不確定度基本概念1不確定度不確定度是表征測量結果具有離散性的一個參數(shù)。2不確定度分類根據(jù)估算方法將不確定度分量分為兩類：

A類不確定度用統(tǒng)計方法估算的分量，記為ΔA。

B類不確定度用其他方法估算的分量，記為ΔB。二、不確定度基本概念1不確定度87

3總不確定度總不確定度Δ是以上兩類所有分量的合成。若各ΔAi、ΔBi相互獨立，并具有相同置信概率，則測量誤差與不確定度課件88

第三節(jié)B類不確定度估算

一儀器誤差(限)

正確使用儀器時，儀器的示值與被測量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對值被稱為儀器誤差(限)，用

Δ儀表示。

Δ儀的含義：在正常使用下儀器示值的最大可能誤差，置信概率通常為95%～99%。第三節(jié)B類不確定度估算一儀器誤差(限)89常用物理實驗儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級)Δ儀鋼尺300mm1mm0.5mm(最小分度的1/2)螺旋測微計20mm0.005mm最小分度的1/2游標卡尺150mm0.02mm（50分度）0.02mm機械表12h1s最小分度值水銀溫度計100℃1℃最小分度值磁電式電表NmKA·K·%常用物理實驗儀器的誤差限Δ儀名稱量程最小分度(精度等級)Δ儀90

二

B類不確定度的估算評定△

B需結合誤差分布規(guī)律、參照標準、估算誤差限等因素，故△

B有多項分量，評定方法也有多種。常用評定方法有：根據(jù)測量條件估算誤差限；根據(jù)理論公式或實驗推算誤差限；根據(jù)儀器誤差限評定△

B。我們約定：在大學物理實驗中，近似使用儀器誤差限來確定△

B。即:

ΔB≈Δ儀二B類不確定度的估算91例題1

數(shù)字萬用表誤差限，Δ儀=讀數(shù)×A%+N，其中:A為精度等級，N為顯示末位上的字數(shù)。某萬用表20kΩ量程的電阻檔A

=0.8，N

=0.03，用該檔測量某電阻，讀數(shù)為5.36kΩ，這次測量結果是多少？

解：

Δ=Δ儀=5.36×0.8%+0.03=0.073

(kΩ)

測量結果表示為：R=5.36±0.08（kΩ）測量誤差與不確定度課件92

例題2

檢定一塊1.5級，10mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在5mA處它的誤差最大，為0.13mA，而在其它刻度處，誤差均小于0.13mA，試問，這塊電表是否合格？

解：該級別的電流表儀器誤差限為：

Δ儀=10（mA）×1.5%=0.15（mA）該電流表在所有刻度上，最大誤差為0.13mA，均小于儀器誤差，故這塊電表是合格產(chǎn)品。

93一單次直接測量的不確定度

實際情況不允許重復測量或不需要多次測量時，可采取單次測量的方式。若單次測量的主要誤差來源是儀器誤差時，以儀器誤差限Δ儀作為單次測量不確定度。

Δ=Δ儀

注意：這是一種很粗略很近似的估算。

第四節(jié)直接測量結果與不確定度的估算一單次直接測量的不確定度第四節(jié)直接測量結果與不確94二多次測量時隨機誤差的統(tǒng)計估計1、用算術平均值作為待測量X的最佳估計值設對某物理量X進行n次等精度測量，得一列測量值：

x1、x2、xn，這一列測量值的算術平均值為：二多次測量時隨機誤差的統(tǒng)計估計1、用算術平均值作為待測量X95

2.多次測量時隨機誤差的統(tǒng)計估計

1）先計算殘差（偏差）：

2）計算標準差（標準偏差）：

3）計算算術平均值的標準差：測量誤差與不確定度課件96*3.異常數(shù)據(jù)的剔除

1）萊特準則（3σ準則）

若第k次測量值xk滿足條件：

|xk-|＞3σ

則可判斷xk

是壞值。2）萊特準則的適用范圍萊特準則以測量次數(shù)較多（大樣本）為前提，一般適合于測量值呈正態(tài)分布（即高斯分布）的情況。

測量誤差與不確定度課件97例題3

（P18例1.4.1）對某物理量進行了15次等精度的測量，測量值如表所示。設這些測量值已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤差，試判斷在下列測量值中是否含有壞值？解:

由測量數(shù)據(jù)計算算術平均值:測量誤差與不確定度課件98

由測量數(shù)據(jù)和算術平均值，可以計算出標準差：由標準差計算出3σ：

3σ=3×0.033=0.099第八測量值的殘差：

由萊特準則知：第八測量值是一個壞值，應預以剔除。

由測量數(shù)據(jù)和算術平均值，可以計算出標準差：99對剩余的14個數(shù)據(jù)重新計算：新的算術平均值（剔除了第八測量值）為：新的標準差為：

測量誤差與不確定度課件100

新的標準差計算出3σ’：

3σ’=3×0.016=0.048再檢查各測量值的殘差，沒有再出現(xiàn)|xk–|＞3σ的情況，可認為，剩余數(shù)據(jù)中，沒有壞值存在。測量誤差與不確定度課件1014.多次測量時A類不確定度的估算

重復測量次數(shù)為5～10次，置信概率在95%左右時，A類不確定度ΔA可按下式近似估算。

σ叫標準偏差(或簡稱標準差)計算標準偏差的公式叫貝塞爾公式.測量誤差與不確定度課件102

5多次測量的合成不確定度

在大學物理實驗中，當測量次數(shù)5≤n≤10時，合成不確定度可這樣近似計算:

A類分量:ΔA≈σ

，置信概率95%；B類分量:ΔB≈Δ儀，置信概率95%；測量結果的合成不確定度為:5多次測量的合成不確定度在大學物理實驗中103

例題4

用游標卡尺對某物體長度進行等精度測量10次，測量數(shù)據(jù)如下表，設儀器誤差限為0.02mm。求不確定度并表示測量結果。

解:

1求出算平均值:

1234567891083.5483.5883.5283.5683.6083.6483.5483.5683.5883.501234567891083.5483.5883.5283.5104

2求出標準偏差

利用科學計算器統(tǒng)計功能可快速得到上述結果！3計算合成不確定度取ΔB≈

Δ儀4測量結果為：X=83.56±0.05(mm)（P=0.95）測量誤差與不確定度課件105

第五節(jié)間接測量結果與不確定度的估算

一間接測量值的算術平均值

設間接測量量N是直接測量量x，y，z的函數(shù)，即：

各直接測量量的測量結果為：第五節(jié)間接測量結果與不確定度的估算一間接測量值的算術106間接測量量N

的算術平均值為:

例題5

測量出金屬圓環(huán)的外直徑D2=（3.600±0.004）cm；內(nèi)直徑D1=（2.880±0.004）cm；高度h=（2.575±0.004）cm；試求出這個金屬圓環(huán)體積V的平均值？

測量誤差與不確定度課件107

解：計算金屬圓環(huán)體積V的函數(shù)表達式為：則金屬圓環(huán)體積V平均值的函數(shù)表達式為：代入各直接測量量的平均值，可得圓環(huán)體積算術平均值：

測量誤差與不確定度課件108二間接測量量的不確定度的合成如前述:各直接測量量表示為：每個直接測量量的誤差都會傳遞給N,若各直接測量量完全獨立，則ΔN對應每個直接測量誤差來源都對應有一個獨立分量，分別記為ΔNx，ΔNy，ΔNz。二間接測量量的不確定度的合成如前述:各直接測量109其中ΔNx∝Δx，比例系數(shù)是函數(shù)f(x,y,z)

對自變量x的偏導數(shù)，即:測量誤差與不確定度課件110

則間接測量量N的不確定度可以用下式合成：

稱為不確定度傳遞系數(shù)，它反映了各直接測量量的不確定度對間接測量量不確定度的貢獻（權重）。

測量誤差與不確定度課件111常用函數(shù)不確定度合成計算公式（一）測量誤差與不確定度課件112常用函數(shù)不確定度合成計算公式（二）測量誤差與不確定度課件113例題6

用單擺測量重力加速度。已知擺長和周期的測量結果分別為：試求重力加速度的測量結果。

解：重力加速度的函數(shù)表達式為測量誤差與不確定度課件114

則重力加速度的平均值為：先求重力加速度相對不確定度測量誤差與不確定度課件115

重力加速度的合成不確定度為重力加速度的測量結果為測量誤差與不確定度課件116

實驗中得到的測量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾數(shù)不能任意取舍，應反映出測量的準確度。

一有效數(shù)字的概念

1有效數(shù)字的定義在測量結果中，所有可靠數(shù)字再加上末位的存疑數(shù)字，統(tǒng)稱為測量結果的有效數(shù)字。有效數(shù)字中所有位數(shù)的個數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。

第六節(jié)有效數(shù)字與近似計算實驗中得到的測量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾117

2、有效數(shù)字的讀取規(guī)則

1）記錄測量儀器的精度、級別、最小分度值（最小刻度值）；

2）估計測量儀器的儀器誤差限；

3）記錄有效數(shù)字時要記錄到誤差所在位。

118

例題7

用300mm長的毫米分度鋼尺測量長度，應如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？

解：該鋼尺最小分度值為1mm，儀器誤差限取最小分度值的一半，即

正確記錄數(shù)據(jù)方法是：1）確切讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)；2）應估讀一位，即讀到0.1mm位。

如22.5mm。測量誤差與不確定度課件119

例題8伏安法測量電壓和電流值。若使用量程分別為10V和10mA的0.5級的電壓表和電流表，應如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？解：由儀器誤差限計算公式（表1-3-1），可得：因此讀取并記錄電壓和電流的有效數(shù)字時，應分別記錄到0.01V和0.01mA位。

如