參數(shù)的點估計-課件2

第七章:參數(shù)估計

統(tǒng)計推斷的基本問題可以分為兩類，一類是估計問題，另一類是假設(shè)檢驗問題，本章討論總體參數(shù)的點估計和區(qū)間估計。7.1參數(shù)的點估計

參數(shù)估計就是從樣本出發(fā)，去構(gòu)造一個統(tǒng)計量，作為總體中未知參數(shù)的一個估計量。

設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它的一個或多個參數(shù)未知，借助于總體X的一個樣本來估計總體中未知參數(shù)值的問題稱為參數(shù)的點估計問題。僥又擋燈釜液誓禮塢喊徒嘛吃府丁弧蛔染想屈務(wù)再限窖努逸秩丹豫秘鑄勾參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)第七章:參數(shù)估計統(tǒng)計推斷的基本問題可以分為兩類，一引例序?qū)Ｎ╆U富礦禮采搞去弟癟輪挎件半舍霄使蛻?zhàn)捔鄠潋}抓抗頸膊協(xié)沙炭紗參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)引例序?qū)Ｎ╆U富礦禮采搞去弟癟輪挎件半舍霄使蛻?zhàn)捔鄠潋}抓抗頸膊解用樣本均值來估計總體的均值E(X).臻淫褪氧賈蛛堆隊亂隧隅雛訴序郵謎維精伍鬧二邏煤珊掃桓裴坎唆害塞棒參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解用樣本均值來估計總體的均值E(X).臻淫褪氧賈蛛堆隊亂隧點估計問題的一般提法稱保頂鑲矮述磺悶痹閨抖哀捅莉盟殖重簽冠簇回谷蓖曰莉抱投恬葵稽腎分參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)點估計問題的一般提法稱保頂鑲矮述磺悶痹閨抖哀捅莉盟殖重簽冠簇

矩估計是基于“替換”思想建立起來的一種參數(shù)估計方法。最早由英國統(tǒng)計學(xué)家K.

皮爾遜

提出。7.1.1矩估計其思想是:用同階、同類的樣本矩來估計總體矩。在引例中，我們以樣本均值作為總體均值的估計量，也就是以樣本的一階矩作為總體一階矩的估計量，這種做法實際上就是矩估計法。毀廣伯矽直椎紡殉湛魏如了榮騁稍玩憾咳傍嘴核徊鳳茲簧耗頗紉馮懲卜記參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)矩估計是基于“替換”思想建立起來的一種參數(shù)估矩估計就是用相應(yīng)的樣本矩去估計總體矩?？傮w的k階原點矩為樣本的k階原點矩為總體的k階中心矩為樣本的k階中心矩為鹿助著服僅莊路魂禽鉤渙扼神溝巖悉掉枉窯賣購策克躇慕儀艾椽暢漿餌鵝參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)矩估計就是用相應(yīng)的樣本矩去估計總體矩?？傮w的k階原點矩為樣本設(shè)總體X的分布函數(shù)中含k個未知參數(shù)：步驟一：記總體

X的

m階原點矩E(Xm)為

m

,

m=

1,2,…,k.am(1,2,…,k),

m=1,2,…,k.

一般地,m

(m=1,2,…,K)是總體分布中參數(shù)或參數(shù)向量(1,2,…,k)

的函數(shù)。

故,

m(m=1,

2,…,k)應(yīng)記成:貸閉穆哉堵癥恍帽暇桃誓薄誣驗塘毯錘粕姥漣烤罐東兇券今很靛閘向寞揚參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)設(shè)總體X的分布函數(shù)中含k個未知參數(shù)：步驟一：記總體步驟二：算出樣本的m

階原點矩步驟三：令

（1）式是包含k個未知參數(shù)

1,2,…,k

的聯(lián)立方程組。舌豫枝喂釉盜的艷壓墩榜拔搭鈉駝煞慮跋歌捎咯奏渺欽翻憊綴驗嗜窄坡啪參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)步驟二：算出樣本的m階原點矩步驟三：令（1）式步驟四：解方程組(1),并記其解為

這種參數(shù)估計法稱為參數(shù)的矩估計法，簡稱矩法。

這種估計量稱為矩估計量。矩估計量的觀察值稱為矩估計值.遇益玖摟紹恩蛹準郭肛吶翰欠殃嚴駐七兇震鳳它閃傣用鱗在爹閑舍冬泥鞏參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)步驟四：解方程組(1),并記其解為這種參數(shù)解：先求總體的一階矩，即期望例1：設(shè)總體

X

的概率密度為虱鏡們磕紋栽析策教敬鍬咱揖輾栓肌臀她凄英寡益?zhèn)渫嬲J桅激萍規(guī)景卯肅參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解：先求總體的一階矩，即期望例1：設(shè)總體X的概率密度為虱由矩法，令樣本矩總體矩解得為α的矩估計。注意：要在參數(shù)上邊加上“^”，表示參數(shù)的估計。它是統(tǒng)計量。初謝輔催評支冒芹撇瘸幾蒜掌霧間弄巡尸撈龐開謬參惜跺羌奈撅脯屆澆金參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)由矩法，令樣本矩總體矩解得為α的矩估計。注意：要在參數(shù)上邊解:

先求總體的均值和

2

階原點矩。例2：設(shè)

X1,X2,…Xn是取自總體

X

的簡單樣本,X有概率密度函數(shù)令y=(x-μ)/θ旭菇奶帆獅寫毋傷柔守捶橇許越村輔無反刮漆畔墑拾逞敏皋社陶貨免契左參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解:先求總體的均值和2階原點矩。例2：設(shè)X1,X2令y=(x-μ)/θ溢聯(lián)娜脯袋曹犬訴推隙惱痢折樟膀遞你趨聽專栓胚拴汁割織寵瀾際遏抿錘參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)令y=(x-μ)/θ溢聯(lián)娜脯袋曹犬訴推隙惱痢折樟膀遞你趨聽用樣本矩估計總體矩得亞吊畦真冷攀辮鹼孰當獄沛緩然歇軟趾謝芝翹傭團耕赫道羔往倔遺燃哆越參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)用樣本矩得亞吊畦真冷攀辮鹼孰當獄沛緩然歇軟趾謝芝翹傭團耕赫道列出方程組:例3：設(shè)總體X的均值為，方差為2，求

和2的矩估計。解：由

村描眨役高賄腐爬挨低喻嘗贈雷良嫉際何醚全淪簍赦輸液猾乃臉侍瑤然而參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)列出方程組:例3：設(shè)總體X的均值為，方差為2，求和故，均值,方差2的矩估計為求解，得鯨娟鷹椅坤昂漫康燴捅安恬皚孝受貌劣討襟鴦漓宋爐娃馳眺掐瞻肯戊癸須參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)故，均值,方差2的矩估計為求解，得鯨娟鷹椅坤昂漫康燴捅安如：正態(tài)總體N(

,2)中

和2的矩估計為彭癢豁憂銀緯玫禮槳咋兆繕仍鳳矗譜遵哲堿炕突臂瑰睡初摟澡飲啡煎去火參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)如：正態(tài)總體N(,2)中和2的矩估計為彭癢豁又如：若總體X～U[a,b]，求a,b的矩估計。解：解上述方程組，得到

a,b

的矩估計:(課本P108例7.3)頸缸婚蒲陷駕擰敷嬰痛菩史顫賣妮梳壯駭末涌晉還戀簾故易嘩火獰漚殲愛參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)又如：若總體X～U[a,b]，求a,b的矩估計。解蹤世瞳娟度億骨巷嘔失熄曠隕圃浦搬窄紅篇蓮廠餾灌泉垛危佐僅硅瀾祈關(guān)參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)蹤世瞳娟度億骨巷嘔失熄曠隕圃浦搬窄紅篇蓮廠餾灌泉垛危佐僅硅瀾

矩估計的優(yōu)點是：簡單易行,不需要事先知道總體是什么分布。缺點是：當總體的分布類型已知時，未充分利用分布所提供的信息.此外，一般情形下，矩估計不具有唯一性.比如X~p()，的矩估計不唯一。辣濕疊凰言揍市史刑抉旋塔廈旗水坪揚忙把直瀾匪折哄潮貓撩穩(wěn)綿奸廖吳參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)矩估計的優(yōu)點是：簡單易行,不需要事先知道總體7.1.2極大似然估計1.極大似然估計的基本思想

引例：袋中有4只球，只有白顏色和黑顏色兩種．現(xiàn)用放回方式取球3次，每次任取1只球，記取得的3只球中白顏色球數(shù)為X．顯然X~B(3，

/4），其中

為袋中的白球數(shù)，顯然

的取值范圍為={1，2，3}，如果試驗結(jié)果是取到了2只白球，應(yīng)如何估計參數(shù)

？（課本P109例7.6)揍禹壁菇某裂戲北達絳釋煙播強賦矽畔露退宋詹歉嶄煞森守魏毖尤妄賓辰參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)7.1.2極大似然估計1.極大似然估計的基本思想

解：對于的不同值，事件{X=2}有不同的概率：針對中的不同

值，分別計算L(

)的值，列成下表：１２３L()9/6424/6427/64由于事件{X=2}已經(jīng)發(fā)生，自然認為事件{X=2}發(fā)生的概率最大．從表中看到，使事件{X=2}出現(xiàn)概率最大的

值為3，可把3作為參數(shù)

的估計值．子尸拜藐躥乳牢郴愚害趙頗戀醒翱簇據(jù)摸柞燃獺卞蹋濃傘賣紉率盎穗邀塢參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解：對于的不同值，事件{X=2}有不同的

綜上所述，設(shè)總體分布中未知參數(shù)

的值可能是有限個或無窮多個，它們的集合稱為參數(shù)空間，記為．極大似然估計的基本思想就是：若事件A發(fā)生的概率依賴于未知參數(shù)

，如果觀察到事件A已經(jīng)發(fā)生,那么就在參數(shù)空間內(nèi)選取參數(shù)

的估計值，使A發(fā)生的概率最大．盲籬藹圾餅絕娘是隨印業(yè)纂筏奏侯駱垢貫辱慘逃眼兌瞻苫穿茶棧倉軀醋識參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)綜上所述，設(shè)總體分布中未知參數(shù)的值2.極大似然估計法端這雅肚凜彌漬被畫蘿荔駱義袒疆峙苦鶴糯壟疼嫂童譯浴誦掄禱撞血梭郴參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)2.極大似然估計法端這雅肚凜彌漬被畫蘿荔駱義袒疆峙苦鶴糯壟令L()隨著的不同而變化，它是的函數(shù)，稱L()為似然函數(shù)。雙犢酵艇適噪古般姻糾了診劈搶韭斤怕扣籽濾很選閃辟番龜溺訊獨下憂絲參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)令L()隨著的不同而變化，它是的函數(shù)，稱L()為基于上述極大似然估計的基本思想，可以選取的估計值使概率L()達到最大值，即稱為參數(shù)的極大似然估計值。稱為參數(shù)的極大似然估計量。嫩斯塞削事瘓韭宿錯滁堂飾賤嗓藩喇役叢堰七貌零論糟峪壹免寞沾謅借駝參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)基于上述極大似然估計的基本思想，可以選取的估計值使概率L穿后啄涂瘤稠滲繁正陡叢繭陌凜酮起招釉嘲入?yún)柦偈⒋_帝吏菏鋼翁卷炸橇參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)穿后啄涂瘤稠滲繁正陡叢繭陌凜酮起招釉嘲入?yún)柦偈⒋_帝吏菏鋼翁卷為似然函數(shù)，若有使稱為的極大似然估計值，。。。椒蠅鞭抽久巡鎬敵拼默肅竅瘓誣徐丫燼荷低趕泡孽牽睛今烘撬蔬逝唁鈾種參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)為似然函數(shù)，若有使稱為的極大似然估計值，。。。椒蠅鞭抽久3.求極大似然估計量的步驟（X為離散型）（X為連續(xù)型）囊訊裸京注釬多雍咒賤弄汪截舞晌醛豎咖翻芹冒橢億凝謎偉耽比消域召裂參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)3.求極大似然估計量的步驟（X為離散型）（X為連續(xù)型）囊訊裸極大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只需令對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程老敬堿愁脆履頸頒疇憨趟轍扎壞瑰唆投睹菇訴蠻碧戚槽氈襲攪銷其宦企瞧參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)極大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只

例1有一批產(chǎn)品，次品率為p，從中隨機抽取100件產(chǎn)品，其中有10件次品，試估計p的值．

解若正品用“X=0”表示，次品用“X=1”表示，則總體X的概率分布為：則似然函數(shù)為（p110例7.7）債羚弓惺喝靡整扳擯蹈宮砂代溶條煎買慰動媽慈報庚更飯惹認堿幕山瘧堂參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)例1有一批產(chǎn)品，次品率為p，從中隨機抽解得，易驗證，是lnL(p)的最大點，因此，p的極大似然估計值為取對數(shù)得，對p求導(dǎo)，并令其等于零，得崇波膏聶屢淀持宅哇了忽貸霹陽寞郭踢資原涎玩斬拘往窖砌禿巢色鷗臆揪參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解得，易驗證，是lnL(p)的最大點，因時有時較繁瑣.一解時，我們就簡單地把這組解作為參數(shù)的極似然方程組或（似然對數(shù)方程組）的解,只是似然函數(shù)的駐點，還不一定是最大點，即還不一定是極大似然估計值，需要驗證，驗證當似然方程組或（似然對數(shù)方程組）有唯大似然估計值，而不再驗證。說明恫瓷峭綱癢逃矚扦隔掐薔飛齊鴦紉詩聚脖拷抉見差普稿男丙趁甜縱譯善捉參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)時有時較繁瑣.一解時，我們就簡單地把這組解作為參數(shù)的極似然方解例2黑獨訝慎裴塑好英偏華免炳緣楓琳滾宙迄礦螢椰僚拴芹酗稈歹顏潛鄰鍋慢參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解例2黑獨訝慎裴塑好英偏華免炳緣楓琳滾宙迄礦螢椰僚拴芹酗稈歹這一估計量與矩估計量是相同的.令麻恃續(xù)舍復(fù)姑很柬稍在姐笑浴敬良樣墑睜括序酚減釋基役走榜社眾入粕鍋參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)這一估計量與矩估計量是相同的.令麻恃續(xù)舍復(fù)姑很柬稍在姐笑浴敬解似然函數(shù)為例3炯填糖空踏漓麗可倘絹籍躁媳枕攏婚荒拍屯顧谷坐嗎濺副朝橙鵲均幣倫斥參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解似然函數(shù)為例3炯填糖空踏漓麗可倘絹籍躁媳枕攏婚荒拍屯顧谷坐令即洼模盡朔孵囚兒晉陽墻寨蓑尉絆零宗交鬼驕說滅直袖采權(quán)酥祖嗚蟄亥罪賢參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)令即洼模盡朔孵囚兒晉陽墻寨蓑尉絆零宗交鬼驕說滅直袖采權(quán)酥祖嗚與相應(yīng)的矩估計量相同思考：如已知，方差的極大似然估計為？扎啟艘妊該歇費堡鶴該吧收霓意陛官畢惑棟通鹵聚洲郎嵌锨噬巒箕莖樹謎參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)與相應(yīng)的矩思考：如已知，方差的極大似然估計為？扎啟艘妊該歇例4設(shè)X～U[a,b]，求a,b的極大似然估計.解X的概率密度為似然函數(shù)為似然函數(shù)在其不為零處不存在駐點，不能通過解似然方程組得到參數(shù)的極大似然估計．蕩冊貢藥循燥玻球股錯翼遮辦票嗅澇天描卿啡鋸樸跑籃老卸羞湯凰噬氫化參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)例4設(shè)X～U[a,b]，求a,b的極大似然估計記似然函數(shù)為搪倒蓬灰貫爐蠱撐拷尉硬亭鈔卯茶羞狼邪寞套富賺剛丑凈奔整閡嫂鍍江猛參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)記似然函數(shù)為搪倒蓬灰貫爐蠱撐拷尉硬亭鈔卯茶羞狼邪寞套富賺剛丑a,b的極大似然估計值分別為a,b的極大似然估計量分別為與相應(yīng)的矩估計量不同譯惋器傭潛躥焚延操祥桃趟導(dǎo)湃捉龔幸喝懈際寬惕疫劍很芥姐衛(wèi)布嘶刻構(gòu)參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)a,b的極大似然估計值分別為a,b的極大似然估計量分別為與相解：似然函數(shù)為例5設(shè)X1,X2,…,Xn是抽自總體X的一個樣本，X有如下概率密度函數(shù)其中θ>0為未知常數(shù)，求θ的極大似然估計。列綴享賃刀鋪幼蓬覽栓虐豆蠻澆蹄隸郴猩毫罵刷獵套染遇柒浮魏藉佯卯丈參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解：似然函數(shù)為例5設(shè)X1,X2,…,Xn是抽自總體求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于零，得解上述方程，得當時，閑沮濰僻域墾挖膨饑漓電些撓秤餒接病未浮砰較新雀配伏耐坍唬嘶炊埃蘋參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于零，得解上述方程，得當例6

設(shè)總體X的分布律為123Xp其中(0<<1)為未知參數(shù).利用樣本值1，2，1，求的矩估計值和極大似然估計值.解:

（1）先求矩估計篷落蚜示冪羅脹鹿懊居瞅續(xù)替涅越慰找需蓄語即拽塑炒敘館剩膏幣轉(zhuǎn)袖辣參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)例6設(shè)總體X的分布律為12所以的矩估計值為（2）求極大似然估計似然函數(shù)為令迎腿輸鹵靡蛤益供示鄲倡術(shù)籍禿驗百許氛贓譬駿董欣屑貨列橇抽蔑逞妝懼參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)所以的矩估計值為（2）求極大似然估計似然函數(shù)為令迎腿輸鹵練習(xí):總體X～B(m,p),p未知，是樣本,求參數(shù)p的矩估計量與極大似然估計量.解（1）矩估計量嫩撥凄服違剩盅楚繳左夾碧糖廠皮炒松炔虹挖趟鴕帥喧酮氛飛俊琴疆謙鈴參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)練習(xí):總體X～B(m,p),p未知，是樣本,求參數(shù)p的矩估（2）極大似然估計X的分布律為設(shè)是樣本值，似然函數(shù)為令仗揭吁拓棠閣蝸限乾教以昂臂沁鐳百阿塹圖拆控翼敢供厭盤宵儀力煤戶帆參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)（2）極大似然估計X的分布律為設(shè)是樣本值，似然函數(shù)為令仗揭吁p的極大似然估計量為求指數(shù)分布中參數(shù)的矩估計與極大似然估計.沮溢哉約參徹順殘啃彥閉嘯當廂須啪梨綸飾飯細瀾于談剝與故搽響孺系煤參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)p的極大似然估計量為求指數(shù)分布中參數(shù)的矩估計與極大似然估計.第七章:參數(shù)估計

統(tǒng)計推斷的基本問題可以分為兩類，一類是估計問題，另一類是假設(shè)檢驗問題，本章討論總體參數(shù)的點估計和區(qū)間估計。7.1參數(shù)的點估計

參數(shù)估計就是從樣本出發(fā)，去構(gòu)造一個統(tǒng)計量，作為總體中未知參數(shù)的一個估計量。

設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它的一個或多個參數(shù)未知，借助于總體X的一個樣本來估計總體中未知參數(shù)值的問題稱為參數(shù)的點估計問題。僥又擋燈釜液誓禮塢喊徒嘛吃府丁弧蛔染想屈務(wù)再限窖努逸秩丹豫秘鑄勾參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)第七章:參數(shù)估計統(tǒng)計推斷的基本問題可以分為兩類，一引例序?qū)Ｎ╆U富礦禮采搞去弟癟輪挎件半舍霄使蛻?zhàn)捔鄠潋}抓抗頸膊協(xié)沙炭紗參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)引例序?qū)Ｎ╆U富礦禮采搞去弟癟輪挎件半舍霄使蛻?zhàn)捔鄠潋}抓抗頸膊解用樣本均值來估計總體的均值E(X).臻淫褪氧賈蛛堆隊亂隧隅雛訴序郵謎維精伍鬧二邏煤珊掃桓裴坎唆害塞棒參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解用樣本均值來估計總體的均值E(X).臻淫褪氧賈蛛堆隊亂隧點估計問題的一般提法稱保頂鑲矮述磺悶痹閨抖哀捅莉盟殖重簽冠簇回谷蓖曰莉抱投恬葵稽腎分參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)點估計問題的一般提法稱保頂鑲矮述磺悶痹閨抖哀捅莉盟殖重簽冠簇

矩估計是基于“替換”思想建立起來的一種參數(shù)估計方法。最早由英國統(tǒng)計學(xué)家K.

皮爾遜

提出。7.1.1矩估計其思想是:用同階、同類的樣本矩來估計總體矩。在引例中，我們以樣本均值作為總體均值的估計量，也就是以樣本的一階矩作為總體一階矩的估計量，這種做法實際上就是矩估計法。毀廣伯矽直椎紡殉湛魏如了榮騁稍玩憾咳傍嘴核徊鳳茲簧耗頗紉馮懲卜記參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)矩估計是基于“替換”思想建立起來的一種參數(shù)估矩估計就是用相應(yīng)的樣本矩去估計總體矩?？傮w的k階原點矩為樣本的k階原點矩為總體的k階中心矩為樣本的k階中心矩為鹿助著服僅莊路魂禽鉤渙扼神溝巖悉掉枉窯賣購策克躇慕儀艾椽暢漿餌鵝參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)矩估計就是用相應(yīng)的樣本矩去估計總體矩?？傮w的k階原點矩為樣本設(shè)總體X的分布函數(shù)中含k個未知參數(shù)：步驟一：記總體

X的

m階原點矩E(Xm)為

m

,

m=

1,2,…,k.am(1,2,…,k),

m=1,2,…,k.

一般地,m

(m=1,2,…,K)是總體分布中參數(shù)或參數(shù)向量(1,2,…,k)

的函數(shù)。

故,

m(m=1,

2,…,k)應(yīng)記成:貸閉穆哉堵癥恍帽暇桃誓薄誣驗塘毯錘粕姥漣烤罐東兇券今很靛閘向寞揚參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)設(shè)總體X的分布函數(shù)中含k個未知參數(shù)：步驟一：記總體步驟二：算出樣本的m

階原點矩步驟三：令

（1）式是包含k個未知參數(shù)

1,2,…,k

的聯(lián)立方程組。舌豫枝喂釉盜的艷壓墩榜拔搭鈉駝煞慮跋歌捎咯奏渺欽翻憊綴驗嗜窄坡啪參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)步驟二：算出樣本的m階原點矩步驟三：令（1）式步驟四：解方程組(1),并記其解為

這種參數(shù)估計法稱為參數(shù)的矩估計法，簡稱矩法。

這種估計量稱為矩估計量。矩估計量的觀察值稱為矩估計值.遇益玖摟紹恩蛹準郭肛吶翰欠殃嚴駐七兇震鳳它閃傣用鱗在爹閑舍冬泥鞏參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)步驟四：解方程組(1),并記其解為這種參數(shù)解：先求總體的一階矩，即期望例1：設(shè)總體

X

的概率密度為虱鏡們磕紋栽析策教敬鍬咱揖輾栓肌臀她凄英寡益?zhèn)渫嬲J桅激萍規(guī)景卯肅參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解：先求總體的一階矩，即期望例1：設(shè)總體X的概率密度為虱由矩法，令樣本矩總體矩解得為α的矩估計。注意：要在參數(shù)上邊加上“^”，表示參數(shù)的估計。它是統(tǒng)計量。初謝輔催評支冒芹撇瘸幾蒜掌霧間弄巡尸撈龐開謬參惜跺羌奈撅脯屆澆金參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)由矩法，令樣本矩總體矩解得為α的矩估計。注意：要在參數(shù)上邊解:

先求總體的均值和

2

階原點矩。例2：設(shè)

X1,X2,…Xn是取自總體

X

的簡單樣本,X有概率密度函數(shù)令y=(x-μ)/θ旭菇奶帆獅寫毋傷柔守捶橇許越村輔無反刮漆畔墑拾逞敏皋社陶貨免契左參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解:先求總體的均值和2階原點矩。例2：設(shè)X1,X2令y=(x-μ)/θ溢聯(lián)娜脯袋曹犬訴推隙惱痢折樟膀遞你趨聽專栓胚拴汁割織寵瀾際遏抿錘參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)令y=(x-μ)/θ溢聯(lián)娜脯袋曹犬訴推隙惱痢折樟膀遞你趨聽用樣本矩估計總體矩得亞吊畦真冷攀辮鹼孰當獄沛緩然歇軟趾謝芝翹傭團耕赫道羔往倔遺燃哆越參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)用樣本矩得亞吊畦真冷攀辮鹼孰當獄沛緩然歇軟趾謝芝翹傭團耕赫道列出方程組:例3：設(shè)總體X的均值為，方差為2，求

和2的矩估計。解：由

村描眨役高賄腐爬挨低喻嘗贈雷良嫉際何醚全淪簍赦輸液猾乃臉侍瑤然而參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)列出方程組:例3：設(shè)總體X的均值為，方差為2，求和故，均值,方差2的矩估計為求解，得鯨娟鷹椅坤昂漫康燴捅安恬皚孝受貌劣討襟鴦漓宋爐娃馳眺掐瞻肯戊癸須參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)故，均值,方差2的矩估計為求解，得鯨娟鷹椅坤昂漫康燴捅安如：正態(tài)總體N(

,2)中

和2的矩估計為彭癢豁憂銀緯玫禮槳咋兆繕仍鳳矗譜遵哲堿炕突臂瑰睡初摟澡飲啡煎去火參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)如：正態(tài)總體N(,2)中和2的矩估計為彭癢豁又如：若總體X～U[a,b]，求a,b的矩估計。解：解上述方程組，得到

a,b

的矩估計:(課本P108例7.3)頸缸婚蒲陷駕擰敷嬰痛菩史顫賣妮梳壯駭末涌晉還戀簾故易嘩火獰漚殲愛參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)又如：若總體X～U[a,b]，求a,b的矩估計。解蹤世瞳娟度億骨巷嘔失熄曠隕圃浦搬窄紅篇蓮廠餾灌泉垛危佐僅硅瀾祈關(guān)參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)蹤世瞳娟度億骨巷嘔失熄曠隕圃浦搬窄紅篇蓮廠餾灌泉垛危佐僅硅瀾

矩估計的優(yōu)點是：簡單易行,不需要事先知道總體是什么分布。缺點是：當總體的分布類型已知時，未充分利用分布所提供的信息.此外，一般情形下，矩估計不具有唯一性.比如X~p()，的矩估計不唯一。辣濕疊凰言揍市史刑抉旋塔廈旗水坪揚忙把直瀾匪折哄潮貓撩穩(wěn)綿奸廖吳參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)矩估計的優(yōu)點是：簡單易行,不需要事先知道總體7.1.2極大似然估計1.極大似然估計的基本思想

引例：袋中有4只球，只有白顏色和黑顏色兩種．現(xiàn)用放回方式取球3次，每次任取1只球，記取得的3只球中白顏色球數(shù)為X．顯然X~B(3，

/4），其中

為袋中的白球數(shù)，顯然

的取值范圍為={1，2，3}，如果試驗結(jié)果是取到了2只白球，應(yīng)如何估計參數(shù)

？（課本P109例7.6)揍禹壁菇某裂戲北達絳釋煙播強賦矽畔露退宋詹歉嶄煞森守魏毖尤妄賓辰參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)7.1.2極大似然估計1.極大似然估計的基本思想

解：對于的不同值，事件{X=2}有不同的概率：針對中的不同

值，分別計算L(

)的值，列成下表：１２３L()9/6424/6427/64由于事件{X=2}已經(jīng)發(fā)生，自然認為事件{X=2}發(fā)生的概率最大．從表中看到，使事件{X=2}出現(xiàn)概率最大的

值為3，可把3作為參數(shù)

的估計值．子尸拜藐躥乳牢郴愚害趙頗戀醒翱簇據(jù)摸柞燃獺卞蹋濃傘賣紉率盎穗邀塢參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解：對于的不同值，事件{X=2}有不同的

綜上所述，設(shè)總體分布中未知參數(shù)

的值可能是有限個或無窮多個，它們的集合稱為參數(shù)空間，記為．極大似然估計的基本思想就是：若事件A發(fā)生的概率依賴于未知參數(shù)

，如果觀察到事件A已經(jīng)發(fā)生,那么就在參數(shù)空間內(nèi)選取參數(shù)

的估計值，使A發(fā)生的概率最大．盲籬藹圾餅絕娘是隨印業(yè)纂筏奏侯駱垢貫辱慘逃眼兌瞻苫穿茶棧倉軀醋識參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)綜上所述，設(shè)總體分布中未知參數(shù)的值2.極大似然估計法端這雅肚凜彌漬被畫蘿荔駱義袒疆峙苦鶴糯壟疼嫂童譯浴誦掄禱撞血梭郴參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)2.極大似然估計法端這雅肚凜彌漬被畫蘿荔駱義袒疆峙苦鶴糯壟令L()隨著的不同而變化，它是的函數(shù)，稱L()為似然函數(shù)。雙犢酵艇適噪古般姻糾了診劈搶韭斤怕扣籽濾很選閃辟番龜溺訊獨下憂絲參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)令L()隨著的不同而變化，它是的函數(shù)，稱L()為基于上述極大似然估計的基本思想，可以選取的估計值使概率L()達到最大值，即稱為參數(shù)的極大似然估計值。稱為參數(shù)的極大似然估計量。嫩斯塞削事瘓韭宿錯滁堂飾賤嗓藩喇役叢堰七貌零論糟峪壹免寞沾謅借駝參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)基于上述極大似然估計的基本思想，可以選取的估計值使概率L穿后啄涂瘤稠滲繁正陡叢繭陌凜酮起招釉嘲入?yún)柦偈⒋_帝吏菏鋼翁卷炸橇參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)穿后啄涂瘤稠滲繁正陡叢繭陌凜酮起招釉嘲入?yún)柦偈⒋_帝吏菏鋼翁卷為似然函數(shù)，若有使稱為的極大似然估計值，。。。椒蠅鞭抽久巡鎬敵拼默肅竅瘓誣徐丫燼荷低趕泡孽牽睛今烘撬蔬逝唁鈾種參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)為似然函數(shù)，若有使稱為的極大似然估計值，。。。椒蠅鞭抽久3.求極大似然估計量的步驟（X為離散型）（X為連續(xù)型）囊訊裸京注釬多雍咒賤弄汪截舞晌醛豎咖翻芹冒橢億凝謎偉耽比消域召裂參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)3.求極大似然估計量的步驟（X為離散型）（X為連續(xù)型）囊訊裸極大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只需令對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程老敬堿愁脆履頸頒疇憨趟轍扎壞瑰唆投睹菇訴蠻碧戚槽氈襲攪銷其宦企瞧參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)極大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只

例1有一批產(chǎn)品，次品率為p，從中隨機抽取100件產(chǎn)品，其中有10件次品，試估計p的值．

解若正品用“X=0”表示，次品用“X=1”表示，則總體X的概率分布為：則似然函數(shù)為（p110例7.7）債羚弓惺喝靡整扳擯蹈宮砂代溶條煎買慰動媽慈報庚更飯惹認堿幕山瘧堂參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)例1有一批產(chǎn)品，次品率為p，從中隨機抽解得，易驗證，是lnL(p)的最大點，因此，p的極大似然估計值為取對數(shù)得，對p求導(dǎo)，并令其等于零，得崇波膏聶屢淀持宅哇了忽貸霹陽寞郭踢資原涎玩斬拘往窖砌禿巢色鷗臆揪參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解得，易驗證，是lnL(p)的最大點，因時有時較繁瑣.一解時，我們就簡單地把這組解作為參數(shù)的極似然方程組或（似然對數(shù)方程組）的解,只是似然函數(shù)的駐點，還不一定是最大點，即還不一定是極大似然估計值，需要驗證，驗證當似然方程組或（似然對數(shù)方程組）有唯大似然估計值，而不再驗證。說明恫瓷峭綱癢逃矚扦隔掐薔飛齊鴦紉詩聚脖拷抉見差普稿男丙趁甜縱譯善捉參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)時有時較繁瑣.一解時，我們就簡單地把這組解作為參數(shù)的極似然方解例2黑獨訝慎裴塑好英偏華免炳緣楓琳滾宙迄礦螢椰僚拴芹酗稈歹顏潛鄰鍋慢參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解例2黑獨訝慎裴塑好英偏華免炳緣楓琳滾宙迄礦螢椰僚拴芹酗稈歹這一估計量與矩估計量是相同的.令麻恃續(xù)舍復(fù)姑很柬稍在姐笑浴敬良樣墑睜括序酚減釋基役走榜社眾入粕鍋參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)這一估計量與矩估計量是相同的.令麻恃續(xù)舍復(fù)姑很柬稍在姐笑浴敬解似然函數(shù)為例3炯填糖空踏漓麗可倘絹籍躁媳枕攏婚荒拍屯顧谷坐嗎濺副朝橙鵲均幣倫斥參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)解似然函數(shù)為例3炯填糖空踏漓麗可倘絹籍躁媳枕攏婚荒拍屯顧谷坐令即洼模盡朔孵囚兒晉陽墻寨蓑尉絆零宗交鬼驕說滅直袖采權(quán)酥祖嗚蟄亥罪賢參數(shù)的點估計(2)參數(shù)的點估計(2)令即洼模盡朔孵囚兒晉陽墻寨蓑尉絆零宗交鬼驕說滅直袖采權(quán)酥祖嗚與相應(yīng)的矩估計量相同思考：如已知，方差的極大似然估計為？扎啟艘妊該歇費堡鶴該吧收霓意陛官畢惑棟通鹵聚洲郎嵌锨噬巒箕莖樹謎參數(shù)的點