概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-課件統(tǒng)計(jì)

§2.3§2.3數(shù)學(xué)期望的概量的數(shù)字特?cái)?shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性方(Chebyshev)不等式矩通常求出隨量的分布并不是一件容易的事,而 量的特點(diǎn),這些與隨量有關(guān)的數(shù)字,就是隨 最常用的數(shù)字特征為數(shù)學(xué)期望,方差等1數(shù)學(xué)期 例：假設(shè)一個(gè)班共20人,其中18歲的有6人,19歲的有10人,20歲的有4人,現(xiàn)任取一人觀察其歲數(shù),則觀察到的歲數(shù)x為一隨 量,不難求出x的分布律如下表所示XP2計(jì)算平均計(jì)算上例中平均的方法之一是將這個(gè)班的學(xué)生的每個(gè)人的加起來(lái),再除以這個(gè)班的人數(shù)20人(即6個(gè)18歲,10個(gè)19歲,4個(gè)20歲加起來(lái)),得平均為EX

6

10 193續(xù)上續(xù)上 一個(gè)個(gè)學(xué)生),假設(shè)這試驗(yàn)一共做了n次,而獲得了18,19,20這三個(gè)的次數(shù)(頻數(shù))分別為n18,n19,n20次,則將這n次試驗(yàn)所獲得 X18

19

20

n20n

n18

n20 18

p204離散型量的數(shù)學(xué)期有差距但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨向于無(wú)窮時(shí)(頻率趨近概率),統(tǒng)計(jì)平均值離散型量的數(shù)學(xué)期定義2.6：設(shè)離散型隨量X有概率分布為P{X=xn}=pn(n=1,2,...),若級(jí)xnpn絕對(duì)收斂則稱該級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，記作EX，形式上EX是X的各可形式上EX是X的各可能取值平均，質(zhì)上也確實(shí)刻畫了X取值的真正“平均”5數(shù)學(xué)期望的力學(xué)解的質(zhì)點(diǎn)則數(shù)學(xué)期望處為整個(gè)數(shù)學(xué)期望的力學(xué)解6例題與解例1若服從0-1分布,其概率函數(shù)pop1x7例題與解例2甲乙兩名射手在一次 得分(分別1123P123PE=10.4+20.1+30.5=2.1這表明如多次射擊他們得分的平均值分別是2.1和2.2,故乙射手較甲射手的技術(shù)好。8例題與解例3.某種電子元件使用

f(f(x)

e

x

x解:設(shè)Y表示產(chǎn)值,Y取值為

f(x

1000dx=1-

e1000

所以 EY=0×(1-e-0.5)+10×(e-0.5-e-1)+30×(e-1-e-1.5)+40×e- 連續(xù)型 量的離散 量X的概率密度為f(x),現(xiàn) 的無(wú)窮多個(gè)小區(qū)間,當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是落在第k個(gè)小區(qū)間里時(shí),我們干脆近似認(rèn)為是x等于此小區(qū)間的中點(diǎn)xk的事件發(fā)生了,這樣就將x轉(zhuǎn)化成為了一離散型的隨量,它等于xk的概率近似為f(x)x,如果x的值越小,這樣的近似越準(zhǔn)確

xk+1離散后的期望計(jì)在這種情況下我們計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望,可得EX

k

f(xk

當(dāng)x→0時(shí)，我們相信得到的X的數(shù)學(xué)期望是準(zhǔn)確的 EX

xf

dx連續(xù)型 量的數(shù)學(xué)期定義2.7設(shè)連續(xù)型 量X有概率密度若積

xf

絕對(duì)收斂，則稱EX

xf

dx為連續(xù)型 量X的數(shù)學(xué)期望例4計(jì)算在區(qū)間[a,b] ,X

f(x)

b

x[a,b]其 xf(x

bx dx11b

aa2a

b數(shù)學(xué)期望反映了連續(xù)型 量的平均取值

f(x),

7，并且f(x)

ax

0

ab的值，并求分布函數(shù)Fx)00解：

f(x)dx

01(axb)dx0

ab1

0EXxf(x)dx1x(axb)dx0

ab

(2)則，由(1)和(2)

b2

x2 當(dāng)0

x1時(shí)，F(xiàn)x

(t

)dt 因此，F(xiàn)x

0.5(x2

x0x1x 1x數(shù)學(xué)期望的性

則

E(aX)=ax1p1+ax2p2+...+axnpn+...連續(xù)型:X~f(x),Y=aX,則,Y~ (y),不妨設(shè)

(y

y

|aX (X

)dy

a

(

)d(yya

XaX

zfX

z

續(xù)上3：b

E(

b)EX證明：設(shè)X為連續(xù)型 量，其概率密度

fX(x)令Y

則，E

b)

(y)dy

(yy

(x

fX(x)dxXX

(x)dxb

(x)dxEXX容易證明當(dāng)X為離散型 量時(shí)XE(

b)EX隨隨量X的函數(shù)g(X)24函數(shù)，對(duì)于隨量X的一般函數(shù)的定

x有下面重要

X是

，并且

存在，

X為離散型，PX

n

E[g(X)]

g(xnX為連續(xù)型，概率密度為fxE[g(X)]

g(

f( 量X的函數(shù)g(X)的期 量X的密度為f(X)，則隨 g(xk

)

當(dāng)X為離散E[g(X)]

g(xf(x)dx 當(dāng)X為連續(xù)因?yàn)榍骻(X)的分布經(jīng)常是不容易的,這兩個(gè)關(guān)于的分布,因此極大地簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)期望的計(jì)★另,[g(Xh(XE[g(XE[h(X例題與解例5：設(shè) 量X的概率分布YX2,Z4

4X3X1X1234P

EX,EY,解：

n

EY

x2

4 EZ

270.2643 3 例題與解從上例看到E(X2

(EX)2,E(4X3)3

4(EX)33例6：設(shè)隨量X的密度函數(shù)為f(x)

cosx00

x2求：EXE(2X2

3),EX解

（奇零E(2X

3)

3

偶倍

分部積分

2

xcos

4例題與解例7.游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯每個(gè)一游客在早8點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層，且X在 x[0,60 解:由題意得:X~fx設(shè)

1

g(x 表示旅客候車時(shí)間

(x)

x

(1

(65

E(Y)=E(g(X))=g(x)f(x

練習(xí) 解：設(shè)計(jì)劃年出口量為y噸，年獲利Y萬(wàn)美圓，顯

Yg(Y

3y

(yX

XXEY

g(x)

(x)dx

2000g(x)dx

由微積分可知 [ [

(4x

dx

40003ydx

當(dāng)y=3500時(shí)2000

EY最大( (

y練習(xí)設(shè)

望存在，證明對(duì)于任實(shí)數(shù)a

P(

a)

ea

(證明：設(shè)X為離散型隨量，概率分布P(

xn)

exnn

exn

ea

eaP(

因此，P(

a)

eaa如果X為連續(xù)型隨量，密度函數(shù)為f(xa則，EeX

f(x)dx

f(aa

a

dx

因此，P(

a)

ea習(xí)題

當(dāng)y時(shí)0

P(Y

P(sin

P(0X

1y21y21y2f1y2

f

解：fX(x)

133

1x(1)

y

ex單調(diào)可導(dǎo)，=e1=e2

y1

e1

ye2.

(y)

3y

zg(x)

x2,x(1,2),不單調(diào)用分布函數(shù)=0,當(dāng)z時(shí)zzzz

z

(z)

z)

P(X

z)

X

zzzz

(z)

1z

z

z

z1

z4

(z)

z)

P(X

z)

P(X zf(z)

F(z)

F

z

z)

F z 3z 0z3z

(z)

16z6

z

差 差就是衡量分散程度的指標(biāo) 量的方 定義2.9(方差):設(shè)X為隨量,EX存在,且E(X-EX)2存在,則稱E(X-EX)2為X的方差,記為:DXVarX,即DX=VarX=E(X-方差反映了量相方差反映了量相對(duì)其均值的偏離程度注意

為X的標(biāo)準(zhǔn)差(或者均方差n(xEX)2nn(xEX)2nn若

n,n=1,2,...,則DXE(X-(xEX)f(xEX)f(x2方差的性(1)(2)(3)(4)DX=EX2- EX2=DX證明:(2D(aX)=E[aXE(aX)]2=E[a(X-(4)DX=E(X-EX)2=E[X2- (注:EX是常數(shù)性質(zhì)4的這個(gè)公式很重要不僅證明了一般情況 量平方的數(shù)學(xué)望大于其期望的平方個(gè)重要結(jié)而且經(jīng)常用它來(lái)計(jì)算例題與解例8計(jì)算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的量X的方差

x[a,b]題意,X

f(x)

b b 其則EX2=x2

(x)dx

ba

dxb1b1

1x3b

1(a23

b2由例5

a2

(ba)2所

例題與解答x0例9X~fx20

0x1x求解

其 EX=

xf

x)dx0xxdx

x1x33

1(x20

1x3) 2E(X2)=x22

f(

10

x2(2

所以,DX=EX2- =7/6-例題與解例0設(shè)隨量密度函數(shù)b(ax)

xf(x)

且已知方DX1求常數(shù)a和

f(

b(a

x)dx

ab aEX

x)dx

bax

dxxDXEX22ax2b(ax

x)dx1

由(1)和(2)可解得：a

a66b 6例題與解 量X滿足:E(X)=,D(X)=2(,>0常數(shù))。試證明：對(duì)任意常數(shù)C，必有E[(X-C)2]>E[(X-)2]。證明(P48性質(zhì)E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2=EX2-=EX2-2C=[(EX)2+DX]-=2+2-2C=2+(-而E[(X)2]=E(X-EX)2=DX所以E[(X-C)2E[(X例題與解例12.車沿一街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,X0123PX0123P

例題與解例13設(shè)X與Y同分布,X密度為

(x)

3x28

0x 其獨(dú)立,且P(A+B)=3/4.求常數(shù)解(1)由已知得:P(A)=P(B)AB獨(dú)立,3故P(A)=1/20<2(因?yàn)椤?,P(A)=13P(X>)=1P(x)

3282

18

3所 3 1 (2)E(1/X2)=

x2

dx3/練練設(shè)隨量的密度函數(shù)求數(shù)EX和方

f(x)

1e xbxb

xf(x)dx

xe xbxb1xb1

dx

b b b1(ba)2

1(ba)2DX

E(

E(

(x

f(1b

(xb)2

xb

dx

1

(xb)2

b 2a

2a 2a

a2t2etadt

a2t2etadt(其中t00

xb)a22

e

dt222

te0te

tdt0a2t2et0

a2(3)

四、 不等式定理

設(shè)

對(duì)于任何

0，有P

)概率分布為P

xn)

pn

n1,2,，則P(