證明直線與直線垂直

證明線線垂直在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O1A1B1C1中，E、F分別是AB.BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF，求證：A1FLC1E.【證明】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則Ai(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)AE=BF=x,：.E(a,x,0),F(a~x,a,0).一一了一,、..A1F=(—x,a,—a),C1E=(a,x—a,—a).一一亍一,.A1RC1E=(—x,a,—a)?(a,x—a,—a)=—ax^ax—a2+a2=0,???A^qE，即A1F±C1E.解答：法一^解答：法一^AB=aAC=b,AA1=c,則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得lal=lbl=lcl=1,a?c=b?c=0,AB1=a+c,AM=|(a+b),.AB?MN=(a+c>(—%+，+=)=—?+?cos60°+0—0+0+^=0.J-乙乙T"乙乙i"一一.\AB1±MN,AAB1±MN.法二設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO]〃AA].以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得11■-；3311A(-^,0,0),Bq,0,0),C(0,項(xiàng)，0),N(0,M4),BQ,0,1),?.?M為BC中點(diǎn)，：.M(4,乎，0).：.MN=(—4,乎，?,疝］=(1,0,1),:.Mln-ae1=-1+0+4=0.aMev±ae1,aab1±m(xù)n.10.在正方體ABCDABCD中，1111點(diǎn).證明：AB〃GE,AB±EH；A歸平面E^D.已知E、F、G、H分別是Cq、BC、CD和A&的中解析：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1)1),由中點(diǎn)性質(zhì)得E1,1,⑴則AB1=(1，0，1)，(、F1,V(1EE=I2,12,0,071)2J11(1、對(duì)(EH=-1、1,0、J1v2'設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(0,B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,H1,2,1.1)9H212，2JnJ,VAB=2曲，AB?Efi=1X-a+1X^=0?AB〃UE,AB^EH,即AB〃GE,11(1⑵?.?At=s,1,V21),2V乙)11一(UE=1,0-11,EF=1AB±EH.11-2.*.AE1.UF^—+0=0,122A^?EE=+0—=0,122???At^EF,AE；±EE，即AG±DF,又BFnDE=D；AAG±平茴EFD.1AG±DE.118.(本小題滿分16分)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AlB1C1D1中，E、F分別是DD「BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=1CD.求證：EF±B1C；求EF與C1G的夾角的余弦值.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，cos〈cos〈EF,C^〉則鳥(niǎo)(1,0,1),C(1,1,0),E(0,1,5,F*2,0),G(4，1,0),",1,1).(1)證明：ef=(2,—2,—2),—*￥=(0,1,—1),一—*:.EF-B1C