教學(xué)設(shè)計完整版：圓錐曲線與方程

圓錐曲線與方程一.教學(xué)內(nèi)容：圓錐曲線與方程章節(jié)復(fù)習(xí)二.教學(xué)重、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)2.難點(diǎn)：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、最值問題、幾何性質(zhì)的應(yīng)用三.知識結(jié)構(gòu)：[例1]已知，試討論當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，方程表示曲線的形狀。解：（1）當(dāng)時，方程為，即，表示兩條平行于軸的直線。（2）當(dāng)時，，方程可化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（3）當(dāng)時，方程為，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓。（4）當(dāng)時，，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（5）當(dāng)時，方程化為，表示兩條平行于軸的直線。（6）當(dāng)時，，，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線。[例2]已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為，且過點(diǎn)（4，）。（1）求雙曲線方程；（2）若點(diǎn)M（3，）在此雙曲線上，求；（3）求的面積。解：（1）由題意知，雙曲線的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程∵雙曲線的一條漸近線方程為∴設(shè)雙曲線方程為把點(diǎn)（4，）代入雙曲線方程得，∴所求雙曲線方程為（2）由（1）知雙曲線方程為∴雙曲線的焦點(diǎn)為、∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上∴，∴（3）∵∴∴為直角三角形∵∴[例3]已知拋物線的焦點(diǎn)為A，以B（）為圓心，長為半徑，在軸上方的半圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M、N，P是MN的中點(diǎn)。（1）求的值；（2）是否存在這樣的值，使、、成等差數(shù)列？解：如下圖，A（）∵∴圓的方程為與聯(lián)立得∴解得設(shè)則，∴（2）設(shè)P（），則，∴∴∴若、成等差數(shù)列，則∴解得，這與矛盾故不存在，使成等差數(shù)列[例4]已知雙曲線與點(diǎn)P（1，2），過P點(diǎn)作直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)。（1）求直線AB的方程；（2）若Q（1，1），證明：不存在以Q為中點(diǎn)的弦。方法一：（1）解：設(shè)過P（1，2）點(diǎn)的直線為，代入雙曲線方程得由線段AB中點(diǎn)為P（1，2）∴解得，又時，使從而直線AB方程為（2）證明：按同樣方法求得，而使，所以直線CD不存在方法二：設(shè)A（）、B（），①，②①－②得：∴寫出直線方程，即，檢驗(yàn)與雙曲線有交點(diǎn)[例5]已知雙曲線（，）的左、右兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是它左支上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為，雙曲線的一條漸近線為，問是否存在點(diǎn)P，使、、成等比數(shù)列？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：假設(shè)存在點(diǎn)P（）滿足題中條件∵雙曲線的一條漸近線為∴，∴，即由，得①∵雙曲線的兩準(zhǔn)線方程為∴∵點(diǎn)P在雙曲線的左支上∴代入①得∴，代入，得②∴存在點(diǎn)P使成等比數(shù)列，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）[例6]如圖，直線和相交于點(diǎn)M，，點(diǎn)N，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等。若為銳角三角形，，=3，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。解：方法一：以為軸，MN的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖的直角坐標(biāo)系。由題意可知，曲線段C所在的拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置是標(biāo)準(zhǔn)的，并且點(diǎn)N是該拋物線的焦點(diǎn)，是準(zhǔn)線。所以可令拋物線的方程為，過點(diǎn)A作，，垂足分別為Q和E，由于是銳角三角形，則點(diǎn)E必在線段MN上。所以，∵∴∴∴拋物線方程為由上述可知，，點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為6，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，又曲線段在軸上方，故曲線段C的方程為方法二：以為軸，為軸建立如下圖的直角坐標(biāo)系，其中M點(diǎn)為原點(diǎn)，這時焦點(diǎn)N在軸上，頂點(diǎn)應(yīng)是線段MN的中點(diǎn)。令曲線段C所在的拋物線方程為：設(shè)則：由（1）－（2）得代入（1）得∴∵∴∵∴代入（3）得∴曲線段C的方程為[例7]設(shè)分別為橢圓C：（）的左、右兩個焦點(diǎn)。（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)。求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在軸上∵橢圓上的點(diǎn)A到兩點(diǎn)的距離和是4，得，即又∵點(diǎn)A（）在橢圓上∴，得∴∴橢圓C的方程為，焦點(diǎn)為、（2）設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K（），線段F1K的中點(diǎn)Q（）滿足：∴因此即為所求的軌跡方程（3）類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值。證明如下：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（），其中。又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），由，=，得將，，代入得，命題得證。[例8]直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解：（1）將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理，得①，依題意，直線與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得的取值范圍為（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則由①式得②，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（），則由FA⊥FB得即整理得③把②式及代入③式化簡得解得或（舍去）可得使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)。【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一.選擇題1.橢圓的一條準(zhǔn)線為，則橢圓的離心率等于（）A.B.C.D.2.雙曲線的離心率，則的取值范圍是（B）A.B.C.D.3.若橢圓(m＞n＞0)和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)、，P是兩條曲線的一個交點(diǎn)，則的值是（A）A.B.C.D.4.雙曲線的焦點(diǎn)為、，弦AB過且兩端點(diǎn)在雙曲線的一支上，若，則（c）A.為定值B.為定值C.為定值D.不為定值5.設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則的最小值是（B）A.B.C.D.6.若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（D）A.B.C.D.7.拋物線上到頂點(diǎn)與焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（C）A.B.C.D.8.將離心率為的橢圓，繞著它的左焦點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，則新橢圓的另一條準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.二.填空題1.已知、是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過且垂直于軸的雙曲線的弦，如果，則雙曲線的離心率是。2.已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)弦AP的長度最大時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是。3.正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，這個正三角形的邊長是。4.拋物線的弦A