5、不等式解法1(整式、分式、根式)

等式應(yīng)不等捕解式與不等式應(yīng)不等捕解式與不【一線名師精講】基礎(chǔ)知識(shí)串講解不等式的基本原則：1、解不等式實(shí)質(zhì)是一個(gè)等價(jià)變形的過(guò)程，當(dāng)元的取值范圍擴(kuò)大時(shí)，應(yīng)與原有取值范圍求交集2、解不等式是一個(gè)由繁到簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，其轉(zhuǎn)化的總思路為：分式不等式3、解1等號(hào)的分函數(shù)不等取并集

的解。、分式不等式的解法標(biāo)準(zhǔn)形式：>0，或皿或<0。f(x)f(x)解法要點(diǎn)：解分式不等式的關(guān)鍵是去分母，將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。若分母的正負(fù)可定，可直接去分母；若分母的正負(fù)不定，則按以下原則去分母：、根式不等式的解法標(biāo)準(zhǔn)形式：tf(x)>\；g(x);Jf(x)>g(x)；基本類型不等式的解法、整式不等式的解法

以及Jf(x)<g(x)。1、一元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)形式：ax>b或ax<b(a工0).

解法要點(diǎn)：解根式不等式的關(guān)鍵是去根號(hào)，應(yīng)抓住被開(kāi)方數(shù)的取值范圍以及不等式乘方的條解法要點(diǎn)：在不等式的兩端同時(shí)除以a后，若

件這兩大要點(diǎn)進(jìn)行等價(jià)變換：a<0則不等號(hào)要反向。2、一元二次不等式I'f(x)>g(x)O標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)。解法要點(diǎn)：解一元二次不等式一般可按以下步驟進(jìn)行：(1)整形：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式?；绢}型指要g(x)>0<f(x)>0或f(x)>g2(x)I?題型一：解不含參數(shù)的不等式g(x)<0f(x)>0求根：求方程ax2+bx+c=0的根。寫(xiě)解：根據(jù)方程ax2+bx+c=0根的情況寫(xiě)出對(duì)應(yīng)不等式的解集。當(dāng)兩根明確時(shí)，可由“大于0，兩根外；小于0，兩根內(nèi)”的口訣寫(xiě)解，當(dāng)0【例1】解下列不等式或不等式組f(x+3)(1-x)<0(1)]:2x<x2+2(2)(x-3)2(x+2)(4-x)<03)x2+2x—2<x3+2x-x2時(shí)，則可由函數(shù)y=ax2+bx+c的草圖寫(xiě)解。3、一元高次不等式(可分解因式型)標(biāo)準(zhǔn)形式：a(x-x)(x-x)A(x-x)>0或a(x-x)(x-x)A(x-x)<0>0)。12n解法要點(diǎn)：用“數(shù)軸穿根”的方法最為簡(jiǎn)便，一般可按如下步驟進(jìn)行：整形：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式。求根：求出對(duì)應(yīng)方程的根。穿根：將方程的根標(biāo)在數(shù)軸上，用一條曲線從右上方開(kāi)始依次穿過(guò)。方程有重根時(shí)，奇數(shù)重根按正常情況穿過(guò)，偶數(shù)重根則不穿過(guò)，反彈回來(lái)后繼續(xù)穿根。即“奇過(guò)偶不過(guò)”。寫(xiě)解：數(shù)軸上方所對(duì)應(yīng)曲線的區(qū)間為a(x-x)(x-x)A(x-x)>0的解，數(shù)軸下方所12n對(duì)應(yīng)曲線的區(qū)間為a(x-x)(x-x)A(x-x)<012n

(4)(x-1)T‘x2-x-2>0思路導(dǎo)引：按規(guī)范化程序操作，化為標(biāo)準(zhǔn)形式后求解，可以有效的防止錯(cuò)誤。解析：將(x+3)(1-x)<0化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x+3)(x-1)>0，易得：x<-3,或x>1。由2x<x2+2得(x-1)2+1>0，所以xeR。綜上所述，原不等式組的解集為4Ix<-3，或x>1｝。解析：由已知，(x-3)2(x+2)(x-4)>0，用數(shù)軸穿根法易得原不等式的解集為：誤區(qū)警示：若不化為標(biāo)準(zhǔn)形式求解，易將解集錯(cuò)寫(xiě)為#I-2<x<4｝。另外，建議將這類等式與不等式的混合式中的“等式”單獨(dú)求解，以防止漏掉x=3這類解。(x(x—1)卞x2—x—2>01)(3)思路導(dǎo)引：解分式不等式的關(guān)鍵是去分母。但本題分母正負(fù)不明，若直接去分母應(yīng)分類討論，較為復(fù)雜，使用移項(xiàng)通分化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法較好。解析：將土宣2<x化為標(biāo)準(zhǔn)形式’得:(x-2)(x2+x+1)00,(x-3)(x+1)因?yàn)閤2+x+1>0恒成立，所以，(x-2)(x-3)(x+1)用數(shù)軸穿根法易得原不等式的解集為：4I-1<x<2,或x>3｝。(4)思路導(dǎo)引：解根式不等式關(guān)鍵是抓住乘方的條件，對(duì)原不等式實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)換，去除根號(hào)。解析：原不等式等價(jià)于：或(x-1”2-x-2=0(2)由(1)得：F2-x-2>0，解得x>2；x-1>0由(2)得x=2，或x=-10所以，原不等式的解集為｛Ix>2,或x=-1｝o誤區(qū)警示：請(qǐng)找出下面解法的錯(cuò)誤：由<x2-x-2>0，得x-1>0，所以，原不等式的解為x>10點(diǎn)評(píng)：解等式與不等式的混合型不等式，最好將等式與不等式分開(kāi)求解，以避免錯(cuò)誤。?題型二：解含參數(shù)的不等式不少同學(xué)都怕解含參數(shù)的不等式，究其原因，關(guān)鍵是沒(méi)有把握住解題技巧0其實(shí)，解含有參數(shù)的不等式在總思路上與解普通不等式完全相同，當(dāng)參數(shù)不影響式子的變形時(shí)，與解普通不等式?jīng)]有差異，在參數(shù)影響式子的變形時(shí)，就需弄清參數(shù)的取值范圍或者予以分類討論，才能順利的解出不等式0【例2】解下列關(guān)于x的不等式：ax+2>0tx2+2>(2+1)x\：31ogx-2<2logx-1(a>0,a工1)aa思路導(dǎo)引：本題在求解x時(shí)必須去除系數(shù)a，由于a的范圍不明，無(wú)法直接變形，若將a按變形的要求分為正、負(fù)、零三類，則在每一小類中式子就能順利變形了0解析：由已知，ax>-202、當(dāng)a>0時(shí)，x>-；a2、當(dāng)a<0時(shí)，x<-；a、當(dāng)a=0時(shí)，0>—2恒成立，xeR0TOC\o"1-5"\h\zf2'故，原不等式解集當(dāng)a>0時(shí)為fxIx>-2［，、a_當(dāng)a<0時(shí)為fxIx<-一>，當(dāng)a=0時(shí)為R。、a“(2)思路導(dǎo)引：解含參數(shù)的二次不等式通常是在以下三個(gè)地方實(shí)施分類討論：一是平方項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)時(shí)需分正、負(fù)、零討論，二是判別式△有參數(shù)時(shí)的需分正、負(fù)、零討論，三是兩根有參數(shù)時(shí)需根據(jù)他們的大小關(guān)系分類討論。本題中的不等式即(x-1)(tx-2)>0，在求解過(guò)程中參數(shù)會(huì)在兩個(gè)地方影響式子變形：一是平方項(xiàng)系數(shù)t的正、負(fù)、零，二是對(duì)應(yīng)的二次方程的根21與-是否存在、誰(shuí)大誰(shuí)小。此時(shí)，同一字母t形t成了不同的分類，可將t在0、2處分段統(tǒng)籌安排進(jìn)行分類(如圖)0解析：原不等式即(x-1)(tx-2)>0o當(dāng)t<0時(shí)，可以化為(x-1)(-tx+2)<0，22易知一<1，所以一<x<10tt當(dāng)t=0時(shí)，原不等式即-2x+2>0，所以x<102當(dāng)0<t<2時(shí)，易知一>1，可得x<1，t或x>—0t當(dāng)t=2時(shí)，原不等式即2(x-1)2>0，所以xeR，且x工1022當(dāng)t>2時(shí)，易知一<1，可得x<2，tt或x>10綜上所述，原不等式的解集當(dāng)t<0時(shí)，為<xI—<x<1>；當(dāng)t=0時(shí)，為lxIx<；當(dāng)t

TOC\o"1-5"\h\z|20<t<2時(shí)，為<xIx<1,或x>—>；當(dāng)t=2時(shí)，、t‘為｛xIxeR,且x豐1｝；當(dāng)t>2時(shí)，為<xIx<2，或x>1>。、t.誤區(qū)警示：本題易漏掉t=0和t=2兩種特殊情況的討論。另外，在t<0時(shí)，解集易錯(cuò)為Jxlx<2（3）思路導(dǎo)引：本題關(guān)鍵是抓住根式不等式的解題特點(diǎn),對(duì)不等式進(jìn)行乘方處理,去除根號(hào)。若令logax=t進(jìn)行換元，會(huì)使書(shū)寫(xiě)變得更簡(jiǎn)便。C4-解析：按根式不等式的解題思路,易知原不等式等價(jià)于3logx-2>OAAAAAAAA⑴式等價(jià)于a<3logx-2<(2logx-1)2AAA(2)aa2logx-1>0AAAAAAAA(3)a2由⑴得l°gax>",要抓住以下兩個(gè)要點(diǎn)：一是按其正向題型“解不等式”變化，試解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推測(cè)它們與參數(shù)的關(guān)系。兩個(gè)要點(diǎn)結(jié)合，就會(huì)比較容易找到所求參數(shù)的方程或不等式，從而求出它們的值（或范圍）?！纠?】已知不等式ax2+bx+2>0（1）若不等式的解集為（-~，3），求a+b；（2）若不等式的解集為R,求a、b應(yīng)滿足的條件。（1）思路導(dǎo)引：從解集的形式可知：原不等式必為二次不等式；再?gòu)慕獠坏仁降慕嵌葋?lái)看，原不等式的解集可由方程ax2+bx+2=0的二根來(lái)得出，但二根不方便寫(xiě)出，自然會(huì)想到用韋達(dá)定理列式解題。解析：由題意，方程ax2+bx+2=0的二根為-丄和丄，23aa<0b2一4ax2>03由(2)得logx<,或logx>1,a4a由由(3)得logax>丄.a2所以，1b+=一―3a23由此得—<logx<,或logx>1,3a4a當(dāng)a>1時(shí)，易求得原不等式的解集為23、｛xIa3<x<a4，或x>a｝；當(dāng)0<a<1時(shí)，易求得原不等式的解集為｛xIa4<x<a3，或0<x<a｝。誤區(qū)警示：在乘方去除根號(hào)的過(guò)程中，要注意不等式乘方的條件以及根號(hào)內(nèi)式子的取值范圍，保證不等式的變形為等價(jià)變形。點(diǎn)評(píng)：從本例的解答過(guò)程可以看出，解含參數(shù)的不等式關(guān)鍵是抓住以下兩個(gè)要點(diǎn)來(lái)處理不等式中的參數(shù)：一是由“參數(shù)是否影響不等式變形”來(lái)確定該不該對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，二是由“參數(shù)是怎樣影響不等式變形”來(lái)確定怎樣對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。?題型三：已知不等式的解集求參數(shù)值（或范圍）已知不等式的解集求參數(shù)值（或范圍）是一類很常見(jiàn)也很重要的題型。由于該題型解法較為靈活，我們?cè)诮忸}時(shí)若不能把握住它的解題規(guī)律，往往會(huì)覺(jué)得變化莫測(cè)而無(wú)可適從。解答本題型關(guān)鍵是112x—=—23a易解得a=-12，b=-2，所以，a+b=-14。誤區(qū)警示：不能遺漏條件b2-4ax2>0和a<0。（2）思路導(dǎo)引：原不等式ax2+bx+2>0的系數(shù)a、b范圍未定，可能形成二次型、一次型、常數(shù)型三類不等式。因?yàn)樵坏仁降慕饧癁镽,故原不等式只能為二次型、常數(shù)型不等式。解析：1）當(dāng)a=b=0時(shí)，原不等式為2>0，其解集顯然為R，符合題意。2）當(dāng)a工0時(shí)，因?yàn)樵坏仁浇饧癁镽，所以，a>0<b2-4ax2<0化簡(jiǎn)得a>0,且b2<8a。綜上所述，a、b應(yīng)滿足的條件為：a=b=0；或a>0且b2<8a。點(diǎn)評(píng)：已知二次不等式的解集求參數(shù)值可分為兩種類型：若解集為“兩根內(nèi)外”型，一般用韋達(dá)定理求解；若解集為R或?,則通常用數(shù)形結(jié)合11解題。易解得(5)的解為1<x<1-a例4】若不等式組x2-解題。易解得(5)的解為1<x<1-a例4】若不等式組2x2+(5+2k)x+5k<0的整數(shù)解只有一2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。思路導(dǎo)引：本題的解題思路與已知不等式的解集求參數(shù)值相似,只是要注意不等式組的解集應(yīng)是各個(gè)不等式解集的交集。x2-x-2>OAAAAAAAA(1)2x2+(5+2k)x+5k<OAAAA(2)由(1)解得x>2,或x<-1。由(2)得(2x+5)(x+k)<0。因?yàn)橐?是不等式組的解，故[2x(-2)+5](-2+k)<0，得k<2,所以一k>-—,(2)的解為一—<x<-k。22由此可知，原不等式組的解為(I)x<-15z-—<x<-15z-—<x<-kI2或〔5,-—<x<-kI2因?yàn)閗<2，所以-k>-2，故(I)的整數(shù)解為一2。而原不等式組的整數(shù)解只有一2,所以(II)應(yīng)該沒(méi)有整數(shù)解，所以-k<3,即k>-3。綜上所述，-3<k<2?！鹃喚砝蠋熢u(píng)題】【例5】(1996年全國(guó)高考)解不等式loga(1-丄)>1.ax命題目的：本題綜合考查了對(duì)數(shù)不等式、分式不等式、二次不等式的解法，以及分類討論的思想和運(yùn)算能力?？记榉治觯涸擃}本身的能力要求并不高，但在解答的過(guò)程中卻多次涉及易錯(cuò)點(diǎn)，故當(dāng)年考生的得分率較低，區(qū)分度達(dá)。思路導(dǎo)引：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與a有關(guān)，故應(yīng)對(duì)a分類討論去除對(duì)數(shù)符號(hào)，將原不等式化為分式不等式，然后再化為整式不等式求解。解析：(I)當(dāng)a>1時(shí)，原不等式等價(jià)于：因a>1，故只需解(2)式，由此得因?yàn)?-a<0,所以x<0,由(3)可得(II)當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式等價(jià)于：由(4)得，x>1或x<0,由(5)得，丄>1-a>0，故x>0,x所以1<x<1-a綜上所述：當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{xI—<x<0};當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為1-a{x11<x<}.1-a點(diǎn)評(píng)：解不等式要注意不等式變形的等價(jià)性，對(duì)常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)應(yīng)熟記于心，這樣才能有效地避免錯(cuò)誤。此外，在解題時(shí)注意充分使用已知條件，常常會(huì)得到簡(jiǎn)便解法。如解不等式(2)(5)時(shí)利用a的范圍判斷出x的正負(fù)后，就能很方便的去分母了。本題也可由1一丄>0得出x<0,或％>1后，分xx<0和x>1兩類解答?！纠?】(2004年上海高考)記函數(shù)f(x)=\2-4x+1的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x—a—1)(2a—x)](a<1)的定義域?yàn)锽。求A；若B匸A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.命題目的：本小題主要考查集合的有關(guān)概念，考查二次不等式、分式不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，以及分析問(wèn)題和推理計(jì)算能力?？记榉治觯捍祟}型在各地高考中經(jīng)常出現(xiàn)。本題難度較小，得分率較高，但有的考生在求a的范圍時(shí)沒(méi)充分使用a>1的條件，引起解題過(guò)程復(fù)雜或出錯(cuò)。解析：(1)由2—%+3>0,得-_1>0,解得x+1x+1x<—1或x>l,艮卩A=(—g,—1)U[1,+g)(2)由(x一a一1)(2a一x)>0,得(x一a一1)(x一2a)<0.因?yàn)閍<1,所以a+1>2a，故B=(2a,a+1)。由B匸A知：2a>l或a+l<—1,解得a>=或aW-2。2因?yàn)閍<1,所以丄<a<1或a<—2,2故當(dāng)B匸A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一g,—2]U[|,1).22【好題優(yōu)化訓(xùn)練】基礎(chǔ)鞏固1、*x2-5x+6>x-1的解集為()(A)(-g,l)(B)(2,+g)(C)[1，5)(D)Y,寸)答案：D解析:取x=0可排除B、C；取x=1可排除A。故選D。明顯會(huì)影響不等式的解集，故需分類討論：a=0時(shí)，原不等式即-2x+4<0，解得x>2o220<a<1時(shí)，一>2，不等式的解為2<x<-。aaa=1時(shí)，原不等式為(x-2)2<0，xw①。a>1時(shí)，-<2，不等式的解為—<x<2。aaa<0時(shí)，原不等式可化為(-ax+2)(x-2)>0，22易知-<2，所以不等式的解為x<-，或x>2。aa2、滿足丄<2與丄>-3的x的取值范圍是()xx(A)-<x<丄(B)x>丄22(C)x<-丄(D)x>丄，或x<-丄323答案：D解析:解不等式組或驗(yàn)證排除。3、解不等式"2x-1>x-2答案：<x丨丄<x<5>、2_解析:原不等式等價(jià)于(I)；力-1-0，x—2<02x-1>0或(II)]x-2>02x-1>(x-2)2由(I)解得-<x<2，2由(II)解得2<x<5所以，原不等式的解集為；x丨丄<x<5；。2點(diǎn)評(píng)：若令x-1=t，則該不等式可化為一個(gè)關(guān)于t的二次不等式求解。4、解關(guān)于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0。答案：原不等式的解集當(dāng)a=0時(shí)，為#Ix>2)；當(dāng)I0<a<1時(shí)，為\xI2<x<—>；當(dāng)a=1時(shí)為、a“?；當(dāng)a>1時(shí)，為<x丨一<x<2；；當(dāng)a<0時(shí)，a5、不等式2x2+2mx+m<1對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,4x2+6x+3求m的取值范圍。答案：(1，3)。解析:已知分母恒正，故原不等式可化為：2x2+2mx+m<4x2+6x+3，即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0，由題意，該式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立。所以，△=(6一2m)2一8(3一m)<0，容易解得1<m<3。技能培訓(xùn)6、不等式』3x-4->0的解集為：。答案：[3,+8)。'3x-4>0解析:原不等式等價(jià)于卜-3>0，3x—4>x—3解得x>3。7、設(shè)f(x)=x2-ax+1。若方程f(x)=0沒(méi)有正根,則a的取值范圍為。答案：(-◎2)o解析:因?yàn)榉匠蘤(x)=0沒(méi)有正根，由圖易知；A=a2—4>0<an，-<0〔2>=-+1.或A=a2—4<0o解得：a<2o8、若關(guān)于x的不等式w%、丿■;ar/+a>0的解(I)x2+4x+3是-3<x<-1，或x>2，則a的值為()A)A)2B)-2D)D)解析：原不等式即(ax-2)(x-2)<0，a的范圍(C)-(C)(—8,—+)(C)(—8,—+)13(D)(—8,—石)Y(1,+8)jxI2<x<a—2a—1jxIx>2，答案：B解析：原不等式即(x+a)(x+1)(x+3)>0，由其解集易知a=-2。9、若f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是()(A)(1,+x)(B)(―也―1)答案：C亠—fm+1<0解析：由已知，<(m—1)2—12(m+1)(m—1)<013解得x<——。10、解關(guān)于x的不等式a(x—1)>1(a工1)。x—2答案：不等式的解集當(dāng)a<0時(shí)為]xI<x<2.、a—1‘a(chǎn)—2當(dāng)0<a<1時(shí)為<xI2<x<>；當(dāng)a=0時(shí)為①；[a—1J當(dāng)a>1時(shí)，為<xIx>2，或x<—_2>。a—1解析：原不等式可化為(a—°x+(2—a)>0，所x—2以(x—2)[(a—1)x+(2—a)]>0。a—2(1)當(dāng)a<0時(shí)，a—1<0,<2，原不等式的a—1解集為jxI2<x<2]；a—1a—2⑵當(dāng)0<a<1時(shí)，二J>2，原不等式的解集為(3)當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為0>1，所以xw①；(4)當(dāng)a>1時(shí)，^二彳<2，所以原不等式的解集為a—1a—2或x<a—111、某工廠生產(chǎn)商品M，若每件定價(jià)80元，則每年可銷售80萬(wàn)件。稅務(wù)部門對(duì)市場(chǎng)銷售的商品征收附加費(fèi)，為了既增加國(guó)家收入又有利于活躍市場(chǎng)，必須合理確定征收的稅率。根據(jù)調(diào)查分析，若政府對(duì)商品M征收的稅率為p%時(shí)，每年銷售減少10p萬(wàn)件，試問(wèn)：(1)若稅務(wù)部門對(duì)商品M每年所收稅金不少96萬(wàn)元，求p的取值范圍。在所收稅金不少于96萬(wàn)元的前提下，要讓廠家獲得最大的銷售金額，因如何確定p值若僅考慮每年稅收金額最高，又應(yīng)如何確定p值答案：⑴2<p<6。(2)p=2。(3)p=4。解析：(1)稅率為p%時(shí)，銷售量為80—10p萬(wàn)件，銷售金額為80(80—10p)萬(wàn)元(0<p<8)。由題意易得：]80(80—10p)-p%-96，解得2<p<6。銷售金額最大即80(80—10p)最大，由(1)可知，2<p<6，所以，當(dāng)p=2時(shí)，最大銷售金額為4800萬(wàn)元。由(1)知易知，銷售金額為80(80—10p)，故稅金為80(80—10p)-p%=—8(p—4)2+128，因?yàn)?<p<8，所以，p=4時(shí)，國(guó)家所得稅金最多，為128萬(wàn)元。12、若不等式ax2+bx+c>0的解集為(a,P)，且0<a<卩，求不等式cx2+b