2020高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯用語 1.2.1 命題與量詞學(xué)案 第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.1命題與量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解命題的含義，并會判斷其真假.2．理解全稱量詞與全稱量詞命題的定義．3．理解存在量詞與存在量詞命題的定義.4．能準(zhǔn)確地使用全稱量詞和存在量詞符號（即“?,?")來表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容．(重點)5．會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假．（重點、難點)1。通過對命題、全稱量詞、存在量詞的理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助全稱量詞命題和存在量詞命題的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算能力.1．命題可供真假判斷的陳述語句是命題,而且，判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題．2．全稱量詞和全稱量詞命題(1）一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，并用符號“?”表示．（2）含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x),q(x)，r（x),…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．3．存在量詞和存在量詞命題(1)“存在”“有"“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞,并用符號“?”表示．（2)含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題,存在量詞命題“存在集合M中的元素x,p（x)成立"，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請改寫成相應(yīng)命題的形式．提示:是存在量詞命題,可改寫為“存在x∈R,使ax2＋2x＋1＝0”．1．下列語句中，命題的個數(shù)為（）①空集是任何非空集合的真子集；②起立?、鄞怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線平行嗎?④若實數(shù)x,y滿足x2＋y2＝0,則x＝y(tǒng)＝0.A．1B．2C．3D．4B［①④為命題,②是祈使句,③是疑問句,都不是命題，故選B。］2．下列命題中，全稱量詞命題的個數(shù)為（)①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個菱形，它的四條邊不相等．A．0B．1C．2 D．3C[①②是全稱量詞命題，③是存在量詞命題．]3．下列存在量詞命題中真命題的個數(shù)是()①?x∈R，x≤0；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；③?x∈｛x｜x是整數(shù)}，x2是整數(shù)．A．0B．1C．2 D．3D[①②③都是真命題．]4．用存在量詞表示下列語句：“有一個實數(shù)乘以任意一個實數(shù)都等于0"表示為________．[答案]存在一個實數(shù)x，它乘以任意一個實數(shù)都等于0命題概念的核心要素【例1】（1)下列語句中為命題的是（）A．m＋n B．｛0}∈NC．函數(shù)與圖像 D．2x＞3(2)下列語句中不是命題的有________．（填序號）①無理數(shù)的平方是有理數(shù)嗎？②王明同學(xué)的素描多么精彩?。、廴魓，y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)；④請說普通話；⑤x2－xy＋y2≥0。(1）B（2）①②④[(1)只有B選項可判斷真假．(2）①不是命題，因為是疑問句不是陳述句；②④分別是感嘆句和祈使句，所以都不是命題;③⑤是命題，因為它們能判斷真假．］一般地，判定一個語句是不是命題，要先判斷這個語句是不是陳述句，再看能不能判斷真假．其流程圖如圖：1．下列語句中,是命題的為________．（填序號)①紅豆生南國；②作射線AB;③中國領(lǐng)土不可侵犯！④當(dāng)x≤1時，x2－3x＋2≤0。①④[②和③都不是陳述句,根據(jù)命題定義可知①④是命題．］命題真假的判斷【例2】下列命題是真命題的為()A．{x∈N｜x3＋1＝0｝不是空集B．若eq\f(1,x)＝eq\f(1，y），則x＝y(tǒng)C．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0D．若整數(shù)m是偶數(shù)，則m是合數(shù)B［A中，x∈N，x3≥0,{x∈N｜x3＋1＝0｝是空集，故為假命題；B中，由eq\f（1，x）＝eq\f(1，y）可推出x＝y(tǒng)；C中，因為a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋（b－1)2≥0，故是假命題；D中，2是偶數(shù)，但2是質(zhì)數(shù),故是假命題．]判斷命題真假性的兩個技巧(1）真命題:判斷一個命題為真命題時,會涉及學(xué)習(xí)過的概念、定理、公理、法則、公式等，借助于題目中的已知條件,經(jīng)過嚴(yán)格科學(xué)的推理論證得出要證的結(jié)論．（2）假命題：判斷一個命題為假命題時，只要舉一反例即可．2．下列四個命題為真命題的有(）①若x＞1,則x2＞1;②梯形不是平行四邊形；③全等三角形的面積相等．A．1個 B．2個C．3個 D．0個C［①②③是真命題．］全稱量詞和全稱量詞命題【例3】下列命題是全稱量詞命題的個數(shù)是(）①任何實數(shù)都有立方根；②所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；③有的平行四邊形是矩形；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0B．1C．2D．3D[命題①②含有全稱量詞,而命題④可以敘述為“每一個三角形的內(nèi)角和都是180°"，故有3個全稱量詞命題:①②④.]全稱量詞命題的常用表示形式:1所有的x∈M,rx;2對一切x∈M，rx；3對每一個x∈M，rx；4任選一個x∈M，rx；5任意x∈M，rx。3．下列不是全稱量詞命題的是()A．任何一個實數(shù)乘零都得零B．自然數(shù)都是整數(shù)C．高一（1)班絕大多數(shù)同學(xué)是團員D．每一個四邊形的內(nèi)角和都是180°C[“高一(1)班絕大多數(shù)同學(xué)是團員”，即“高一(1)班有的同學(xué)不是團員”，不是全稱量詞命題．］存在量詞和存在量詞命題【例4】下列命題中存在量詞命題的個數(shù)是（）①至少有一個偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；②?x∈R,x2－1＞0；③有的平行四邊形是菱形．A．0B．1C．2 D．3D[①中含有存在量詞“至少有一個"，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號“?”,所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”,所以是存在量詞命題．］存在量詞命題的常用表示形式：1存在x∈M，sx；2至少有一個x∈M，sx；3對有些x∈M，sx；4對某個x∈M，sx;5有一個x∈M，sx.)4．下列語句是存在量詞命題的是(）A．整數(shù)n是2和5的倍數(shù)B．存在整數(shù)n，使n能被7整除C．x＞7D．?x∈M，p（x)成立B［B選項中有存在量詞“存在”，故是存在量詞命題，A和C不是命題，D是全稱量詞命題.]全稱量詞命題和存在量詞命題的改寫【例5】用全稱量詞或存在量詞表示下列語句．（1）不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)當(dāng)x為有理數(shù)時，eq\f(1，3)x2＋eq\f(1，2)x＋1也是有理數(shù)；(3）方程3x－2y＝10有整數(shù)解．［解]（1)對任意實數(shù)x，不等式x2＋x＋1＞0成立．(2)對任意有理數(shù)x，eq\f（1,3)x2＋eq\f（1,2）x＋1是有理數(shù)．(3）存在一對整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立．1．判斷一個命題是存在量詞命題，還是全稱量詞命題，要根據(jù)命題中所含量詞來判斷．2．有些命題中表面上看并不含量詞，但從意義上理解卻含有“全部”“所有”等這樣的意思，也是全稱量詞命題．5．用全稱量詞或存在量詞表示下列語句．（1)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有實數(shù)解．[解](1)任意一個有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式．（2)存在實數(shù)x,使方程x2＋2x＋8＝0成立．全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷【例6】試判斷下面命題的真假．(1）?x∈R，x2＋2＞0;（2）?x∈N,x4≥1；(3)?x∈Z,x3＜1；（4)?x∈Q，x2＝3。［解](1）由于x∈R，都有x2≥0,因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命題“?x∈R，x2＋2＞0”是真命題．(2)由于0∈N，當(dāng)x＝0時，x4≥1不成立，所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題．(3）由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時，能使x3＜1，所以命題“?x∈Z，x3＜1"是真命題．（4)由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r（3），而它們都不是有理數(shù)．因此，任何一個有理數(shù)的平方都不等于3,所以命題“?x∈Q，x2＝3"是假命題．1．要判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定的集合M中的每一個元素x，驗證p（x)成立;要判定一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使p（x0)不成立即可．2．判斷一個存在量詞命題真假的依據(jù):若在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立，則這個存在量詞命題是真命題,否則是假命題．6．判斷下列命題的真假．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點P；(2)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示;(3)存在一個實數(shù)x，使等式x2＋x＋8＝0成立．［解］（1）真命題.(2)假命題，如邊長為1的正方形的對角線長eq\r（2)，它的長度就不能用有理數(shù)表示．(3）假命題，因為該方程的判別式Δ＝－31＜0，故無實數(shù)解．1．根據(jù)命題的意義，可以判斷真假的陳述句是命題,真命題要給出證明，假命題只需舉一反例即可．2．判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱量詞命題雖然不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷．3．要確定一個全稱量詞命題是真命題,需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例說明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題．4．要確定一個存在量詞命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題。1．下列語句不是命題的有()①若a〉b，b>c，則a〉c；②x〉2；③3〈7。A．0個B．1個C．2個D．3個B[①③是可以判斷真假的陳述句,是命題；②不能判斷真假，不是命題．]2．下列命題是存在量詞命題的是（)A．對頂角相等B．正方形都是四邊形C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在實數(shù)大于等于1D[選項D中含有存在量詞“存在”，所以根據(jù)存在量詞命題的定義知選D.]3．下列命題：①所有合數(shù)都是偶數(shù);②x∈R