多元線性回歸管理及財務(wù)知識分析模型課件

第四章多元線性回歸模型1第四章多元線性回歸模型1第一節(jié)多元線性回歸模型的概念

在許多實際問題中，我們所研究的因變量的變動可能不僅與一個解釋變量有關(guān)。因此，有必要考慮線性模型的更一般形式，即多元線性回歸模型：

t=1,2,…,n在這個模型中，Y由X1、X2、X3、…XK所解釋，有K+1個未知參數(shù)β0、β1、β2、…βK。

這里，“斜率”βj的含義是其它變量不變的情況下，Xj改變一個單位對因變量所產(chǎn)生的影響。2第一節(jié)多元線性回歸模型的概念2

例1：

其中，Y=在食品上的總支出X=個人可支配收入P=食品價格指數(shù)用美國1959-1983年的數(shù)據(jù)，得到如下回歸結(jié)果（括號中數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：Y和X的計量單位為10億美元(按1972不變價格計算).3例1：Y和X的計量單位為10億美元(按1972不變價格多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義上例中斜率系數(shù)的含義說明如下：價格不變的情況下，個人可支配收入每上升10億美元（1個billion），食品消費支出增加1.12億元（0.112個billion）。收入不變的情況下，價格指數(shù)每上升一個點，食品消費支出減少7.39億元（0.739個billion）4多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義4例2：其中，Ct=消費，Dt=居民可支配收入Lt=居民擁有的流動資產(chǎn)水平β2的含義是，在流動資產(chǎn)不變的情況下，可支配收入變動一個單位對消費額的影響。這是收入對消費額的直接影響。收入變動對消費額的總影響=直接影響+間接影響。（間接影響：收入影響流動資產(chǎn)擁有量影響消費額）但在模型中這種間接影響應(yīng)歸因于流動資產(chǎn)，而不是收入，因而，β2只包括收入的直接影響。

在下面的模型中：這里，β是可支配收入對消費額的總影響，顯然β和β2的含義是不同的。5例2：5回到一般模型

t=1,2,…，n即對于n組觀測值，有6回到一般模型6其矩陣形式為：

其中

7其矩陣形式為：7第二節(jié)多元線性回歸模型的估計多元線性回歸模型的估計與雙變量線性模型類似，仍采用OLS法。當(dāng)然，計算要復(fù)雜得多，通常要借助計算機。理論推導(dǎo)需借助矩陣代數(shù)。下面給出普通最小二乘法應(yīng)用于多元線性回歸模型的假設(shè)條件、估計結(jié)果及所得到的估計量的性質(zhì)。一．假設(shè)條件（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n（2）E(uiuj)=0,i≠j（3）E(ut2)=σ2,t=1,2,…,n（4）Xjt是非隨機量，j=1,2,…kt=1,2,…n8第二節(jié)多元線性回歸模型的估計8

除上面4條外，在多個解釋變量的情況下，還有兩個條件需要滿足：（5）（K+1）<n;即觀測值的數(shù)目要大于待估計的參數(shù)的個數(shù)（要有足夠數(shù)量的數(shù)據(jù)來擬合回歸線）。（6）各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系。上述假設(shè)條件可用矩陣表示為以下四個條件：9除上面4條外，在多個解釋變量的情況下，還有兩個條件需A1.E(u)=0

A2.由于顯然，僅當(dāng)

E(uiuj)=0,i≠jE(ut2)=σ2,t=1,2,…,n這兩個條件成立時才成立，因此，此條件相當(dāng)前面條件(2),(3)兩條，即各期擾動項互不相關(guān)，并具有常數(shù)方差。10A1.E(u)=010

A3.X是一個非隨機元素矩陣。

A4.Rank(X)=(K+1)<n.

------相當(dāng)于前面(5)、(6)兩條即矩陣X的秩=（K+1)<n

當(dāng)然，為了后面區(qū)間估計和假設(shè)檢驗的需要，還要加上一條：A5.～，t=1,2,…n11 11二．最小二乘估計我們的模型是：

t=1,2,…n問題是選擇，使得殘差平方和最小。

殘差為：12二．最小二乘估計12要使殘差平方和

為最小，則應(yīng)有：我們得到如下K+1個方程（即正規(guī)方程）：

13要使殘差平方和13按矩陣形式，上述方程組可表示為：14按矩陣形式，上述方程組可表示為：14=即15=即15三.最小二乘估計量的性質(zhì)我們的模型為估計式為

1．的均值16三.最小二乘估計量的性質(zhì)16（由假設(shè)3）(由假設(shè)1)即這表明，OLS估計量是無偏估計量。17（由假設(shè)3）172．的方差為求Var()，我們考慮

182．的方差18不難看出，這是的方差-協(xié)方差矩陣，它是一個(K+1)×(K+1)矩陣，其主對角線上元素為各系數(shù)估計量的方差，非主對角線上元素為各系數(shù)估計量的協(xié)方差。19不難看出，這是的方差-協(xié)方差矩陣，它是一個(K+1)×由上一段的(4.5)式，我們有因此20由上一段的(4.5)式，我們有20請注意，我們得到的實際上不僅是的方差，而且是一個方差-協(xié)方差矩陣，為了反映這一事實，我們用下面的符號表示之：為方便起見，我們也常用Var()表示的方差-協(xié)方差矩陣，因此上式亦可寫作：需要注意的是，這里不表示方差向量，而是方差-協(xié)方差矩陣。21請注意，我們得到的實際上不僅是的方差，而且是3．2的估計與雙變量線性模型相似，2的無偏估計量是

分母是的自由度，這是因為我們在估計的過程中，失去了（K+1）個自由度。4．高斯-馬爾科夫定理對于以及標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件A1－A4，普通最小二乘估計量是最佳線性無偏估計量（BLUE）223．2的估計22我們已在上一段中證明了無偏性，下面證明線性和最小方差性。證明的路子與雙變量模型中類似，只不過這里我們采用矩陣和向量的形式。由OLS估計量的公式

可知,可表示為一個矩陣和因變量觀測值向量的乘積：其中是一個(K+1)*n非隨機元素矩陣。因而是線性估計量。23我們已在上一段中證明了無偏性，下面證明線性和最小方差現(xiàn)設(shè)為的任意一個線性無偏估計量，即其中是一個(K+1)*n非隨機元素矩陣。則

顯然，若要為無偏估計量，即，只有，為（K+1）階單位矩陣。24現(xiàn)設(shè)為的任意一個線性無偏估計量，即24的方差為：

我們可將寫成

從而將的任意線性無偏估計量與OLS估計量聯(lián)系起來。25的方差為：25由可推出：即

因而有由從而，因此上式中間兩項為0，我們有26由可推出：26因此

最后的不等號成立是因為為半正定矩陣。這就證明了OLS估計量是的所有線性無偏估計量中方差最小的。至此，我們證明了高斯-馬爾科夫定理。27因此27第三節(jié)擬合優(yōu)度一．決定系數(shù)R2對于雙變量線性模型Y=α+βX+u我們有其中，=殘差平方和28第三節(jié)擬合優(yōu)度28對于多元線性模型

我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)：為方便計算，我們也可以用矩陣形式表示R229對于多元線性模型29

我們有：殘差其中，殘差平方和：3030而

將上述結(jié)果代入R2的公式，得到：這就是決定系數(shù)R2的矩陣形式。31而這就是決定系數(shù)31二．修正決定系數(shù)：

殘差平方和的一個特點是，每當(dāng)模型增加一個解釋變量，并用改變后的模型重新進行估計，殘差平方和的值會減小。由此可以推論，決定系數(shù)是一個與解釋變量的個數(shù)有關(guān)的量：解釋變量個數(shù)增加減小R2

增大也就是說，人們總是可以通過增加模型中解釋變量的方法來增大R2的值。因此，用R2來作為擬合優(yōu)度的測度，不是十分令人滿意的。為此，我們定義修正決定系數(shù)（Adjusted）如下：32二．修正決定系數(shù)：323333是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。我們有：（1）（2）僅當(dāng)K=0時，等號成立。即

（3）當(dāng)K增大時，二者的差異也隨之增大。

（4）可能出現(xiàn)負值。34是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。34三．例子下面我們給出兩個簡單的數(shù)值例子，以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容.例1 Yt=1+2X2t+3X3t+ut設(shè)觀測數(shù)據(jù)為：Y：31835X2：31524X3：54646試求各參數(shù)的OLS估計值，以及。解：我們有35三．例子353636373738383939

例2.設(shè)n=20,k=3,R2=0.70，求。解：下面改變n的值，看一看的值如何變化。我們有若n=10，則=0.55若n=5，則=-0.20

由本例可看出，有可能為負值。這與R2不同（）。40例2.設(shè)n=20,k=3,R2

第四節(jié)非線性關(guān)系的處理

迄今為止，我們已解決了線性模型的估計問題。但在實際問題中，變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系，經(jīng)濟變量間的非線性關(guān)系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù):

就是一例。在這樣一些非線性關(guān)系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個問題。41第四節(jié)非線性關(guān)系的處理41一.線性模型的含義

線性模型的基本形式是:其特點是可以寫成每一個解釋變量和一個系數(shù)相乘的形式。線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以X2或Xβ之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。（2）參數(shù)的線性

因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。42一.線性模型的含義42二．線性化方法

對于線性回歸分析，只有第二種類型的線性才是重要的，因為變量的非線性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決。例如，對于

此方程的變量和參數(shù)都是線性的。43二．線性化方法43

參數(shù)的非線性是一個嚴(yán)重得多的問題，因為它不能僅憑重定義來處理?？墒?，如果模型的右端由一系列的Xβ或eβX項相乘，并且擾動項也是乘積形式的，則該模型可通過兩邊取對數(shù)線性化。例如，需求函數(shù)

其中，Y=對某商品的需求X=收入P=相對價格指數(shù)

ν=擾動項可轉(zhuǎn)換為：44參數(shù)的非線性是一個嚴(yán)重得多的問題，因為它不能僅憑重

用X,Y,P的數(shù)據(jù)，我們可得到logY,logX和logP,從而可以用OLS法估計上式。logX的系數(shù)是β的估計值，經(jīng)濟含義是需求的收入彈性，logP的系數(shù)將是γ的估計值，即需求的價格彈性。彈性（elasticity）是一變量變動1%所引起的另一變量變動的百分比。其定義為

本例中，需求的收入彈性是收入變化1%，價格不變時所引起的商品需求量變動的百分比。需求的價格彈性是價格變化1%，收入不變時所引起的商品需求量變動的百分比。45用X,Y,P的數(shù)據(jù)，我們可得到logY,logX和log三．例子例1需求函數(shù)本章§1中，我們曾給出一個食品支出為因變量，個人可支配收入和食品價格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子（例4.1）?，F(xiàn)用這三個變量的對數(shù)重新估計（采用同樣的數(shù)據(jù)），得到如下結(jié)果（括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：回歸結(jié)果表明，需求的收入彈性是0.64,需求的價格彈性是-0.48，這兩個系數(shù)都顯著異于0。46三．例子46

例2．柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)

用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國1899-1922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計經(jīng)過線性化變換的模型得到如下結(jié)果（括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：

從上述結(jié)果可以看出，產(chǎn)出的資本彈性是0.23，產(chǎn)出的勞動彈性為0.81。47例2．柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)47例3．貨幣需求量與利率之間的關(guān)系

M=a(r-2)b這里，變量非線性和參數(shù)非線性并存。對此方程采用對數(shù)變換

logM=loga+blog(r-2)令Y=logM,X=log(r-2),β1=loga,β2=b則變換后的模型為：

Yt=β1+β2Xt+ut

48例3．貨幣需求量與利率之間的關(guān)系令Y=logM,X=lo

將OLS法應(yīng)用于此模型，可求得β1和β2的估計值，從而可通過下列兩式求出a和b估計值：

應(yīng)當(dāng)指出，在這種情況下，線性模型估計量的性質(zhì)（如BLUE,正態(tài)性等）只適用于變換后的參數(shù)估計量，而不一定適用于原模型參數(shù)的估計量和。49將OLS法應(yīng)用于此模型，可求得β1和β2的估計值例4．上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時，我們實際上給模型加進了一個結(jié)束條件。根據(jù)理論假設(shè)，在某一利率水平上，貨幣需求量在理論上是無窮大。我們假定這個利率水平為2%。假如不給這一約束條件，而是從給定的數(shù)據(jù)中估計該利率水平的值，則模型變?yōu)椋?/p>

M=a(r-c)b

式中a,b,c均為參數(shù)。仍采用對數(shù)變換，得到

log(Mt)=loga+blog(rt-c)+utt=1,2,…,n

我們無法將log(rt-c)定義為一個可觀測的變量X,因為這里有一個未知量c。也就是說，此模型無法線性化。在這種情況下，只能用估計非線性模型參數(shù)值的方法。50例4．上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時，我們實際上給四．非線性回歸

模型Y=a(X-c)b是一個非線性模型，a、b和c是要估計的參數(shù)。此模型無法用取對數(shù)的方法線性化，只能用非線性回歸技術(shù)進行估計，如非線性最小二乘法（NLS）。該方法的原則仍然是殘差平方和最小。計量經(jīng)濟軟件包通常提供這類方法，這里給出有關(guān)非線性回歸方法的大致步驟如下：51四．非線性回歸51非線性回歸方法的步驟1． 首先給出各參數(shù)的初始估計值（合理猜測值）;2． 用這些參數(shù)值和X觀測值數(shù)據(jù)計算Y的各期預(yù)測值（擬合值）;3．計算各期殘差，然后計算殘差平方和∑e2;4．對一個或多個參數(shù)的估計值作微小變動；5．計算新的Y預(yù)測值、殘差平方和∑e2；6．若新的∑e2小于老的∑e2，說明新參數(shù)估計值優(yōu)于老估計值，則以它們作為新起點；7．重復(fù)步驟4，5，6，直至無法減小∑e2為止。8．最后的參數(shù)估計值即為最小二乘估計值。52非線性回歸方法的步驟52

第五節(jié)假設(shè)檢驗一．系數(shù)的顯著性檢驗1． 單個系數(shù)顯著性檢驗?zāi)康氖菣z驗?zāi)硞€解釋變量的系數(shù)βj是否為0，即該解釋變量是否對因變量有影響。原假設(shè)H0：βj=0備擇假設(shè)H1：βj≠0

53第五節(jié)假設(shè)檢驗53單個系數(shù)顯著性檢驗的檢驗統(tǒng)計量是自由度為n-k-1的t統(tǒng)計量：～t(n-k-1)其中，為矩陣主對角線上第j+1個元素。而54單個系數(shù)顯著性檢驗的檢驗統(tǒng)計量是自由度為n-k-1的t例：柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國1899-1922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計經(jīng)過線性變換的模型得到如下結(jié)果（括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：請檢驗“斜率”系數(shù)和的顯著性。55例：柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)請檢驗“斜率”系數(shù)和的顯著性。解：(1)檢驗的顯著性

原假設(shè)H0：

=0

備擇假設(shè)H1：

≠0

由回歸結(jié)果，我們有：t＝0.23/0.06=3.83用=24－3＝21查t表，5%顯著性水平下，tc＝2.08.∵t＝3.83tc＝2.08，故拒絕原假設(shè)H0。結(jié)論：顯著異于0。56解：(1)檢驗的顯著性56(2)檢驗的顯著性原假設(shè)H0：

=0

備擇假設(shè)H1：

≠0由回歸結(jié)果，我們有：t＝0.81/0.15=5.4∵t＝5.4tc＝2.08，故拒絕原假設(shè)H0。結(jié)論：顯著異于0。57572．若干個系數(shù)的顯著性檢驗（聯(lián)合假設(shè)檢驗）

有時需要同時檢驗若干個系數(shù)是否為0，這可以通過建立單一的原假設(shè)來進行。設(shè)要檢驗g個系數(shù)是否為0，即與之相對應(yīng)的g個解釋變量對因變量是否有影響。不失一般性，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為：H0:β1=β2=…=βg

=0H1:

H0不成立

(即X1,…Xg中某些變量對Y有影響)582．若干個系數(shù)的顯著性檢驗（聯(lián)合假設(shè)檢驗）58分析：這實際上相當(dāng)于檢驗g個約束條件β1=0，β2=0，…，βg

=0是否同時成立。若H0為真，則正確的模型是：

據(jù)此進行回歸（有約束回歸），得到殘差平方和

SR是H0為真時的殘差平方和。

59分析：這實際上相當(dāng)于檢驗g個約束條件59若H1為真，正確的模型即原模型：據(jù)此進行無約束回歸（全回歸），得到殘差平方和S是H1為真時的殘差平方和。60若H1為真，正確的模型即原模型：據(jù)此進行無約束回歸（全回歸）

如果H0為真，則不管X1,…Xg這g個變量是否包括在模型中，所得到的結(jié)果不會有顯著差別，因此應(yīng)該有：

S≈SR如果H1為真，則由上一節(jié)中所討論的殘差平方和∑e2的特點，無約束回歸增加了變量的個數(shù)，應(yīng)有

S<SR通過檢驗二者差異是否顯著地大，就能檢驗原假設(shè)是否成立。61如果H0為真，則不管X1,…Xg這g個變量是否包括在模型所使用的檢驗統(tǒng)計量是：

～F(g,n-k-1)其中，g為分子自由度，n-k-1為分母自由度。使用的作用是消除具體問題中度量單位的影響，使計算出的F值是一個與度量單位無關(guān)的量。62所使用的檢驗統(tǒng)計量是：62例：給定20組Y,X1,X2,X3的觀測值，試檢驗?zāi)Ｐ椭蠿1和X3對Y是否有影響？解：（1）全回歸估計得到：S=∑e2=25（2）有約束回歸

估計得到：SR=∑e2=3063例：給定20組Y,X1,X2,X3的觀測值，試檢驗?zāi)Ｐ驮僭O(shè)H0:β1=

β3=0備擇假設(shè)H1:

H0不成立我們有：n=20,g=2,k=3用自由度（2，16）查F分布表，5%顯著性水平下，

∵F=1.6<FC=3.63,故接受H0。結(jié)論：X1和X3對Y無顯著影響64原假設(shè)H0:β1=β3=0用自由3．全部斜率系數(shù)為0的檢驗

上一段結(jié)果的一個特例是所有斜率系數(shù)均為0的檢驗，即回歸方程的顯著性檢驗：H0：β1=β2=…=βK=0也就是說，所有解釋變量對Y均無影響。注意到g=K，

則該檢驗的檢驗統(tǒng)計量為：

653．全部斜率系數(shù)為0的檢驗65

分子分母均除以，有

從上式不難看出，全部斜率為0的檢驗實際是檢驗R2的值是否顯著異于0，如果接受原假設(shè)，則表明因變量的行為完全歸因于隨機變化。若拒絕原假設(shè)，則表明所選擇模型對因變量的行為能夠提供某種程度的解釋。66分子分母均除以二．檢驗其他形式的系數(shù)約束條件

上面所介紹的檢驗若干個系數(shù)顯著性的方法，也可以應(yīng)用于檢驗施加于系數(shù)的其他形式的約束條件，如

檢驗的方法仍是分別進行有約束回歸和無約束回歸，求出各自的殘差平方和SR和S，然后用F統(tǒng)計量進行檢驗。當(dāng)然，單個系數(shù)的假設(shè)檢驗，如H0：3=1.0，亦可用t檢驗統(tǒng)計量進行檢驗。67二．檢驗其他形式的系數(shù)約束條件67例：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)

Y=AKαLβν

試根據(jù)美國制造業(yè)1899-1922年數(shù)據(jù)檢驗規(guī)模效益不變的約束：α+β=1解：（1）全回歸

68例：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)68（2）有約束回歸：將約束條件代入，要回歸的模型變?yōu)椋?/p>

Y=AKαL1-αν為避免回歸系數(shù)的不一致問題，兩邊除以L，模型變換為：

Y/L=A(K/L)αν

回歸，得：69（2）有約束回歸：回歸，得：69

由回歸結(jié)果得到的約束回歸和全回歸的殘差平方和分別為SR=0.0716S=0.0710（3）檢驗原假設(shè)H0:α+β＝1備擇假設(shè)H1:α+β≠1

本例中，g=1,K=2,n=24

70由回歸結(jié)果得到的約束回歸和全回歸的殘差平方和分

用自由度（1，21）查F表，5%顯著性水平下，F(xiàn)c=4.32∵F=0.18<Fc=4.32故接受原假設(shè)H0:α+β＝1（4）結(jié)論我們的數(shù)據(jù)支持規(guī)模收益不變的假設(shè)。71用自由度（1，21）查F表，5%顯著性水平下第六節(jié)

預(yù)測

我們用OLS法對多元回歸模型的參數(shù)進行了估計之后，如果結(jié)果理想，則可用估計好的模型進行預(yù)測。與雙變量模型的作法類似，預(yù)測指的是對諸自變量的某一組具體值

來預(yù)測與之相對應(yīng)的因變量值。當(dāng)然，要進行預(yù)測，有一個假設(shè)前提應(yīng)當(dāng)滿足，即擬合的模型在預(yù)測期也成立。

72第六節(jié)預(yù)測72點預(yù)測值由與給定的諸X值對應(yīng)的回歸值給出，即

而預(yù)測期的實際Y值由下式給出：

其中u0是從預(yù)測期的擾動項分布中所取的值。73點預(yù)測值由與給定的諸X值對應(yīng)的回歸值給出，即73預(yù)測誤差可定義為：兩邊取期望值，得因此，OLS預(yù)測量是一個無偏預(yù)測量。74預(yù)測誤差可定義為：兩邊取期望值，得因此，OLS預(yù)測量是一個無

預(yù)測誤差的方差為：從e0的定義可看出，e0為正態(tài)變量的線性函數(shù)，因此，它本身也服從正態(tài)分布。故75預(yù)測誤差的方差為：從e0的定義可看出，e0為正態(tài)由于為未知，我們用其估計值代替它，有

則的95%置信區(qū)間為：即

76由于為未知，我們用其估計值76例用書上P85例4.3的數(shù)據(jù)，預(yù)測X2=10，X3=10的Y值。

解：

由例4.3我們已得到：

77例用書上P85例4.3的數(shù)據(jù)，預(yù)測X2=10，X3=10的因此

的95%置信區(qū)間為：或3.66至24.34之間.78因此78

第七節(jié)虛擬變量（Dummyvariables）一．虛擬變量的概念

在回歸分析中，常常碰到這樣一種情況，即因變量的波動不僅依賴于那種能夠很容易按某種尺度定量化的變量（如收入、產(chǎn)出、價格、身高、體重等），而且依賴于某些定性的變量（如性別、地區(qū)、季節(jié)等）。在經(jīng)濟系統(tǒng)中，許多變動是不能定量的。如政府的更迭（工黨-保守黨）、經(jīng)濟體制的改革、固定匯率變?yōu)楦訁R率、從戰(zhàn)時經(jīng)濟轉(zhuǎn)為和平時期經(jīng)濟等。

79第七節(jié)虛擬變量（Dummyvariables）79這樣一些變動都可以用0-1變量來表示，用1表示具有某一“品質(zhì)”或?qū)傩裕?表示不具有該“品質(zhì)”或?qū)傩?。這種變量在計量經(jīng)濟學(xué)中稱為“虛擬變量”。虛擬變量使得我們可以將那些無法定量化的變量引入回歸模型中。下面給出幾個可以引入虛擬變量的例子。例1：你在研究學(xué)歷和收入之間的關(guān)系，在你的樣本中，既有女性又有男性，你打算研究在此關(guān)系中，性別是否會導(dǎo)致差別。80這樣一些變動都可以用0-1變量來表示，用1表例2：你在研究某省家庭收入和支出的關(guān)系，采集的樣本中既包括農(nóng)村家庭，又包括城鎮(zhèn)家庭，你打算研究二者的差別。例3：你在研究通貨膨脹的決定因素，在你的觀測期中，有些年份政府實行了一項收入政策。你想檢驗該政策是否對通貨膨脹產(chǎn)生影響。上述各例都可以用兩種方法來解決，一種解決方法是分別進行兩類情況的回歸，然后檢驗參數(shù)是否不同。另一種方法是用全部觀測值作單一回歸，將定性因素的影響用虛擬變量引入模型。

81例2：你在研究某省家庭收入和支出的關(guān)系，采集的樣本中既包括農(nóng)二．虛擬變量的使用方法1． 截距變動設(shè)Y表示消費，X表示收入，我們有：

}假定β不變。對于5年戰(zhàn)爭和5年和平時期的數(shù)據(jù)，我們可分別估計上述兩個模型，一般將給出的不同值。現(xiàn)引入虛擬變量D,將兩式并為一式：

其中，

82二．虛擬變量的使用方法82此式等價于下列兩式：

}截距變動，斜率不變

在包含虛擬變量的模型中，D的數(shù)據(jù)為0，0，0，0，0，1，1，1，1，1。估計結(jié)果如下圖所示：

應(yīng)用t檢驗，β2是否顯著可以表明截距項在兩個時期是否有變化。83此式等價于下列兩式：832． 斜率變動如果我們認為戰(zhàn)時和平時的消費函數(shù)中，截距項不變，而斜率不同，即β變動，則可用下面的模型來研究兩個時期邊際消費傾向的差異：

其中，D={

不難看出，上式相當(dāng)于下列兩式：

同樣，包括虛擬變量的模型中，β2是否顯著可以表明斜率在兩個時期是否變化。842． 斜率變動843．斜率和截距都變動在這種情況下，模型可設(shè)為：

其中，D={

此式等價于下列兩個單獨的回歸式：引進了虛擬變量的回歸模型對于檢驗兩個時期中是否發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化很方便。如上例中，相當(dāng)于檢驗H0:β2=β4=0853．斜率和截距都變動引進了虛擬變量的回歸模型對4．季節(jié)虛擬變量的使用

許多變量展示出季節(jié)性的變異(如商品零售額、電和天然氣的消費等)，我們在建立模型時應(yīng)考慮這一點，這有兩種方法：（1）在估計前對數(shù)據(jù)進行季節(jié)調(diào)整；（2）采用虛擬變量將季節(jié)性差異反映在模型中。

864．季節(jié)虛擬變量的使用86例：設(shè)Y=購買汽車的實際支出額X=實際總消費支出用美國1973(1)-1980(2)的季度數(shù)據(jù)（按1975年價格計算），得回歸結(jié)果如下：這一結(jié)果很不理想，低R2值，低t值，X的符號也不對?？紤]到可能是季節(jié)性變異的問題，我們建立下面的模型：87例：設(shè)Y=購買汽車的實際支出額這一結(jié)果很不理想，低R2值，低

其中，

各季度的截距分別為：1季度：0+12季度：0+23季度：0+34季度：0請注意我們僅用了3個虛擬變量就可表示4個季度的情況。88其中，各季度的截距分別為：請注意我們僅用了3個虛擬變量就估計結(jié)果如下：

結(jié)果仍不理想，但好多了。四個季度的截距項分別為：-1039.2，-1122.7，-1161.4，-1455.8。所得到的實際總支出的參數(shù)估計值（0.1044）是一個不受季節(jié)變動影響的估計值。89估計結(jié)果如下：895.虛擬變量陷阱我們在上一段中用三個虛擬變量表示四個季度的情況。能不能用四個虛擬變量來區(qū)分四個季度呢？答案是絕對不行。因為這將在X矩陣中增加一列（虛擬變量Q4的觀測值列），四季度為1，其它季度為0。不難看出，在這種情況下，四個虛擬變量在X矩陣中的觀測值列相加，就得到一個所有元素都為1的列向量，與X矩陣中第一列（截距項列）完全相同，表明X矩陣各列線性相關(guān)，矩陣的秩小于k＋1，不滿足假設(shè)條件（4），OLS估計無法進行。這就是所謂的“虛擬變量陷阱（Dummyvariabletrap）”因此，若定性變量有m個類別，則僅需引入（m－1）個虛擬變量。如果引入m個虛擬變量，則會畫蛇添足，陷入虛擬變量陷阱。905.虛擬變量陷阱因此，若定性變量有m個類別，則僅需引入（m*第八節(jié)極大似然法

與普通最小二乘法相比，一個具有更強的理論性質(zhì)的點估計方法是極大似然法（MaximumLikelihoodmethod，ML）。極大似然法的一般概念是，設(shè)是隨機變量X的密度函數(shù)，若有一隨機樣本X1，X2，…XN，則的極大似然估計值是具有產(chǎn)生該觀測樣本的最高概率的那個值，或者換句話說，的極大似然估計值是使密度函數(shù)達到最大的值。下面讓我們通過一個例子來進一步說明極大似然法的概念。91*第八節(jié)極大似然法91一、似然的概念一個樣本發(fā)生的概率稱為該樣本的似然。例如，拋一枚不均衡的硬幣10次，得到4次正面。根據(jù)二項分布，我們有

其中X=出現(xiàn)正面的次數(shù)p=一次拋擲中出現(xiàn)正面的概率，即P(正面)根據(jù)似然的定義，P(X=4)是當(dāng)P(正面)=p時，X=4的似然。我們有：92一、似然的概念92由于p是未知的，我們可以通過選擇一個值來估計它，這個使似然最大，或者說，這個值給出該樣本結(jié)果的可能性最大。我們可以通過下面兩種方法求得。（1）迭代法試不同的值，找出使似然最大的值。在本例中，由于p=0.4時P(X=4)=0.251為最大，即這個值最有可能給出10次拋擲中出現(xiàn)4次正面的結(jié)果，因此=0.4。（2）計算法設(shè),令，求得使L達到最大的p值。計算結(jié)果，=0.4。93由于p是未知的，我們可以通過選擇一個值來二、正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計給定一個取自正態(tài)分布的隨機樣本X1，X2,…Xn，我們希望估計總體均值μ和總體方差。我們有該樣本的似然

L=P(樣本值為X1,X2,…Xn)94二、正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計94令我們可求得：我們有而這表明：95令我三、雙變量線性回歸模型的極大似然估計模型：假設(shè)（與最小二乘法相同）：由假設(shè)我們有因而~96三、雙變量線性回歸模型的極大似然估計由假設(shè)我們有~96故對于Y1,Y2,…Yn，有當(dāng)L被看作是參數(shù)的函數(shù)時，稱為似然函數(shù)，表示為，極大似然法要求我們選擇使似然函數(shù)達到最大的參數(shù)估計值。在很多情況下，極大化似然函數(shù)的對數(shù)要比極大化似然函數(shù)本身方便一些，并且結(jié)果相同，因為二者在相同的點獲得最大值，因此我們寫出的對數(shù)：97故對于Y1,Y2,…Yn，有當(dāng)L被看作是參數(shù)令得：不難看出，前兩式與用普通最小二乘法得出的正規(guī)方程相同，故。但最后一式表明，的極大似然估計量與最小二乘估計量不同。98令得：不難看出，前兩式與用普通最小二乘法得出的正規(guī)方最小二乘估計量是一個無偏估計量。而這表明是一個有偏估計量。不難看出，當(dāng)樣本容量趨向無窮時，即是一個漸近無偏估計量。99最小二乘估計量四、極大似然估計量的性質(zhì)1.從上面的分析可看出，在小樣本情況下，ML估計量不一定是無偏的（如），但在大樣本情況下，具有漸近無偏性。2.可以證明，ML估計量是一致估計量。3.可以證明，在大樣本情況下，ML估計量服從正態(tài)分布，且為最有效的估計量，即對于任何無偏估計量，有由此可得出如下結(jié)論：在大樣本的情況下，ML估計量比OLS估計量更有效。100四、極大似然估計量的性質(zhì)由此可得出如下結(jié)論：在大樣本五、似然比(LR)檢驗、沃爾德(W)檢驗與拉格朗日乘數(shù)(LM)檢驗似然比檢驗（LikelihoodRatioTest,LR）、瓦爾德檢驗（WaldTest,W）和拉格朗日乘數(shù)檢驗（LagrangeMultiplierTest,LM）是三種基于極大似然法的大樣本檢驗方法。我們在第五節(jié)中介紹的F檢驗適用于檢驗CLR模型的線性約束條件。如果施加于模型的約束是非線性的，模型存在參數(shù)非線性，或者擾動項的分布不是正態(tài)的，在這些情況下，F(xiàn)檢驗就不再適用，通常需要采用LR、W和LM這三個檢驗方法中的一個來檢驗約束條件是否成立。這三個檢驗統(tǒng)計量基于三個不同的原理，我們用圖4－4來解釋之。101五、似然比(LR)檢驗、沃爾德(W)檢驗與拉格朗日乘數(shù)(LM

圖4－4LR、W、LM統(tǒng)計量的直觀解釋102圖4－4LR、W、LM統(tǒng)計量的直觀解釋102設(shè)θ表示模型中的參數(shù)集（如雙變量線性模型中，θ由三個參數(shù)組成），L(θ)為似然函數(shù)，表示無約束極大似然估計值（unrestrictedMSE），表示有約束極大似然估計值（restrictedMSE）。W檢驗僅用，LM檢驗僅用，LR檢驗二者都要用。也就是說,LR檢驗既需要對無約束方程又需要對有約束方程進行極大似然估計,W檢驗僅需對無約束方程進行極大似然估計,LM檢驗僅需對有約束方程進行極大似然估計。在很多情況下，計算有約束極大似然估計值較容易，因為方程相對簡單。這也是LM檢驗法非常流行的原因。103設(shè)θ表示模型中的參數(shù)集（如雙變量線性模型中，θ由三個參數(shù)1．LM檢驗和W檢驗令我們有：E[S(θ)]=0,var[S(θ)]=I(θ),并且，若是極大似然估計值（MLE），則1041．LM檢驗和W檢驗104LM檢驗的邏輯是，如果原假設(shè)是關(guān)于θ的某些約束條件成立，則對于有約束極大似然估計值，應(yīng)該有因此LM檢驗統(tǒng)計量為其中k為約束的數(shù)目。LM檢驗有幾種形式，取決于如何被估計。如果顯著不同于，或者原假設(shè)不成立，將顯著異于0。W檢驗則使用無約束極大似然估計值的協(xié)方差矩陣來構(gòu)造原假設(shè)的檢驗。105LM檢驗的邏輯是，如果原假設(shè)是關(guān)于θ的某些約束條件成立，則對

2．LR檢驗LR檢驗法的思路與本節(jié)前面討論的聯(lián)合假設(shè)檢驗一樣，分別進行無約束回歸和有約束回歸，算出無約束和有約束情況下的L(θ)最大值，然后計算比率由于約束條件下的L(θ)最大值小于無約束條件下的L(θ)最大值，因而λ必然小于1。如果約束條件（原假設(shè)）不成立，λ將顯著小于1；如果約束條件（原假設(shè)）成立，則λ將接近于1。LR檢驗使用的檢驗統(tǒng)計量為－2Lnλ，該檢驗統(tǒng)計量服從自由度為k的分布，k為約束的數(shù)目。1062．LR檢驗1063．用于檢驗線性約束的LR、W和LM檢驗統(tǒng)計量對于線性約束的檢驗，似然比檢驗統(tǒng)計量為其中RRSS＝有約束殘差平方和URSS＝無約束殘差平方和n＝觀測值個數(shù)LR服從自由度為k的分布，k為約束的數(shù)目。1073．用于檢驗線性約束的LR、W和LM檢驗統(tǒng)計量其中RRS這三個大樣本檢驗方法用于雙變量線性模型中檢驗原假設(shè)的檢驗統(tǒng)計量為這三者都服從自由度為1的分布。108這三個大樣本檢驗方法用于雙變量線性模型中檢驗原假設(shè)實踐中三種檢驗法的選擇問題當(dāng)面臨具有相同漸近性質(zhì)的幾種統(tǒng)計量時，計量經(jīng)濟學(xué)家通常根據(jù)它們的小樣本性質(zhì)來進行選擇。然而實踐中在LR、W和LM的選擇上，計算成本往往起著關(guān)鍵作用。計算LR統(tǒng)計量，的約束和無約束估計值都要計算，如果二者都不難計算，則LR檢驗是三種檢驗中最具吸引力的。109實踐中三種檢驗法的選擇問題109計算W統(tǒng)計量僅需要無約束估計值。如果約束估計值的計算比較困難，而無約束估計值計算不困難，如約束條件是非線性的情況，則W統(tǒng)計量應(yīng)成為首選。計算LM統(tǒng)計量僅需約束估計值。如果約束估計值的計算比較容易，而無約束估計值的計算困難，例如施加約束后使非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型的情況，則LM統(tǒng)計量應(yīng)成為首選。在計算方面的考慮不是問題的情況下，應(yīng)選擇LR檢驗。110計算W統(tǒng)計量僅需要無約束估計值。如果約束估計值的計算比較困難第四章多元線性回歸模型111第四章多元線性回歸模型1第一節(jié)多元線性回歸模型的概念

在許多實際問題中，我們所研究的因變量的變動可能不僅與一個解釋變量有關(guān)。因此，有必要考慮線性模型的更一般形式，即多元線性回歸模型：

t=1,2,…,n在這個模型中，Y由X1、X2、X3、…XK所解釋，有K+1個未知參數(shù)β0、β1、β2、…βK。

這里，“斜率”βj的含義是其它變量不變的情況下，Xj改變一個單位對因變量所產(chǎn)生的影響。112第一節(jié)多元線性回歸模型的概念2

例1：

其中，Y=在食品上的總支出X=個人可支配收入P=食品價格指數(shù)用美國1959-1983年的數(shù)據(jù)，得到如下回歸結(jié)果（括號中數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：Y和X的計量單位為10億美元(按1972不變價格計算).113例1：Y和X的計量單位為10億美元(按1972不變價格多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義上例中斜率系數(shù)的含義說明如下：價格不變的情況下，個人可支配收入每上升10億美元（1個billion），食品消費支出增加1.12億元（0.112個billion）。收入不變的情況下，價格指數(shù)每上升一個點，食品消費支出減少7.39億元（0.739個billion）114多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義4例2：其中，Ct=消費，Dt=居民可支配收入Lt=居民擁有的流動資產(chǎn)水平β2的含義是，在流動資產(chǎn)不變的情況下，可支配收入變動一個單位對消費額的影響。這是收入對消費額的直接影響。收入變動對消費額的總影響=直接影響+間接影響。（間接影響：收入影響流動資產(chǎn)擁有量影響消費額）但在模型中這種間接影響應(yīng)歸因于流動資產(chǎn)，而不是收入，因而，β2只包括收入的直接影響。

在下面的模型中：這里，β是可支配收入對消費額的總影響，顯然β和β2的含義是不同的。115例2：5回到一般模型

t=1,2,…，n即對于n組觀測值，有116回到一般模型6其矩陣形式為：

其中

117其矩陣形式為：7第二節(jié)多元線性回歸模型的估計多元線性回歸模型的估計與雙變量線性模型類似，仍采用OLS法。當(dāng)然，計算要復(fù)雜得多，通常要借助計算機。理論推導(dǎo)需借助矩陣代數(shù)。下面給出普通最小二乘法應(yīng)用于多元線性回歸模型的假設(shè)條件、估計結(jié)果及所得到的估計量的性質(zhì)。一．假設(shè)條件（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n（2）E(uiuj)=0,i≠j（3）E(ut2)=σ2,t=1,2,…,n（4）Xjt是非隨機量，j=1,2,…kt=1,2,…n118第二節(jié)多元線性回歸模型的估計8

除上面4條外，在多個解釋變量的情況下，還有兩個條件需要滿足：（5）（K+1）<n;即觀測值的數(shù)目要大于待估計的參數(shù)的個數(shù)（要有足夠數(shù)量的數(shù)據(jù)來擬合回歸線）。（6）各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系。上述假設(shè)條件可用矩陣表示為以下四個條件：119除上面4條外，在多個解釋變量的情況下，還有兩個條件需A1.E(u)=0

A2.由于顯然，僅當(dāng)

E(uiuj)=0,i≠jE(ut2)=σ2,t=1,2,…,n這兩個條件成立時才成立，因此，此條件相當(dāng)前面條件(2),(3)兩條，即各期擾動項互不相關(guān)，并具有常數(shù)方差。120A1.E(u)=010

A3.X是一個非隨機元素矩陣。

A4.Rank(X)=(K+1)<n.

------相當(dāng)于前面(5)、(6)兩條即矩陣X的秩=（K+1)<n

當(dāng)然，為了后面區(qū)間估計和假設(shè)檢驗的需要，還要加上一條：A5.～，t=1,2,…n121 11二．最小二乘估計我們的模型是：

t=1,2,…n問題是選擇，使得殘差平方和最小。

殘差為：122二．最小二乘估計12要使殘差平方和

為最小，則應(yīng)有：我們得到如下K+1個方程（即正規(guī)方程）：

123要使殘差平方和13按矩陣形式，上述方程組可表示為：124按矩陣形式，上述方程組可表示為：14=即125=即15三.最小二乘估計量的性質(zhì)我們的模型為估計式為

1．的均值126三.最小二乘估計量的性質(zhì)16（由假設(shè)3）(由假設(shè)1)即這表明，OLS估計量是無偏估計量。127（由假設(shè)3）172．的方差為求Var()，我們考慮

1282．的方差18不難看出，這是的方差-協(xié)方差矩陣，它是一個(K+1)×(K+1)矩陣，其主對角線上元素為各系數(shù)估計量的方差，非主對角線上元素為各系數(shù)估計量的協(xié)方差。129不難看出，這是的方差-協(xié)方差矩陣，它是一個(K+1)×由上一段的(4.5)式，我們有因此130由上一段的(4.5)式，我們有20請注意，我們得到的實際上不僅是的方差，而且是一個方差-協(xié)方差矩陣，為了反映這一事實，我們用下面的符號表示之：為方便起見，我們也常用Var()表示的方差-協(xié)方差矩陣，因此上式亦可寫作：需要注意的是，這里不表示方差向量，而是方差-協(xié)方差矩陣。131請注意，我們得到的實際上不僅是的方差，而且是3．2的估計與雙變量線性模型相似，2的無偏估計量是

分母是的自由度，這是因為我們在估計的過程中，失去了（K+1）個自由度。4．高斯-馬爾科夫定理對于以及標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件A1－A4，普通最小二乘估計量是最佳線性無偏估計量（BLUE）1323．2的估計22我們已在上一段中證明了無偏性，下面證明線性和最小方差性。證明的路子與雙變量模型中類似，只不過這里我們采用矩陣和向量的形式。由OLS估計量的公式

可知,可表示為一個矩陣和因變量觀測值向量的乘積：其中是一個(K+1)*n非隨機元素矩陣。因而是線性估計量。133我們已在上一段中證明了無偏性，下面證明線性和最小方差現(xiàn)設(shè)為的任意一個線性無偏估計量，即其中是一個(K+1)*n非隨機元素矩陣。則

顯然，若要為無偏估計量，即，只有，為（K+1）階單位矩陣。134現(xiàn)設(shè)為的任意一個線性無偏估計量，即24的方差為：

我們可將寫成

從而將的任意線性無偏估計量與OLS估計量聯(lián)系起來。135的方差為：25由可推出：即

因而有由從而，因此上式中間兩項為0，我們有136由可推出：26因此

最后的不等號成立是因為為半正定矩陣。這就證明了OLS估計量是的所有線性無偏估計量中方差最小的。至此，我們證明了高斯-馬爾科夫定理。137因此27第三節(jié)擬合優(yōu)度一．決定系數(shù)R2對于雙變量線性模型Y=α+βX+u我們有其中，=殘差平方和138第三節(jié)擬合優(yōu)度28對于多元線性模型

我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)：為方便計算，我們也可以用矩陣形式表示R2139對于多元線性模型29

我們有：殘差其中，殘差平方和：14030而

將上述結(jié)果代入R2的公式，得到：這就是決定系數(shù)R2的矩陣形式。141而這就是決定系數(shù)31二．修正決定系數(shù)：

殘差平方和的一個特點是，每當(dāng)模型增加一個解釋變量，并用改變后的模型重新進行估計，殘差平方和的值會減小。由此可以推論，決定系數(shù)是一個與解釋變量的個數(shù)有關(guān)的量：解釋變量個數(shù)增加減小R2

增大也就是說，人們總是可以通過增加模型中解釋變量的方法來增大R2的值。因此，用R2來作為擬合優(yōu)度的測度，不是十分令人滿意的。為此，我們定義修正決定系數(shù)（Adjusted）如下：142二．修正決定系數(shù)：3214333是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。我們有：（1）（2）僅當(dāng)K=0時，等號成立。即

（3）當(dāng)K增大時，二者的差異也隨之增大。

（4）可能出現(xiàn)負值。144是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。34三．例子下面我們給出兩個簡單的數(shù)值例子，以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容.例1 Yt=1+2X2t+3X3t+ut設(shè)觀測數(shù)據(jù)為：Y：31835X2：31524X3：54646試求各參數(shù)的OLS估計值，以及。解：我們有145三．例子3514636147371483814939

例2.設(shè)n=20,k=3,R2=0.70，求。解：下面改變n的值，看一看的值如何變化。我們有若n=10，則=0.55若n=5，則=-0.20

由本例可看出，有可能為負值。這與R2不同（）。150例2.設(shè)n=20,k=3,R2

第四節(jié)非線性關(guān)系的處理

迄今為止，我們已解決了線性模型的估計問題。但在實際問題中，變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系，經(jīng)濟變量間的非線性關(guān)系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù):

就是一例。在這樣一些非線性關(guān)系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個問題。151第四節(jié)非線性關(guān)系的處理41一.線性模型的含義

線性模型的基本形式是:其特點是可以寫成每一個解釋變量和一個系數(shù)相乘的形式。線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以X2或Xβ之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。（2）參數(shù)的線性

因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。152一.線性模型的含義42二．線性化方法

對于線性回歸分析，只有第二種類型的線性才是重要的，因為變量的非線性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決。例如，對于

此方程的變量和參數(shù)都是線性的。153二．線性化方法43

參數(shù)的非線性是一個嚴(yán)重得多的問題，因為它不能僅憑重定義來處理?？墒牵绻Ｐ偷挠叶擞梢幌盗械腦β或eβX項相乘，并且擾動項也是乘積形式的，則該模型可通過兩邊取對數(shù)線性化。例如，需求函數(shù)

其中，Y=對某商品的需求X=收入P=相對價格指數(shù)

ν=擾動項可轉(zhuǎn)換為：154參數(shù)的非線性是一個嚴(yán)重得多的問題，因為它不能僅憑重

用X,Y,P的數(shù)據(jù)，我們可得到logY,logX和logP,從而可以用OLS法估計上式。logX的系數(shù)是β的估計值，經(jīng)濟含義是需求的收入彈性，logP的系數(shù)將是γ的估計值，即需求的價格彈性。彈性（elasticity）是一變量變動1%所引起的另一變量變動的百分比。其定義為

本例中，需求的收入彈性是收入變化1%，價格不變時所引起的商品需求量變動的百分比。需求的價格彈性是價格變化1%，收入不變時所引起的商品需求量變動的百分比。155用X,Y,P的數(shù)據(jù)，我們可得到logY,logX和log三．例子例1需求函數(shù)本章§1中，我們曾給出一個食品支出為因變量，個人可支配收入和食品價格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子（例4.1）?，F(xiàn)用這三個變量的對數(shù)重新估計（采用同樣的數(shù)據(jù)），得到如下結(jié)果（括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：回歸結(jié)果表明，需求的收入彈性是0.64,需求的價格彈性是-0.48，這兩個系數(shù)都顯著異于0。156三．例子46

例2．柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)

用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國1899-1922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計經(jīng)過線性化變換的模型得到如下結(jié)果（括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：

從上述結(jié)果可以看出，產(chǎn)出的資本彈性是0.23，產(chǎn)出的勞動彈性為0.81。157例2．柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)47例3．貨幣需求量與利率之間的關(guān)系

M=a(r-2)b這里，變量非線性和參數(shù)非線性并存。對此方程采用對數(shù)變換

logM=loga+blog(r-2)令Y=logM,X=log(r-2),β1=loga,β2=b則變換后的模型為：

Yt=β1+β2Xt+ut