2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（期中）考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二上學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（期中）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B2．已知長(zhǎng)方體中，，則異面直線與的距離是（

）A． B．1 C．2 D．3C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槊妫c的距離等于與面的距離等于，所以，求出即可得答案【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，如圖，因?yàn)槊妫c的距離就是與面的距離，明顯可見，面，所以，與面的距離為，又因?yàn)椋瑒t，則與面的距離為2，所以，與的距離為2故選：C.3．已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．2A【分析】由直接列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，故選：A4．如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)向量的相等,可得方程，即可求得答案.【詳解】由題意可知空間向量不共線，且，即，則，即，故選：C.5．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直A【分析】連接與交于點(diǎn)F，易得是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，連接與交于點(diǎn)F，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，∴，又且共面，則直線與直線相交.故選：A.6．用表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題中正確的是（

）①若，，則；

②若，，則；③若，，則

④若，，則A．①② B．②③ C．①④ D．③④C根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由平行的傳遞性可知，則①正確；若，，則可能平行，則②錯(cuò)誤；若，，則可能相交，則③錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)可知，若，，則，則④正確；故選：C7．設(shè)平面與平交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件A【詳解】試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.充分條件、必要條件.8．如圖，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：B.9．在四面體中，分別是的中點(diǎn)若，則與所成角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．D【分析】計(jì)算與所成角，將兩直線平移到同一平面，找出兩直線夾角，然后根據(jù)題里面的條件計(jì)算即可.【詳解】如圖：作的中點(diǎn)，連接因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，,且，所以與所成角為,因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，所以，所?故選：D10．在正方體中，若棱長(zhǎng)為1，E、F分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面平面C．點(diǎn)F到平面的距離為定值 D．直線AE與平面所成角的正弦值為定值D【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，根據(jù)線面垂直的判定，面面平行的判定，以及點(diǎn)面距離的求解和線面角的求解，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)A，作圖如下：因?yàn)槭钦襟w，故可得，且，故平面，又平面，故；同理可得，因?yàn)槠矫?，故平面，故A正確；對(duì)B，作圖如下：因?yàn)椋嗜菀椎?///，因?yàn)槠矫妫?，平面，且，故平面面，故B正確.對(duì)C，作圖如下：因?yàn)?/，且平面，故可得//平面，又點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)到平面的距離恒為定值，不妨設(shè)點(diǎn)與重合，求此時(shí)的點(diǎn)面距離即可.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)等體積法即可得：，容易得解得.故C正確；對(duì)D，連接交于點(diǎn)，連接作圖如下：容易知直線平面，故即為所求.在中，因?yàn)?，但的長(zhǎng)度均隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，故該角度的大小不確定，故直線與面所成角的正弦值不是定值，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、填空題11．已知空間向量，則___________.3【分析】由空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即可得出答案.【詳解】由空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式可得：故312．若向量，則___________.【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】解：向量，所以.故答案為.13．設(shè)分別是空間兩直線的方向向量，則直線，所成角的大小為___________.【分析】空間中直線與直線所成的角，與其對(duì)應(yīng)的方向向量夾角相同，直接利用空間向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以與的夾角為，即直線，所成角的大小為.故答案為.14．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”，在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是___________.36【分析】根據(jù)題中定義“正交線面對(duì)”的含義，找出正方體中“正交線面對(duì)”的組數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，這一組直線與平面就構(gòu)成一個(gè)正交線面對(duì).如下圖所示：①對(duì)于正方體的每一條棱，都有個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有個(gè)；②對(duì)于正方體的每一條面對(duì)角線（如，則平面），均有一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有個(gè).綜上所述，正方體中的“正交線面對(duì)”共有個(gè).故答案為.15．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在側(cè)面上．若點(diǎn)到直線和的距離相等，則的最小值是____．【詳解】如圖在面A1ABB1建立P面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）∵點(diǎn)P到直線AA1和CD的距離相等，，即x2=y2+1．∴A1P=∴當(dāng)P（，1）時(shí)，A1P最小為.故填.點(diǎn)睛：本題直接解答比較困難，采用坐標(biāo)法比較簡(jiǎn)潔易懂，所以方法的選擇很關(guān)鍵.當(dāng)我們遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、長(zhǎng)方體等有垂直關(guān)系的幾何圖形時(shí)，可以嘗試?yán)米鴺?biāo)法解答,看是否簡(jiǎn)潔.三、雙空題16．已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤．（1）當(dāng)滿足條件_________時(shí)，有；（2）當(dāng)滿足條件________時(shí)，有．（填所選條件的序號(hào)）

③⑤；

②⑤【詳解】試題分析：若m?α，α∥β，則m∥β；若m⊥α，α∥β，則m⊥β．故答案為（1）③⑤（2）②⑤本題主要考查直線與平面垂直的位置關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，基礎(chǔ)題．四、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，過的平面與側(cè)棱的交點(diǎn)分別是.(1)證明：；(2)若底面，求證：平面.(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解，（2）由線線垂直即可證明線面垂直.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?平面,所以平面,又因?yàn)槠矫?平面平面,故,（2）底面,平面，,又因?yàn)榈酌媸钦叫?，所?平面,所以平面，18．在如圖所示的幾何體中，正方形與梯形所在平交，，.(1)證明：平面；(2)若平面，試求異面直線與所成角的余弦值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可知平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）四邊形為正方形，，又平面，平面，平面；，平面，平面，平面；又，平面，平面平面，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.19．如圖，矩形中，分別在線段和上，，將矩形沿折起.記折起后的矩形為，且平面平面.(1)求證：；(2)若，求證：平面平面.(1)證明見解析.(2)證明見解析.【分析】（1）由已知證明平面，從而證明，再證明，即可證明平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）證明，再說明，即可證明平面,從而根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論.【詳解】（1）證明:由題意知，,故,則,又平面平面，平面平面,且平面，所以平面，又平面，所以,由,平面,所以平面,平面,所以；（2）證明:由題意知,即,由（1）知平面，故平面，平面，所以,因?yàn)椋示匦螢檎叫?，則,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，∥平面.(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求平面與平面所成角的大小.(1)證明見解析，(2)【分析】（1）設(shè)，連接，則由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由為的中點(diǎn)可證得結(jié)論，（2）取的中點(diǎn)，連接，可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所以在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面平面，∥平面，所以∥，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以為的中點(diǎn)，所以，所以，所以為的中點(diǎn)；（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所以在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)閮蓛纱怪?，平面，所以平面所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角的大小為，由圖可知為銳角，則，因?yàn)闉殇J角，所以，所以平面與平面所成角的大小為.21．如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.（1）；（2）詳見解析【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ