2018屆廣東省高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題

第頁第頁屆廣東省高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z1.已知集合A—fxI—1<1—x<1},B=^xIx2<1},則AQB=（）A.{xI—1<x<1}B.{x10<x<1}C.{xIx<1}D.{xI0<x<2}2?設(shè)復(fù)數(shù)z—a+4i（aeR），且（2—i）z為純虛數(shù)，則a—（）A.-1B.1C.2D.-23.下圖為射擊使用的靶子，靶中最小的圓的半徑為1,靶中各圖的半徑依次加1,在靶中隨機取一點，則此點取自黑色部分（7環(huán)到9環(huán)）的概率是（）33兀3兀A.B.C.D.20252520已知函數(shù)f（x）滿足f目-x3—3x,貝y函數(shù)f（x）的圖象在x—1處的切線斜率為（）A.0B.9C.18D.27已知F是雙曲線C:——$—1（a>0,b>0）的一個焦點，點F到C的一條漸近線的距離為2a,則雙a2b2曲線C的離心率為（）A.2<2B.朽C.、第D.2x+—］（1+2x占的展開式中，x3的系數(shù)為（）Ix丿A.120B.160C.100D.80如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A.48+8兀A.48+8兀B.96+8兀C.96+16兀D.48+16兀&已知曲線C:y二sin2x—匸，則下列結(jié)論正確的是（A.B.C.D.5兀把cA.B.C.D.5兀把c向左平移12個單位長度，得到的曲線關(guān)于原點對稱兀把C向右平移三個單位長度，6兀把c向左平移3個單位長度，兀把c向右平移個單位長度，得到的曲線關(guān)于y軸對稱得到的曲線關(guān)于原點對稱得到的曲線關(guān)于y軸對稱9.「”中，可以先后填入（）n是奇數(shù)，n9.「”中，可以先后填入（）n是奇數(shù)，n>100C.n是偶數(shù)，n>100D.n是奇數(shù)，n>100大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理?數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題?其規(guī)律是：偶數(shù)項是序號平方再除以2,奇數(shù)項是序號平方減1再除以2,其前10項依次是0,2,4，8,12,18,24，32，40，50,…，如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列10.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=才，且2bsinB+2csinC二bc+⑶，則AABC的面積的最大值為（C.4

11.已知拋物線C:y2二x,M為x軸負半軸上的動點，MA,MB為拋物線的切線，A,B分別為切點，則MA?MB的最小值為（）A.16B.C.D.A.16B.C.D.12.設(shè)函數(shù)f(x)=］卩-2卜X"2，若互不相等的實數(shù)a,b,c,d滿足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),x2-11x+30,x>2則2a+2b+2c+2d的取值范圍是（）A.+2,146)B.(98,146A.+2,146)B.(98,146)C.(64邁+2,266)D.(98,266)二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）已知單位向量e,~e的夾角為30°，則e-J3e1=.1212I'x-y<6設(shè)x,y滿足約束條件<4x+5y<6，則z=x+y的最大值為5x+4y>315.已知sinlOo+mcoslOo=2cosl40o，則m=16.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O,E,F,G,H為圓O上的點，AABE,ABCF,ACDG,AADH分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以AB,BC,CD,DA為折痕折起AABE,ABCF,ACDG,AADH，使得E,F,G,H重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的體積為?三、解答題：共70分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?第17-21題為必考題，每道試題考生都必須作答?第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知公差不為零的等差數(shù)列｛a｝滿足a=5，且a,a,a成等比數(shù)列.n13611（1）求數(shù)列｛a｝的通項公式；n（2）設(shè)b=a?3n-i，求數(shù)列｛b｝的前n項和S.nnnn

18.“微信運動”是一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶只需以運動手環(huán)或手機協(xié)處理器的運動數(shù)據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號，就能看見自己與好友每日行走的步數(shù)，并在同一排行榜上得以體現(xiàn).現(xiàn)隨機選取朋友圈中的50人，記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)/步0?30003001?60006001?80008001?1000010000以上男生人數(shù)/人127155女性人數(shù)/人03791規(guī)定：人一天行走的步數(shù)超過8000步時被系統(tǒng)評定為“積極性”，否則為“懈怠性”.以這50人這一天行走的步數(shù)的頻率代替1人一天行走的步數(shù)發(fā)生的概率，記X表示隨機抽取3人中被系統(tǒng)評為“積極性”的人數(shù)，求P(X<2)和X的數(shù)學(xué)期望.為調(diào)查評定系統(tǒng)的合理性，擬從這50人中先抽取10人(男性6人，女性4人).其中男性中被系統(tǒng)評定為“積極性”的有4人，“懈怠性”的有2人，從中任意選取3人，記選到“積極性”的人數(shù)為x；其中女性中被系統(tǒng)評定為“積極性”和“懈怠性”的各有2人，從中任意選取2人，記選到“積極性”的人數(shù)為y；求x>y的概率.19.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB丄BC，且BC=2AD=4,E,F分別為線段AB,DC的中點，沿EF把AEFD折起，使AE丄CF，得到如下的立體圖形.證明：平面AEFD丄平面EBCF；若BD丄EC，求二面角F—BD—C的余弦值.，且C過點卜日(2丿TOC\o"1-5"\h\zx22J3，且C過點卜日(2丿20.已知橢圓C:+=l(a>b>0)的離心率為二-a2b22(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l與橢圓C交于P,Q兩點(點P,Q均在第一象限)，l與x軸，y軸分別交于M,N兩點，且S2+S2S2+S2滿足嚴0AQMO=嚴叫(其中O為坐標(biāo)原點).證明：直線l的斜率為定值.SSAPMOAQMOAPNOAQNO21.已知函數(shù)f(x)=(x—2)ex+a(lnx一x+1).討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；若函數(shù)f(x)的最小值為-e，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C:(x-2匕+(y-4匕二20，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立1極坐標(biāo)系，C2：(pwR)?23求C［的極坐標(biāo)方程和C的平面直角坐標(biāo)系方程；12若直線C的極坐標(biāo)方程為0=^(peR)，設(shè)C與C的交點為0、M，C與C的交點為O、N，362131求AOMN的面積.【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)f(x)=3|x-+|3x+1|,g(x)=|4x-1|-|x+2.求不等式g(x)<6的解集；若存在x,xwR，使得f(x)和g(x)互為相反數(shù)，求a的取值范圍.1312試卷答案一、選擇題1-5:BDACC6-10:ABDDC11、12：AB二、填空題13.114.215.-運16.500呂27三、解答題17?解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛?｝的公差為d，因為&a6,務(wù)成等比數(shù)列,所以a2—aa，即(a+5d)2=(a+2d)(a+10d),6311111化簡得5d-2a=0,1又a=5，所以d—2，從而a—2n+3.1n(2)因為b—(2n+3)?3n-1，n所以S=5x30+7x31+9x32+???+(2n+3)3n-1,n所以3S=5x31+7x32+9x33+???+(2n+3)3n,n3以上兩個等式相減得-2S=5+2x-n-(2n+3)3n,2化簡得S—(n+1)3n—1.n18.解：（1）被系統(tǒng)評為“積極性”的概率為|0=5X?B(3,|、.5V5丿故P(X<2)-1-[5Y98V5丿X的數(shù)學(xué)期望E(X)-3x5—5125(2)“x>y”包含“x=3,y=2”，“x=3,y=1”，“x=3,y=0”，“x=2,y=1”，“x=2,y=0”,x=1,y=0”,&32)C3C21&31)C3C1C12&31)C3C01Plx=3,y=2丿x—，Plx=3,y—1丿—tx22—，Plx=3,y—1丿——x亠：C3C230C3C215C3C230646464厶厶C264()C2C1C01()C2C1C01Plx=2,y—1丿一一4_2x亠一，Plx=2,y—0丿一一4_2x:C3C210C3C2106464C1C2C21=42x4=——

C3C23064()12121111所以P(x>y)—+++—++—-.301530510301519.(1)證明：由題可得EF//AD，貝yAE丄EF,P(x=1,y=0)又AE丄CF，且EF^CF=F，所以AE丄平面EBCF.因為AEu平面AEFD，所以平面AEFD丄平面EBCF；(2)解:過點D作DG//AE交EF于點G，連結(jié)BG,則DG丄平面EBCF,DG丄EC,又BD丄EC,BD^DG=D，所以EC丄平面BDG,EC丄BG,egebl易證AEGB?ABEC，貝I」=，得EB=2^2，EBBC以E為坐標(biāo)原點，EB的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E—xyz,F(0,3,0),DC,2,2Q),C(2y2,4,0),AC,0,2)B(2<2,0,0)故BD=C2j2,2,2),FD=(),-1,^/2),BC=(0,4,0),CD=C2J2,-2,2*2)，設(shè)n=(x,y,z)是平面FBD設(shè)n=(x,y,z)是平面FBD的法向量，則vn?FD=—y+2^2z=0令z=1，得n=G,2o2,1),r——??設(shè)m=(a,b,設(shè)m=(a,b,c)是平面BCD的法向量，則vm?CD=-2>/2a—2b+2^2c=0令a=1，則m=(1,0,1),—??n?m20.解：(1)由題意可得*”m18x2c_邁a213+=a24b2所以二面角F-BD-C的余弦值為3.解得a=2x2b=1，故橢圓C的方程為T+y2=1;(2)由題意可知直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m主0)，點P,Q的坐標(biāo)分別為(x,y),(x,y)，1122由S=1|MO||yI,S=1|MO||yI,S=1NO||xI,S=1|NO||xI，APMO2丨1AQMO2丨APNO21AQNO1121化簡得42=竺2，H-2=匸二-2,(y1-y2)2=(x1-x2匕，即注yyxxyyxxyyxxxx12121212121212y=kx+mx2，消去y得6+4k2)x2+8kmx+4\m2—1)=0,—+y2=1I4則A=64k2m2—16G+則A=64k2m2—16G+4k2)(m2—1)=16(4k2—m2+1)>0,且x+x=,xx=121+4k2121+4k2故yy=(kx+m)(kx+m)=k2xx+km(x+x)+m2，12121212yyk2xx+km(x+x)+m2—8k2m2因此12=^-212=k2，即+m2xxxx1+4k21212又m豐0，所以k2=1，又結(jié)合圖象可知，k=—1，所以直線l的斜率為定值.4221.解：(1)廣(x)=(x—121.解：(1)廣(x)=(x—1)ex+a=(x>0)，令g(x)=xex—a(x>0),g'(x)=(x+1)ex>0，故g(x)在(0,+a)上單調(diào)遞增,則g(x)>g(0)=—a,因此，當(dāng)a<0或a=e時，f'(x)只有一個零點;當(dāng)0<a<e或a>e時，f'(x)有兩個零點;(2)當(dāng)a<0時，xex—a>0，則函數(shù)f(x)在x二1處取得最小值f(1)=—e,當(dāng)a>0時，則函數(shù)y=xex-a在(°，乜)上單調(diào)遞增，則必存在正數(shù)x。，使得xex0—a=0，0若a>e,則x>1，函數(shù)f(x)在(0,1)與(x,+a)上單調(diào)遞增，在(1,x)上單調(diào)遞減,000又f(1)=—e，故不符合題意.若a=e,則x=1,廣(x)n0，函數(shù)f(x)在(0,+a)上單調(diào)遞增,0又f(1)=—e，故不符合題意.若°<a<e，則0<x0<1，設(shè)正數(shù)勿=e—1丘(0,1)，則f(b)=(b—2)eb+a(lnb—b+1)<aflne-:-1—b+1]=af—e—b]=—e—ab<—e，V丿Va丿與函數(shù)f(x)的最小值為—e矛盾,綜上所述，a<0，即aw(—x,0].22.解：(1)因為圓C的普通方程為x2+y2—4x—8y=0,1把x=pcos0,y=psin0代入方程得p2一4pcos0一8psin0=0,所以C的極坐標(biāo)方程為p=4cos0+8sin0，1C的平面直角坐標(biāo)系方程為y=^3x；2(2)分別將0=,0=代入p=4cos0+8sin0，得p=2+4巨p3612貝yAOMN的面積為—x(2+￡3)x(4+2*3)xsi2sin4+2j3,23.解：(1)由題意可得g(x)=<一3x+3,x<—2u1c1一5x一1,—2<