第七章向量與空間解析幾何-第三節(jié)

上一頁下一頁上一頁下一頁 二三一、曲面方程的圖形例方程

M0(x0

y0,z0

R即

M(

y,

依題意(x(xx0)2(yy0)2(zz0(x

(y

(z

z0

特別,當(dāng)M0x2

y2

R2zoMMxzoMMxyR2x2y2

表示上(下)球面x2

y2

2x

4

0表示怎樣解配方得

M0

0),5半徑 5說明:如下形式的三元二次方程(A0其圖形可能是一個球面,或點,或虛軌跡.上一頁下一頁上一頁下一頁1、空間直線的一般方z定義空間直線可看成兩平面的交線z1

B1

C1zD1 12

B2

C2zD2Ax

B1yB

C1zD1 CzD 空間直線的一般方2、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方方向向量的定義z如果一非零向量平行 一條已知直線，這個向量為這條直線的方向向量

M0M0(x0

y0,z0

M(

y, M

M0M// s{m,

M0

{x

x0,y

y0,z

z0xx0yy0z

直線的對稱式方 令xx0

y

zz0npmnpxyy

x0mty0nt

直線的一組方向方向向量的余弦稱zz 直線的方向余弦zz0直線的參數(shù)方例1用對稱式方程及參數(shù)方程表xy

1.2x

y3z4解

s即可,令x0

z0=同理，令x1=0，代入題中方程組，y1 z= 即點

與點B(13在直線上 AB取sAB2x1yz2 x1yt參數(shù)方程 ytz 2z2一直線過點A(2,3,4)，且y軸垂直相 因為直線和y軸垂直相交所以交點

s

0,所求直線方

x22

y30

z44定義兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角L1

xx1m

yy1

zz1p L2

xx2m

yy2

zz2p |mmnn|mmnn122m2n2p2111m2n2p222 兩直線的夾角公兩直線的位置關(guān)系

L1

m1

n1n2

p1

(2)

L2mm

p1例如

L1

L2

s1

即L1L2例3求過點(325)且與兩平面x4z32x

y

1的交線平行的直線方程解設(shè)所求直線的方向向

s{m,

根據(jù)題意

sn1

sn2 s

n1

所求直線的方

x34

y23

z514求過點M(2,1,3)且與直線x13

y1 解先作一過點M且與已知直線垂直的平面

2)

1)(z

3)再求已知直線與該平面的交點令x13

y12

yy

t

代入平面方程

t37

N(27

,13,3) 取所求直線的方向向量為MN{27

2,137

7

{7

,67

7所求直線方程

x2y1z3 4、直線與平面的夾定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．02L

m

yy0

zz0p

s{m,

Ax

ByCz

D

n{

B,C(s,

2

(s,

2sin

cos2

cos2

.sin

|Am

A2B2CA2B2C2m2n2p2直線與平面的位置關(guān)系

L

AB

Cp(2)

Am

Bn

例5設(shè)直線L:x1 y

z2:x

y

3，求直線與平面的夾角 n

s{2,1,A2A2B2C2m2n2p2

|Am

|12

(1)(1)6969

22| 636

為所求夾角三、平面及其方znM0Mo1、平面的znM0Mo如果一非零向量垂于一平面，這向量就叫該平面的法線向量 x法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一

{

B,C},

M0(x0

y0

z0設(shè)平面上的任一點

M(

y,z)必有M0MnM0Mn M0

{x

x0,y

y0,z

z0 A(x

x0)

B(y

y0)

C(z

z0)平面的點法式方其中法向

n{A,B,C

已知

(x0

y0

z0平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形．1求過三點A(2,1,4)、B(1,3,2)C(0,2,3)的平面方程

取n

AB

所求平面方程14x

y

z 化簡

14x

9y

z15

y

73x

2y12z5

0的平面方程

n2

{3,取法向

n

n2

{10,15,所求平面方程10

1)(15y

z 化簡得2x

3y

z62由平面的點法式方A(x

x0)

B(y

y0)

C(z

z0)(Ax0By0Cz0(Ax0By0Cz0Ax

ByCz

D

平面的一般方法向

n{A,B,C平面一般方程的幾種特殊情況

D

平面通過坐標(biāo)原點(2)

A

DDD

平面通過x軸；平面平行于x軸；類似地可討

B

C

情形(3)

A

平面平行于

坐標(biāo)面類似地可討

A

B

0情形3設(shè)平面過原點及點(6,3,2)，且4x

y

8垂直，求此平面方程解設(shè)平面

Ax

ByCz

D由平面過原點

D6A3B6A3B2C

4A

B2CAB

2C3所求平面方程

2x

2y

4設(shè)平面與x,yz三軸分別交于P(a,0,0)Q(0,b,0)、R(0,0c)（其中求此平面方程

0，b

0

0解設(shè)平面為Ax

ByCz

DaAD將三點坐標(biāo)代入

bBDDADa

BDb

CDc將A

Da

BDb

CDc代入所設(shè)方程xyz

平面的截距式方x軸上截 5求平行于平面6x

y6z5

0而與三個解設(shè)平面

xyz 1

ooV

3

x由所求平面與已知平1b1c1b1c（向量平行的充要條件

a 化簡

111,

1

11t a1

b1,

c1

代入體積1

16

1

t16a

b

c所求平面方程

6x

y

定義兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的（1 21

B1

C1z

A2x

B2

C2z

n1n2

A2,B2,C2按照兩向量夾角余弦|A1|A1A2B1B2C1C2A2B2C211A2B221222兩平面夾角余弦公兩平面位置特征

12

(2)

1

2

B1

C1C2例6研究以下各組里兩平面的位置

x

2y

z1

y

1(2)

2x

y

1

4x

2y

1

2x

y

1

4x

2y

2z2

cos

2222

兩平面相交，夾角

(2)

n1

n2

{4,

1 1

兩平面平 兩平面平行但不重合(3)

1

1

兩平面平

1兩平面重合例7設(shè)P0x0

y0

z0)是平面Ax

ByCz

DnN外一點，求nN

z1)d|PrjnP1P0Pr

n0

{x0

x1,y0

z1A2B2CA2B2C

A2A2B2CA2B2C,Pr

P1

A(x0A(x0x1A2B2CB(y0y1A2B2CC(z0z1A2B2CAx0Ax0By0Cz0(Ax1By1Cz1A2B2CAx1

Cz1

D

(

)Ax0By0Cz0Ax0By0Cz0DA2B2C2 d

D|A2B2A2B2C上一頁下一頁上一頁下一頁平面的方

點法式方程一般方程截距式方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程空間直線的一般方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程兩直線的夾角

（注意兩直線的位置關(guān)系直線與平面的夾角（注意直線與平面的位置關(guān)系上一頁下一頁上一頁下一頁思考若平面x

ky

02x

3y

0的夾4

，求k上一頁