人教高中數(shù)學(xué)(理科)選修函數(shù)的最大值與最小值1

函數(shù)的極值與最大值最小值

上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、函數(shù)的極值及其求法二、最大值最小值問題精選ppt提問：

f(a)和f(b)是極值嗎？函數(shù)的極值下頁(yè)一、函數(shù)的極值及其求法設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義如果對(duì)于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值)。x1x2x3x4x5函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

觀察與思考：

觀察極值與切線的關(guān)系.精選ppt設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么f

(x0)0.駐點(diǎn)

使導(dǎo)數(shù)f

(x)為零的點(diǎn)(方程f

(x)0的實(shí)根)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).定理1(必要條件)下頁(yè)>>>討論：極值點(diǎn)是否一定是駐點(diǎn)？駐點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)？考察x=0是否是函數(shù)y=x3的駐點(diǎn),是否是函數(shù)的極值點(diǎn).x1x2x3x4x5精選ppt設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么f

(x0)0.駐點(diǎn)

使導(dǎo)數(shù)f

(x)為零的點(diǎn)(方程f

(x)0的實(shí)根)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).定理1(必要條件)下頁(yè)觀察與思考：(1)觀察曲線的升降與極值之間的關(guān)系.(2)觀察曲線的凹凸性與極值之間的關(guān)系.x1x2x3x4x5精選ppt設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)且在(a

x0)(x0

b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)0在(x0

b)內(nèi)f

(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)f

(x)的符號(hào)相同那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

下頁(yè)定理2(第一充分條件)

x1x2x3x4x5精選ppt確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(3)考察在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近f

(x)的符號(hào);

(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.下頁(yè)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)且在(a

x0)(x0

b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)0在(x0

b)內(nèi)f

(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)f

(x)的符號(hào)相同那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

精選ppt下頁(yè)

例1

(1)f(x)在(

)內(nèi)連續(xù)除x1外處處可導(dǎo)且

解

(3)列表判斷x1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)得駐點(diǎn)x1(2)令f

(x)0(

1)1(11)1(1

)不可導(dǎo)0xf

(x)f(x)↗0↘↗精選ppt定理3(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0

f

(x0)0

那么(1)當(dāng)f

(x0)0時(shí)函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(2)當(dāng)f

(x0)0時(shí)函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

應(yīng)注意的問題：

如果f(x0)0

f

(x0)0則定理3不能應(yīng)用但不能由此說明f(x0)不是f(x)的極值。討論：

函數(shù)f(x)x4

g(x)x3在點(diǎn)x0是否有極值？下頁(yè)>>>>>>

精選ppt

例2求函數(shù)f(x)(x21)31的極值

解f

(x)6x(x21)2

令f

(x)0求得駐點(diǎn)x11

x20

x31

f

(x)6(x21)(5x21)

因?yàn)閒

(0)60所以f(x)在x0處取得極小值極小值為f(0)0

因?yàn)閒

(1)f

(1)0所以用定理3無法判別因?yàn)樵?的左右鄰域內(nèi)f

(x)0所以f(x)在1處沒有極值同理

f(x)在1處也沒有極值

首頁(yè)精選ppt二、最大值最小值問題

觀察與思考：

觀察哪些點(diǎn)有可能成為函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn),

怎樣求函數(shù)的最大值和最小值.

x1x2x3x4x5Mm下頁(yè)精選ppt

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點(diǎn)及區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得.

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大者;其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最小者

極值與最值的關(guān)系下頁(yè)x1x2x3x4x5Mm精選ppt最大值和最小值的求法(1)求出函數(shù)f(x)在(a

b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)設(shè)這此點(diǎn)為x1

x2

xn;

(2)計(jì)算函數(shù)值f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判斷:最大者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最大值最小者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最小值

下頁(yè)x1x2x3x4x5Mm精選ppt下頁(yè)

例3討論函數(shù)的極值。

解精選ppt

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點(diǎn)到火車站B的距離為100km欲修一條從工廠到鐵路的公路CD已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？DC20kmAB100km

解

x

下頁(yè)設(shè)ADx(km)y5kCD3kDB(k是某個(gè)正數(shù))

B與C間的運(yùn)費(fèi)為y則DB=100x

精選ppt其中以y|x15380k為最小因此當(dāng)AD15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省

下頁(yè)由于y|x0400k

y|x15380k

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點(diǎn)到火車站B的距離為100km欲修一條從工廠到鐵路的公路CD已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？y5kCD3kDB(k是某個(gè)正數(shù))

解

設(shè)ADx(km)B與C間的運(yùn)費(fèi)為y則精選ppt特殊情況下的最大值與最小值

如果f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無限開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0那么當(dāng)f(x0)是極大值時(shí)

f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值

當(dāng)f(x0)是極小值時(shí)