11實數(shù)的分類及其基本性質(zhì)

順德一中實驗學(xué)校校本課程一高中數(shù)學(xué)銜接課程（編號01）班級姓名第一章數(shù)與式的運算1.1實數(shù)的分類及其基本性質(zhì)p【知識梳理】有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)（包括整數(shù)）或無限循環(huán)小數(shù)的形式；都可以表示成分數(shù)土（p、qq是互質(zhì)的整數(shù)，q尹0）.反之，能表示成-（p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q尹0）形式的數(shù)都是有理數(shù).qp無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成（p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q尹0）的形式.q有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，具體分類如下:'正整數(shù)'整數(shù)］零一—實數(shù)<有理數(shù)<負整數(shù)［｛有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)｝分數(shù)實數(shù)<有理數(shù)<i負分數(shù)無理數(shù)］正無理數(shù)］｛無限不循環(huán)小數(shù)｝I負無理數(shù)I實數(shù)的基本性質(zhì)：無界性：沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù).稠密性：任何兩個實數(shù)之間有無數(shù)多個實數(shù).連續(xù)性：全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是一一對應(yīng)的.有序性：任何兩個實數(shù)都可以比較大小.給定兩個實數(shù)a、》，則a>b、a=b、a<b三者之中有且僅有一個成立.在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大.運算的封閉性：任何兩個實數(shù)的和、差、積、庖除數(shù)不為零）一定是實數(shù)；任何一個實數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果是實數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)是非負實數(shù)時，才能開偶次方，其結(jié)果是實數(shù).任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）一定是有理數(shù)；但無理數(shù)不具有上述性質(zhì).設(shè)m為有理數(shù)，〃為無理數(shù)，則m+n、mn是無理數(shù)；若m尹0，則mn、—、一都是無理數(shù)；若m=0，nmm則mn、是有理數(shù).n實數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.【例題講解】■—11—■—【例1】下列各數(shù)：1、*'5、-3、n+1、耳>0.12113111411115-^.64、2+*3、罰中，哪些是整數(shù)？哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？■TT二r-—二11【解】以上各數(shù)中為整數(shù)的是：1、-3、代4、胰；為有理數(shù)的是：1、-3、板64、展、y；為無理數(shù)的是：v3、n+1、0.12113111411115“、2+t3.【例2】若x是實數(shù)，下列說法對嗎？若不對，請給出成立的條件.(1)-x<0；(2)2x是偶數(shù)；(3)-lxl<0；(4)x+3>x；(5)(-x)2=-x2；(6)3x>2x.【解】(1)不對，當(dāng)x>0時才成立；(2)不對，當(dāng)x是整數(shù)時才成立；(3)不對，當(dāng)x尹0時才成立；(4)對；(5)不對，當(dāng)x=0時才成立；(6)不對，當(dāng)x>0時才成立.【例3】比較下列各組數(shù)的大小.213與3、《2；(2)\：2+%：'5與<3+2.【解】(1)因為2\?'3=%12，3\2=V18，因為t'E<&8，所以2*<3?巨.因為(巨+偵5)2=7+2*而，(撲+2)2=7+4偵3=7+2\12，因為7+2、；10<7+222，所以方+方<$+2.【說明】在實數(shù)集中，對于任意實數(shù)a與》，必存在a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種.比較兩個實數(shù)的大小方法有很多，可以通過變形(如本題(1)、(2))后進行判斷；也可以利用數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大來進行判斷；還可以把實數(shù)化成小數(shù)后進行判斷.另外還有“比差法”與“比商法”等.2.【例4】若3+av，3=2b-5、3，求有理數(shù)a和b的值.223【解】因為3=2b，a=，所以a=，b=—.【說明】設(shè)p為無理數(shù)，a、b、c、d為有理數(shù)，且b尹0，d尹0，，若a+bp=c+dp，則必有a=c，b=d.【例5】求無理數(shù)n的純小數(shù)部分.【解】因為3<n<4,所以n是整數(shù)3與一個小于1的正小數(shù)(即純小數(shù))的和，所以n的純小數(shù)部分為n-3.【說明】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，每一個無理數(shù)都能寫成一個整數(shù)與一個小于1的正的純小數(shù)之和的形式.

【練習(xí)1.1】下列各數(shù)：-2、￥、0.35、327、t16、n、0.12112111211112-^13、2^/3中，哪些是整數(shù)？哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？若。是實數(shù)，下列說法對嗎？若不對，請給出成立的條件.(1)-a2<0；(2)2a+1是奇數(shù)；(3)lal>0；(4)a-2<a；(5)(-a)3=-a3；(6)a<2a比較下列各組數(shù)的大小.(1)5.?克與7；(2)?、乏+<6與/3+<5.(1)若a<b<0，比較lal與lbl的大??；(2)若a<b<0,比較-a、lbl、a-b的大小.求無理數(shù)i5的純小數(shù)部分.已知(2a-1)2=9，求a的值.寫出絕對值小于寸8的所有整數(shù).設(shè)a、b是正有理數(shù)且(如3a+3)a+(：3b-克)b=25如3+克，求a、b的值.1.2絕對值及其幾何意義【知識梳理】數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值.其代數(shù)意義就是：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是0.a,a>0即：|a|=<0,a=0.-a,a<0lal的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點間的距離.la-bl的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點間的距離.絕對值有如下運算性質(zhì)：(1)labl=lallbl；(2)a_lal

b~Tb\((2)a_lal

b~Tb\(b尹0)；llal-lbllWla+blWlal+lbl；左邊的等號當(dāng)且僅當(dāng)abW0時取到，右邊的等號當(dāng)且僅當(dāng)abN0時取到;llal-lbllWla-blWlal+lbl；左邊的等號當(dāng)且僅當(dāng)abN0時取到，右邊的等號當(dāng)且僅當(dāng)abW0時取到.【例題講解】【例1】化簡：(1)l2x-1l；(2)lx-1l+lx-3l.

【解】(1)本題分2x-130、2x-1<0兩種情況討論：1o當(dāng)x31時，2x-130,原式=2x-1,2o當(dāng)x<；時，2x-1<0,原式=1-2x,匚[、12x-1x-2即：I2x-1I=S[.(2)本題分x<1、1Wx<3、x33三種情況討論：1-2xx<—

〔21o當(dāng)x<1時，x-1<0,x-3<0,原式=4-2x；2o當(dāng)1Wx<3時，x-130,x-3<0，原式=2；3o當(dāng)x33時，x-1>0,x-3>0，原式=2x-4,4一2xx<1即：Ix-1I+Ix-3I=<21<x<3.2x-4x-3【例3】解不等式：(1)Ix-1IW1(2)Ix+1I>2.【解】(1)根據(jù)絕對值的幾何意義知不等式Ix-1IW1的解為到點1距離小于或等于1的所有點所對應(yīng)的實數(shù)，由圖可知為：0WxW2；圖1.2-1亨-1圖1.2-2(2)根據(jù)絕對值的幾何意義知不等式Ix+1I>2的解為到點-1距離大于2圖1.2-1亨-1圖1.2-2【說明】本題也可以從整體換元的角度直接做，如第(1)題，我們把x-1看成a,則有IaI^1,有-1^a^1,即-1Wx-1W1.【練習(xí)1.2】下列命題中哪些是真命題？(1)Ia》I=IaII》I；(2)Ia-bI=\b-a\；(3)若lal=b，則a=b；(4)若\a\>\b\,則a>b；(5)\a+b\=\a\+\b\.若\a-2\=2-a，求實數(shù)a的取值范圍.化簡：(1)x\；x2；(2)E(t3-2)2-11；(3)I1+%'a2I(a>0)；(4)如m2—6m+9-I1-mI(1<m<3)解方程：(1)x2=\x\；(2)\x-3\