2010泛函分析A卷答案

2010泛函分析A卷答案華中師范大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷答案(A卷)課程名稱(chēng):泛函分析，課程編號(hào)83410016，任課教師堯小華彭雙階阮立志鄧國(guó)泰題型判斷填空簡(jiǎn)述計(jì)算證明總分分值1220162032100得分線得分評(píng)閱人一、判斷題：(判斷下列論斷正確與否，如錯(cuò)誤請(qǐng)改正。共六題，每題2分，共12分)P1，均是可分的完備距離空間。L[a,b](1,p,,)封錯(cuò)，.1,p,,2，任意距離空間上的全有界集與準(zhǔn)緊集等價(jià)。錯(cuò)，完備的距離空間.3，任意賦范線性空間中的單位閉球均不是緊集。錯(cuò)，無(wú)窮維賦范空間。2l4，任意可分的希爾伯特空間均等距同構(gòu)于空間。錯(cuò)，無(wú)窮維HIllbert空間。5，任何賦范空間的對(duì)偶空間均是巴拿赫空間。對(duì)。11pq*LLp,,,,，，6，.([0,1])[0,1],(1,1)pq院(系)：專(zhuān)業(yè)：年級(jí)：學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：錯(cuò)，1,p,,。得分評(píng)閱人二、填空題：(共五小題，每題4分，共20分)集合準(zhǔn)緊的充分必要條件是A具有下列性質(zhì)：ACab,[,]M,0x,A(i)集合A是有界的，即存在常數(shù)，使得對(duì)一切有；|x(t)|,M(t,K),,,,,,,,,0(ii)集合A是等度連續(xù)的，即對(duì)，，使得對(duì)，只要，就有，，(,)，0,t,t,K|t,t|,,,,,x,A對(duì)一切成立。|x(t),x(t)|,,(共鳴定理)設(shè)是定義在巴拿赫空間E上而值域包含在賦范線性空間中的有界線性算{}()T,,,E,1xE,子簇。如果對(duì)每個(gè)，有，貝V一致有界。sup{||Tx||},,{T},,,,,,,,3，(開(kāi)映射定理)設(shè)有界線性算子T將巴拿赫空間E映入巴拿赫空間，則T的值域或者是，或者EE11是第一類(lèi)型集，二者必居其一。UxU,4,設(shè)是內(nèi)積空間的一個(gè)規(guī)范正交系，若對(duì)每個(gè)，帕賽瓦爾公式{}en2,2恒成立，則稱(chēng)是完備的。(}e||x||,|(x,e)|,nnn,111pqp,q5，設(shè)，那么當(dāng)滿(mǎn)足時(shí)，有赫爾德不，，1f(x),L[0,1],g(x),L[0,1],1,p,q,,pq1|f(x)g(x)dx|,||f||||g||等式成立。pq,LL0得分評(píng)閱人三、簡(jiǎn)述題：(共二小題，每題8分，共16分)1、敘述距離空間，賦范線性空間和內(nèi)積空間的定義以及它們之間的關(guān)系。答:距離空間是帶有一個(gè)度量空間函數(shù)的非空集合，記為(X,,);賦范空間是在其上定義了一個(gè)范數(shù)的線性空間，記為(E,||.||);內(nèi)積空間是在其上定義了一個(gè)內(nèi)積的線性空間，記為(H,,.,.,)。(6分)它們之間的關(guān)系是：內(nèi)積空間一定是賦范線性空間，而賦范線性空間，也一定是距離空間，反過(guò)來(lái)不一定正確，但在適當(dāng)條件下可以逆轉(zhuǎn)，比如，賦范空間中范數(shù)滿(mǎn)足平行四邊形法則，那么該空間也是內(nèi)積空間。(8分)2、敘述賦范空間上的強(qiáng)收斂、弱收斂以及其對(duì)偶空間上的弱*收斂定義，并簡(jiǎn)單說(shuō)明他們之間的關(guān)系。**解：設(shè)；，.則{x},X,x,X{}fX,fX,xn強(qiáng)收斂:若，則稱(chēng)強(qiáng)收斂于x.;(2分)||x,x||,0(n,,)xnn*弱收斂:若對(duì)任意，均有，那么稱(chēng)弱收斂于x.;(4分)f(x),f(x)(n,,)xfX,nnxX,弱*收斂:若對(duì)于任意的，均有，則稱(chēng)弱*收斂于；(6分)|()()|fxfxn,,,,0()ffnn關(guān)系:強(qiáng)收斂能推出弱收斂，反之不然；弱收斂與弱*收斂沒(méi)有必然關(guān)系。(8分)線得分評(píng)閱人四、計(jì)算題：(共二小題，每題10分，共20分)1，求上線性泛函C[,1,1]封01f(x),2x(t)dt,4x(t)dt,,,10的范數(shù)。12,,1,t,0,,f(x),g(t)x(t)dt解:令g(t),，那么。因?yàn)閷?duì)，有,x,C[,1,1],,,1,4,0,t,1,1密|f(x)|,(|g(t)|dt).max|x(t)|,6||x||,1,t,1,,1故。(6分)||f||,6另一方面取1,,1,t,,(1/n),,x(t),,nt,,(1/n),t,1/n,,,u,,1,1/n,t,1,x,C,,,1,1||x||,1,n,1,2,...,那么知且故有nn1||f||,|f(x)|,|g(t)x(t)dt,6,3/n，nn,,1n,,令||f||,6||f||,6得，于是得。(10分)1,2(Tx)(t),x(s)ds,t,[0,1]2，在上，定義線性算子，試求的伴隨算子。TL[0,1]T,t*2證明：由Holder不等式可直接證明算子為有界算子，下面求其對(duì)偶算子。TTL[0,1]*2*2任取，(2分)由的定義以及Fubini定理有Tf,(L[0,1]),L[0,1]111*(6分)(Tf)(x),f(Tx),f(t)(Tx)(t)dt,f(t)x(s)dsdt,,,t001s(8分)，x(s)(f(t)dt)ds,,00于是得到s*。(10分)(Tf)(s),f(t)dt,0得分評(píng)閱人五、證明題：(共四小題，每題8分，共32分)1，設(shè)T為完備距離空間X到它自身的映射，如果nn,(,)TxTy,,infsup1,0n,(,)xyxy,則T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：取,，(0,1,,),那么必存在n,N，使得00nn00,TxTy(,)(3分)sup,,，，，0xy(,),,xynnn000T,,,，，，1令，故得對(duì)，均有，于是映射為壓縮映射，，，x,y,X,(Tx,Ty),,,(x,y)0

而且X為完備距離空間，故由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理知T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。（8分）T:H,H2，設(shè)為一希爾伯特空間，為一線性算子。若對(duì)任意，均滿(mǎn)足HTx,y,H，（Tx,y）,（x,Ty）則證明為上一有界線性算子。TH證明：任取，使得，，（2分）那么由條件得到{x},Hx,x（n,,）Tx,z（n,,）nnn，（4分）（Tx,y）,（x,Ty）,y,Hnn令得到n,,，（6分）（z,y）,（x,Ty）,（Tx,y）,y,Hz,Tx于是有。由閉圖像定理知T為H上一有界線性算子。（8分）線，，3，設(shè)為一切有界數(shù)列組成的集合，其線性運(yùn)算按通常對(duì)應(yīng)的分量運(yùn)算定義。在中令ll||x||,sup|,|，nn,1，，其中，則證明按照該范數(shù)為不可分的巴拿赫空間。lx,{,,,,？,,,？},l12n,證明：容易證明關(guān)于該范數(shù)是賦范空間。（2分）l封kkk,n,1接著證明完備。為此，任取一基本列，于是對(duì)任意有x,{,,,,,？,,,？},l12knkm|,,,|,||x,x||,0（k,m,,）nnkmkn,1由直線的完備性知，對(duì)于是對(duì)任意存在，使得?，F(xiàn)記,，R,,,（k,,）nnnx,{,,,,,？,,,？}，因?yàn)橛?2nk|,|,sup|,|,sup||x||,,（,n）nnk密kk,,,,0k,Nx,l故得到。,,,,0k,Nx,l故得到。（4分）存在N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的n,有kkm|,,,|,lim|,,,|,lim||x,x||,,mnnmnnkm,lx,x(k,,)于是得到，即為巴拿赫空間。(6分)k最后證不可分。,l注意到有如下一個(gè)不可數(shù)的子集，并且每?jī)蓚€(gè)元數(shù)之間的而距離是1:A,{x,(,,,,,？,,,？);,,0,or1}12nn,l然后利用反證法可證不可分。(8分)k4，設(shè)為K上的賦范線性空間，(,1，2,…,n),,,…,是一組數(shù)并且滿(mǎn)足條件：存在Xx,Xaaakn12M,0常數(shù)，使得對(duì)任意，，???，有tttn21nn|ta|,M||tx||,,kkkk,1,1kk證明存在上的有界線性泛函，使得Xfk(1)(,1，2,…,n);f(x),akk(2)。||f||,M證明：令那么為有限維子空間，令X,span{xx?x},X,Xn1,2nnnnnn~,，其中，注意到如果，f:x,X,ta,Kx,txx,tx,tx,,,,iiniiiiii,1,1,1,1iiii那么條件知nn,,，|(t,t)a|,M||(t,t)x||,0,kkk,kkkk,1k,1nn~~k,故有。由此知映射為一適定得映射，且有(,1，2,…,n)°(3分)f(x),ata,taf,,kkiiii,1,1ii?,，K接著證明映射為一線性映射，對(duì)任意，顯然有x,y,Xfn~~~~~，f(x，y),f(x)，f(y)f