2022-2023學年湖北省武漢市部分重點中學高二年級上冊學期10月聯(lián)考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年湖北省武漢市部分重點中學高二上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．過點P（﹣2，m）和Q（m，4）的直線斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或4C【分析】根據(jù)斜率公式求.【詳解】，解得.故選：C2．已知向量，分別是直線、的方向向量，若，則下列幾組解中可能正確的是（

）A． B． C． D．A由方向向量的數(shù)量積為0可得．【詳解】由題意，即，代入各選項中的值計算，只有A滿足．故選：A．3．直線繞它與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線的方程是A． B．C． D．B【分析】直線與軸的交點為，且傾斜角為，由繞它與軸的交點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，可知直線過點，傾斜角為，即可寫出直線的方程.【詳解】因為直線與軸的交點為，且傾斜角為，所以知直線過點，傾斜角為，直線的方程為，即，故選B.本題主要考查了直線的傾斜角，斜率，直線方程，屬于中檔題.4．已知A，B，C三點不共線，O是平面外任意一點，若，則A，B，C，M四點共面的充要條件是（

）A． B．C． D．B【分析】由四點共面的充要可得，求解即可.【詳解】O是平面外任意一點，且，若A，B，C，M四點共面的充要條件是，即.故選：B.5．已知直線和直線，則當與間的距離最短時，t的值為（

）A．1 B． C． D．2B【分析】利用平行線之間的距離公式可求出關(guān)于的二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：∵直線即為直線，∴直線直線．∴與間的距離，當且僅當時取等號．∴當與間的距離最短時，t的值為．故答案選：B6．如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點，且，，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．B【分析】以為基底表示，由此求得，進而求得.【詳解】，所以.故選：B7．如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．D【分析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，由于三棱錐是正四面體，因此是底面三角形中心，是中點，由球表面積求得球半徑，在直角三角形中求出正四面體的棱長，然后由體積公式計算．【詳解】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.8．已知正方體的棱長為，，分別是棱、的中點，點為底面內(nèi)（包括邊界）的一動點，若與平面無公共點，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．B【分析】取的中點，連接、、，根據(jù)題意判斷平面平面，得出是點在底面內(nèi)的軌跡，計算的值即可．【詳解】解：取的中點，連接、、，如圖所示：因為，分別是棱、的中點，所以，平面，平面，所以平面，又且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因為與平面無公共點，平面，所以平面，又點為底面內(nèi)（包括邊界）的一動點，平面平面，所以是點在底面內(nèi)的軌跡，又正方體的棱長為，所以，所以點的軌跡長度為．故選：B．二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l方向向量，平面，則是平面的一個法向量B．坐標平面內(nèi)過點的直線可以寫成C．直線l過點，且原點到l的距離是2，則l的方程是D．設二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個交點，則過這三個點的圓與坐標軸的另一個交點的坐標為BD【分析】當時，，不能作為平面的法向量可判斷A；設過點的直線方程一般式為，可得，代入直線可判斷B；直線斜率存在和不存在兩種情況可判斷C；求出二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點，再利用圓的標準方程性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，當時，，不能作為平面的法向量，故A錯誤；對于B，設過點的直線方程一般式為，可得，即，代入直線方程得，提取公因式得，故B正確；對于C，當直線斜率不存在時，即，檢驗原點到的距離是2，所以符合；當直線斜率存在時，設為k，則方程為：，即，利用原點到直線的距離，解得，所以，故直線的方程是或，故C錯誤；對于D，由題知，二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為，，，設過這三個點的圓的方程為，令的兩根為2020，-2021，由韋達定理知，令的其中一個根為，所以另一個根為1，即圓過點(0，1)，故D正確.故選：BD.10．已知直線，，當滿足一定的條件時，它們的圖形可以是（

）A． B．C． D．AC首先將直線的一般式方程化為斜截式，根據(jù)斜率和截距之間的關(guān)系即可判斷．【詳解】解：直線可化為的斜率為，在軸上的截距為．直線可化為，斜率為，在軸上的截距為．當時，直線與平行，故正確．選項中，由直線在軸上的截距可得，．而由直線的斜率為，可得，故不正確．在選項中，由直線的斜率為，而直線在軸上的截距．直線在軸上的截距為，直線的斜率為，故正確．選項中，兩直線斜率，．再由直線在軸上的截距，故不正確．故選：．11．正方體的棱長為2，已知平面，則關(guān)于截此正方體所得截面的判斷正確的是（

）A．截面形狀可能為正三角形 B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形 D．截面面積最大值為ACD【分析】借助正方體，畫出截面圖形，再對選項進行一一判斷．【詳解】如圖，顯然A,C成立，下面說明D成立，如圖設截面為多邊形，設，則，則所以多邊形的面積為兩個等腰梯形的面積和，所以因為，，所以當時，，故D成立。故選：ACD．本題考查空間幾何體的截面問題，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時要注意從動態(tài)的角度進行分析問題和求解問題，屬于中檔題．12．（多選）正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，下列結(jié)論正確的是（

）．A．AD與BC所成的角為30°B．AC與BD所成的角為90°C．BC與平面ACD所成角的正弦值為D．平面ABC與平面BCD所成銳二面角的正切值是BD【分析】以O為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出各選項中的直線的方向向量、平面的法向量后可得向量的夾角的余弦值，從而得到相應的空間角的三角函數(shù)值.【詳解】取的中點O，連接，則，∵正方形沿對角線折成直二面角，故平面平面，而平面平面，平面，故平面.∴以O為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，∴，，，，.∵，因為，故，∴異面直線與所成的角為60°，故A錯誤；∵，∴，故B正確；設平面的法向量為，則取，得，∴，設與面所成角為，則，故C錯誤；易知平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則取得，∴，設兩個平面的夾角為（為銳角），則，故，故.∴平面與平面的夾角的正切值是，故D正確.故選：BD.三、填空題13．設，則“”是“直線：與直線：平行”的__________條件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）充分不必要【分析】由直線平行的條件與充分必要條件的概念求解，【詳解】當與平行時，可得，解得或，當時，：，：，滿足平行，當時，：，：，滿足平行，則“”是“直線：與直線：平行”的充分不必要條件，故充分不必要14．大約2000多年前，我國的墨子就給出了圓的概念：“一中同長也.”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周上的點的距離都相等.這個定義比古希臘數(shù)學家歐幾里德給出的圓的定義要早100年.已知是坐標原點，，若，則線段長的最小值是______．由題意可得，點在以坐標原點為圓心，3為半徑的圓上，而點在圓內(nèi)，當共線，且在點的同側(cè)時，長的最小，所以的最小值為【詳解】解：因為是坐標原點，，所以點在以坐標原點為圓心，3為半徑的圓上，因為，所以點在圓內(nèi)，所以當共線，且在點的同側(cè)時，長的最小，此時，所以線段長的最小值為2故215．設的對角線和交于為空間任意一點，如圖所示，若，則_______．4【分析】根據(jù)向量的線性加法運算，由為中點，可得，，即可得解.【詳解】由為中點，可得，，所以，所以，故答案為.16．如圖，矩形中，，平面，若在線段上至少存在一個點滿足，則的取值范圍是________.【分析】由已知中平面，在邊上取點，使，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)可得滿足條件時，，即以為直徑，的中點為圓心的圓，再根據(jù)，，滿足條件的點至少有1個，從而可得的取值范圍．【詳解】解：平面，平面，，又，，平面，又平面，，所以點是以中點為圓心，以為直徑的圓與的交點，，，在線段上至少存在一個點滿足，．故．四、解答題17．如圖：已知四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：(1)PC∥平面EBD；(2)BC⊥平面PCD．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連AC，與BD交于O，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；（2）證明BC⊥PD，BC⊥CD，即可證明BC⊥平面PCD．【詳解】（1）連AC，與BD交于O，連接EO∵ABCD是正方形，∴O是AC的中點，∵E是PA的中點，∴EO∥PC又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD∴PC∥平面EBD；（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴BC⊥PD∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD．18．已知直線和的交點為P．(1)若直線l經(jīng)過點P且與直線平行，求直線l的方程；(2)若直線m經(jīng)過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，為線段的中點，求△OAB的面積．（其中O為坐標原點）．(1)4x－3y－3＝0(2)30【分析】（1）聯(lián)立直線方程，求出交點坐標，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點斜式方程可得答案；（2）由點斜式方程，設出直線方程，求得兩點的坐標，根據(jù)中點坐標公式，求得斜率，根據(jù)三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）由，求得，可得直線和的交點為P（－3，－5）．由于直線的斜率為，故過點P且與直線平行的直線l的方程為，即4x－3y－3＝0．（2）由題知：設直線m的斜率為kk≠0，則直線m的方程為，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面積為．19．已知中，點，邊所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為.(1)求點和點的坐標；(2)以為圓心作一個圓，使得，，三點中的一個點在圓內(nèi)，一個點在圓上，一個點在圓外，求這個圓的方程.(1)，(2)【分析】（1）由題意，設所求點的坐標，結(jié)合中點坐標公式，代入對應直線方程，解得答案；（2）由題意，分別求點到的距離，比較大小，可得答案.【詳解】（1）設，，的中點，由題意可得直線的直線方程：，則，解得，，解得，故，.（2），，，由，則圓方程為.20．在三棱柱中，，，，平面，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明見解析；（2）.（1）由，，得平面，平面，可得答案.（2）以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量由數(shù)量積公式可得答案.【詳解】（1）由平面，平面，得，又，，故平面，平面，故平面平面.（2）以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，又，，故，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，設直線與平面所成的角為，故，即直線與平面所成角的正弦值為.本題考查了面面垂直的判定、線面角的求法，證明線面垂直可以證明面面垂直，也可以用直線的方向向量與平面的法向量共線證明，用向量法求線面角只需找到直線的方向向量和平面的法向量再利用數(shù)量積公式可求得答案，本題考查了學生的空間想象力和計算能力.21．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，.(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)設為棱上的點，滿足異面直線與所成的角為，求的長.(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直證明異面直線垂直；（2）過點作于，連接，可得即為平面與平面所成的角，再利用三角形的性質(zhì)求得余弦值；（3）設，根據(jù)異面直線夾角，利用坐標法可得的值.【詳解】（1）平面，平面，，，，、平面，平面，又平面，；（2）如圖所示，過點作于，連接，由（1）知，平面，，又，平面，即為平面與平面所成的角．在中，，，，，在中，，，故平面與平面夾角的余弦值為．（3）以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，異面直線與所成的角為，，解得或（舍），．.22．如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形.(1)設平面平面，證明：；(2)設D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長.(1)證明見解析(2)