2022-2023學(xué)年浙江省嘉興市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省嘉興市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知方程表示圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)得到不等式，解得即可.【詳解】解：因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，所以.故選：B2．若直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則有（）A． B． C． D．C【分析】由縱截距大于0，斜率小于0可得．【詳解】直線過(guò)一、二、四象限，則縱截距大于0，斜率小于0，直線方程的截距式為，因此，故選：C．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)為（

）A． B． C． D．D【分析】求出時(shí)，不等式的左邊，再求出當(dāng)時(shí)，不等式的左邊，得到當(dāng)時(shí)，即可推出不等式的左邊比時(shí)增加的項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊等于，當(dāng)時(shí)，不等式左邊等于當(dāng)時(shí)，不等式的左邊比時(shí)增加.故選：D4．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲．1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．17 B．37 C．107 D．128C【分析】根據(jù)題意可得既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，即是21的倍數(shù)，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】解：因?yàn)槟鼙?除余2且被7除余2，所以既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，即是21的倍數(shù)，且，所以，即，所以.故選：C.5．已知數(shù)列滿足：（），且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．C【分析】仿照分段函數(shù)的單調(diào)性求解，同時(shí)注意．【詳解】由題意，解得．故選：C．6．已知圓：，圓：，若圓平分圓的周長(zhǎng)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．B【分析】?jī)蓤A方程相減，可求出公共弦所在的直線方程，再由題意可知圓的圓心在公共弦上，所以將的坐標(biāo)代入公共弦方程可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以圓：的圓心為，由和，得，所以兩圓公共弦所在直線方程為，因?yàn)閳A平分圓的周長(zhǎng)，所以在直線上，所以，得，故選：B7．在數(shù)列中，，，則（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列先遞減后遞增 D．?dāng)?shù)列先遞增后遞減A【分析】由數(shù)列遞推式求出，可判斷，將兩邊平方得，判斷與同號(hào),結(jié)合，可判斷，即得答案.【詳解】由，，得，，且可知．再由，兩邊平方得①，則②，②﹣①得：，∴，∵，∴與同號(hào),由，可知，，即，可知數(shù)列單調(diào)遞減．故選：A．8．已知圓O：，過(guò)直線l：在第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，直線AB與兩坐標(biāo)軸分別交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最小值為（）A． B． C． D．2B【分析】設(shè),利用圓切線的性質(zhì)，得到切點(diǎn)弦所在直線方程，然后求出，寫出面積表達(dá)式，利用基本不定式得到其最小值.【詳解】設(shè),則,設(shè),當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為，兩邊同乘得，即，而，代入得，顯然當(dāng)或時(shí)也適合，所以切線方程為，同理將的坐標(biāo)代入上述直線方程,則有，于是直線的方程為,分別令，易得，則，的面積為,當(dāng)且僅當(dāng)結(jié)合，即時(shí)取等號(hào).所以面積的最小值為.故選：B.對(duì)于圓心在原點(diǎn)的圓上某點(diǎn)的切線方程結(jié)論為，過(guò)圓心在原點(diǎn)的圓的圓外一點(diǎn)作圓兩條切線，其切點(diǎn)弦所在直線方程為，兩者形式相同，但意義不同，最后得到直線方程，求出其面積表達(dá)式，利用基本不等式求出最值，如果能記住相關(guān)結(jié)論，對(duì)這道選擇題來(lái)說(shuō)將會(huì)大有裨益.二、多選題9．若P，Q分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：∥，則下面正確的有（）A． B．C．當(dāng)c確定時(shí)，有最小值，沒有最大值 D．當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，ABC【分析】由∥可得，，即可判斷A，B選項(xiàng)；因?yàn)榈淖钚≈禐?，之間的距離，由兩平行線間的距離可得，所以得，進(jìn)而可判斷C，D.【詳解】解：因?yàn)椤?，所以，，所?，故A，B正確；的最小值為，之間的距離，又因?yàn)椤?，所以，之間的距離，所以當(dāng)c確定時(shí)，有最小值為，沒有最大值，故C正確；當(dāng)時(shí)，則有或，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．設(shè)數(shù)列是公差為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，且，則（）A． B． C． D．，為的最小值A(chǔ)BD【分析】根據(jù)題干條件找出和的等量關(guān)系，分析出和的符號(hào)后逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)可知，，由等差中項(xiàng)可得，，即，故B正確；，，故，故A正確；，可知，等差數(shù)列單調(diào)遞增，但，說(shuō)明都是負(fù)數(shù)，故最小，又，于是，它們均是最小值，故D正確；據(jù)剛才分析，，而，故C錯(cuò)誤.故選：ABD11．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．人們將這個(gè)圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程為 B．軌跡圓的面積為C．在上存在使得 D．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線BD【分析】設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)可得的軌跡方程，可判斷A，從而可確定軌跡圓的面積，可判斷B；若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得的軌跡方程，聯(lián)立的軌跡方程，即可判斷C；當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由，由角平分線定理的逆定理，可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，又圓：的半徑，則圓的面積為，故B正確；對(duì)于C，若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，即有，化簡(jiǎn)可得，聯(lián)立，可得方程組無(wú)解，故不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由，可得射線是的平分線，故D正確.故選：BD.12．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：……已知從第二行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，第一列數(shù)成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則（）A． B．在第85列 C． D．ACD【分析】由已知，根據(jù)條件，選項(xiàng)A，設(shè)第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列公差為，根據(jù)求解公差，然后再求解即可驗(yàn)證；根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，先計(jì)算第行共有項(xiàng)，然后再總結(jié)前行共有項(xiàng)，先計(jì)算前44行共有項(xiàng)，然后用，即可判斷選項(xiàng)B；選項(xiàng)D，先計(jì)算第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，然后再根據(jù)每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解通項(xiàng)；選項(xiàng)C，先表示出，，然后可令、，分別判斷數(shù)列的單調(diào)性，求解出對(duì)應(yīng)的最大值與最小值，比較即可判斷.【詳解】由已知，第一列數(shù)成等差數(shù)列，且，設(shè)第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列公差為，則，所以，選項(xiàng)A正確；第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，第一行共有1項(xiàng)，第二行共有3項(xiàng)，第三行共有5項(xiàng)，，第行共有項(xiàng)，所以前一行共有項(xiàng)，前二行共有項(xiàng)，前三行共有項(xiàng)，，前行共有項(xiàng)，所以前44行共有項(xiàng)，而，所以位于第45行86列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，且每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，所以第行的數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)榈谝涣袛?shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)且，，所以單調(diào)遞減，所以，所以，而令，在上單調(diào)遞增，所以，所以成立，選項(xiàng)C正確.故選：ACD.在處理等比等比數(shù)列交叉的數(shù)陣問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)條件說(shuō)明，或者數(shù)陣行、列的規(guī)律總結(jié)、類比出等差、等比數(shù)列，需要注意的是，不要把求通項(xiàng)和求和的式子混淆了.三、填空題13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為___________．【分析】先利用等比數(shù)列前項(xiàng)的關(guān)系算出，然后再檢查算出的值能否保證所有項(xiàng)成等比數(shù)列.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，則其前項(xiàng)成等比數(shù)列，即，由，，，，故，解得.此時(shí)，時(shí)，當(dāng)，，故符合，于是時(shí)，，數(shù)列為等比數(shù)列.故14．圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________．3【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離，由半徑，從而得到該圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為是3．故3．15．記，．若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前200項(xiàng)的和為_________．【分析】根據(jù)，分別令下標(biāo)為，得到關(guān)于的遞推關(guān)系式，然后進(jìn)行分組求和.【詳解】根據(jù)可得，，，，又，則，故，又，則，故.故前項(xiàng)和.故16．已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________．【分析】方程的根轉(zhuǎn)化為與的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于兩個(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使得所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】解：方程的根轉(zhuǎn)化為與的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使得所有根的和為6，所以兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，作出和的圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，解得（舍）或，所以的取值范圍為.故．四、解答題17．已知的頂點(diǎn)．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．(1)(2)【分析】（1）先求直線的斜率，結(jié)合，求高所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線方程；（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】（1）∵直線的斜率∴邊上的高所在直線的斜率，則所求直線方程為，即∴邊上的高所在直線的方程為（2）∵線段的中點(diǎn)∴邊上的中線所在直線的斜率，則所求直線方程為，即∴邊上的中線所在直線的方程為18．已知數(shù)列滿足：,數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷數(shù)列類型求出通項(xiàng)公式,根據(jù)的前n項(xiàng)和,利用,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可,注意檢驗(yàn);(2)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特殊性,利用錯(cuò)位相減法,求出其前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）解:由題知,是以2為公比的等比數(shù)列,,的前n項(xiàng)和,時(shí),當(dāng)時(shí),,故,綜上:;（2）由(1)知,,,①,②②-①可得:故.19．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題，這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即為回到軍營(yíng).軍營(yíng)所在區(qū)域可表示為.(1)求“將軍飲馬”的最短總路程；(2)因軍情緊急，將軍來(lái)不及飲馬，直接從A點(diǎn)沿傾斜角為45°的直線路徑火速回營(yíng)，已知回營(yíng)路徑與軍營(yíng)邊界的交點(diǎn)為M，N，軍營(yíng)中心與M，N連線的斜率分別為，，試求的值.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，然后求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)求出到圓上的點(diǎn)的最短距離即可；（2）將直線方程代入圓的方程并化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求得答案.【詳解】（1）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，圓：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖如下：設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營(yíng)區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，則，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，即為.（2）過(guò)點(diǎn)A傾斜角為45°的直線方程為：，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立，消去y得.由韋達(dá)定理，，.20．已知數(shù)列滿足：．(1)若，求的值；(2)設(shè)，，數(shù)列是否有最大項(xiàng)，最小項(xiàng)？若有，分別指出第幾項(xiàng)最大，最??；若沒有，試說(shuō)明理由．(1)(2)最大項(xiàng)為第3、4項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可求；（2）求出，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性定義可判斷數(shù)列的最大項(xiàng).【詳解】（1）（2）由（1）可得為等差數(shù)列，且，故，所以，故，故，故，故當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故有最大項(xiàng)且最大項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，故沒有最小項(xiàng).綜上，最大項(xiàng)為第3、4項(xiàng)，沒有最小項(xiàng).21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．(1)或，(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【詳解】(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d＝＝1，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得＝1，化簡(jiǎn)得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.所求直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故有，化簡(jiǎn)得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因?yàn)殛P(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，所以有解得點(diǎn)P坐標(biāo)為或.22．已知數(shù)列滿足，，其中，．(1)當(dāng)時(shí)，①求；②求：；(2)設(shè)集合．是否存在實(shí)數(shù)，使1、6、都屬于？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)和；若不存在，