統(tǒng)計(jì)概率講義

臨夏志成中學(xué)985班統(tǒng)計(jì)概率講義統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：統(tǒng)計(jì)學(xué)反應(yīng)已經(jīng)發(fā)生的事實(shí)的結(jié)果，概率論研究未來(lái)發(fā)生的隨機(jī)事件的可能性聯(lián)系：概率論以統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究為基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)學(xué)普查收集數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣調(diào)查分層抽樣系統(tǒng)抽樣統(tǒng)莖葉圖整理數(shù)據(jù)頻率分布直方圖計(jì)集中分析樣本分析學(xué)分析數(shù)據(jù)離散分析總體估計(jì)線性回歸應(yīng)用數(shù)據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)一、收集數(shù)據(jù)1.普查：需要耗費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力，一般在總體很少時(shí)采用2.抽樣調(diào)查：從調(diào)查的總體中抽取一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本進(jìn)行研究其中樣本中含有的個(gè)體數(shù)稱為該樣本的樣本容量①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用條件：總體數(shù)較少，且沒(méi)有明顯的結(jié)構(gòu)差異常用方法：隨機(jī)數(shù)表法，抽簽法，抓鬮法例：用隨機(jī)數(shù)表從300個(gè)調(diào)查對(duì)象中抽出10個(gè)個(gè)體個(gè)體進(jìn)行研究隨機(jī)數(shù)表如下：則抽取出的10個(gè)個(gè)體的編號(hào)為②分層抽樣適用條件：總體數(shù)較多，且有明顯的結(jié)構(gòu)差異本質(zhì)：樣本中各層次的比例與總體中各層次的比例相同例：志成中學(xué)從小學(xué)600，初中300，高中100抽取20人進(jìn)行校長(zhǎng)訪談，則分別抽取的人數(shù)為③系統(tǒng)抽樣適用條件：總體數(shù)很多，無(wú)明顯結(jié)構(gòu)差異操作步驟：第一步：編號(hào)，將總體中所有的個(gè)體從1開(kāi)始編號(hào)，一直到N（N為最后一個(gè)人編號(hào)）第二步：確定組數(shù)，樣本容量n即為組數(shù)第三步：確定間隔T(此步較為重要):[即T為N除以n的商的整數(shù)部分，不管小數(shù)部分多大，只取整數(shù)]第四步：分組，從編號(hào)1開(kāi)始，每T個(gè)個(gè)體構(gòu)成一組，共n組，多余的人省略第五步：在第一組中抽取：采取隨機(jī)抽樣的方法抽取到編號(hào)為的個(gè)體第六步：抽取樣本：在剩下的n-1組中每組只抽取一個(gè)個(gè)體，遵循以下原則：編號(hào)分別為：例：從320個(gè)學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取10個(gè)學(xué)生參加籃球賽，請(qǐng)你寫出一組滿足條件的學(xué)生編號(hào)：例2：志成中學(xué)840人參加野外宿營(yíng)，其中編號(hào)為1-360的360人在I區(qū)宿營(yíng)，依次下來(lái)280人在A區(qū)，其余人在B區(qū)，先采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取28位同學(xué)作為區(qū)安全員，若在第一組中抽到的編號(hào)為12，則三區(qū)的區(qū)安全員人數(shù)分別為最后需要特別強(qiáng)調(diào)的是，不管采用哪一種抽樣方法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率始終是相等的。二、整理數(shù)據(jù)采用抽樣方法收集的數(shù)據(jù)比較雜亂，需要進(jìn)行整理，是數(shù)據(jù)有序，目前比較常用的兩種方法：莖葉圖，頻率分布直方圖1.莖葉圖適用條件：樣本容量較少優(yōu)勢(shì)：①保留了原始數(shù)據(jù)；②便于比較兩個(gè)樣本操作：選擇合適的數(shù)作為莖，莖確定后，將對(duì)應(yīng)的數(shù)寫到前面或后面作為葉例：（2023年全國(guó)卷2）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．2.頻率分布直方圖適用條件：樣本容量較大不足：丟失了原有數(shù)據(jù)，只能保留數(shù)據(jù)的大致范圍操作步驟：第一步：求極差：收集得到的數(shù)據(jù)中的最大值-最小值=極差L第二步：確定組距d，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)選擇合適的數(shù)據(jù)，以各組中含有的個(gè)體數(shù)差異不要過(guò)大為原則第三步：確定組數(shù)n:[與系統(tǒng)抽樣不同的是，系統(tǒng)抽樣只取商的整數(shù)，而在頻率分布直方圖這兒，不管商的小數(shù)部分有多小，我們都要給整數(shù)部分+1，為什么呢？例：極差L：20.4，組距d:5則組數(shù)n=5（）]第四步：列頻率分布表（如下）分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率合計(jì)樣本容量1說(shuō)明①所謂頻數(shù)累計(jì),在整理數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)于某個(gè)數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)屬于哪一組，則改組的頻數(shù)增加1②頻數(shù)/樣本容量；頻數(shù)=樣本容量*頻率樣本容量=頻數(shù)/頻率③頻數(shù)之和為樣本容量，頻率之和為1第五步：根據(jù)頻率分布表做出頻率分布直方圖頻率／組距分組說(shuō)明：①標(biāo)準(zhǔn)的頻率分布直方圖縱坐標(biāo)應(yīng)該為頻率／組距，但需注意高考題目中給出的直方圖中縱坐標(biāo)可能為頻率或者頻數(shù)，一定注意觀察縱坐標(biāo)表示。②對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的頻率分布直方圖，每一段直方的面積表示該組的頻率③頻率之和為１④注意頻率分布表與頻率分布直方圖的區(qū)別于聯(lián)系（2023年廣東卷）隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：（1）確定樣本頻率分布表中和的值；（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,50］的概率。例２：某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：（Ⅰ）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求、、的值；（Ⅱ）從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的名領(lǐng)隊(duì)中年齡在歲的人數(shù)為，求的分布列和期望。例３（2023年全國(guó)2）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望例４：（2023年全國(guó)卷1）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（=2\*ROMANII）若要求，確定的最小值；（=3\*ROMANIII）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？三、分析數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，我們對(duì)樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并用對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分析估計(jì)總體的趨勢(shì)１．集中分析集中分析反映樣本數(shù)據(jù)的集中程度，主要有以下指標(biāo)①眾數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中最多的數(shù)=1\*ROMANI、對(duì)于莖葉圖或者保留了原始數(shù)據(jù)的樣本，眾數(shù)即為最多的數(shù)=2\*ROMANII、對(duì)于頻率分布直方圖，眾數(shù)為頻率最大（直方最高）組的組中點(diǎn)值②中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)最中間的數(shù)=1\*ROMANI、對(duì)于莖葉圖或者保留了原始數(shù)據(jù)的樣本，首先將數(shù)據(jù)按照從小到大或者從大到小的順序進(jìn)行排列，當(dāng)數(shù)據(jù)共有奇數(shù)個(gè)時(shí)，最中間的那個(gè)數(shù)為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)共有偶數(shù)個(gè)時(shí)，最中間兩個(gè)數(shù)之和的一半為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)=2\*ROMANII、對(duì)于頻率分布直方圖，中位數(shù)為使得該數(shù)兩邊的頻率分別為的EQ\F(頻率EQ\F(頻率,組距)0.0050.0100.0200.0300.0350.0150.025臨夏志成中學(xué)高中生的體重頻率分步直方圖如左圖所示，則該校學(xué)生體重的中位數(shù)為405060708090體重(kg)分析：中位數(shù)是中間的數(shù)，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩端的頻率相等，均為，第一組的頻率為第二組的頻率為前兩組頻率和為第三組的頻率為前三組頻率和為也就是說(shuō)，中位數(shù)應(yīng)該在第三組之中，且頻率應(yīng)該為即第三組中所占的面積為，令底長(zhǎng)為,則，即所以中位數(shù)為③平均數(shù)=1\*ROMANI、對(duì)于莖葉圖或者保留了原始數(shù)據(jù)的樣本，平均數(shù)為算數(shù)平均數(shù)，即=2\*ROMANII、對(duì)于頻率分布直方圖，平均數(shù)為加權(quán)平均數(shù)，為各組數(shù)的組中點(diǎn)值與該組的頻率（即直方的面積）乘積之和，即例：以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值分別為２．離散分析：分析數(shù)據(jù)的離散程度或者波動(dòng)程度，主要指標(biāo)有：①極差：極差即樣本的最大值與最小值之差②方差：方差是反映離散程度最佳指標(biāo)，方差大，離散程度相對(duì)大一些，或者說(shuō)數(shù)據(jù)相對(duì)不太穩(wěn)定，波動(dòng)性較大=1\*ROMANI、對(duì)于莖葉圖或者保留了原始數(shù)據(jù)的樣本，方差為：變式：例：（2023年全國(guó)卷1）現(xiàn)有個(gè)數(shù)，其平均數(shù)是，且這個(gè)數(shù)的平方和是，那么這個(gè)數(shù)組的方差是（）A．B．４C．９D．１６=2\*ROMANII、對(duì)于頻率分布直方圖，方差的計(jì)算方式較為復(fù)雜，但和Ｉ幾乎一樣，先按照前面講的公式計(jì)算平均數(shù)，在按照下列公式計(jì)算方差：（為各組的組中間值）為各組對(duì)應(yīng)的頻率③標(biāo)準(zhǔn)差：不管哪一種情況，標(biāo)準(zhǔn)差為方差的算術(shù)平方根：標(biāo)準(zhǔn)差例（2023年全國(guó)1卷）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；同時(shí)還需要強(qiáng)調(diào)的是，希望各位同學(xué)會(huì)對(duì)莖葉圖做出相應(yīng)的分析，具體的可以詳見(jiàn)課本必修３第７０頁(yè)，一般從離散和集中兩個(gè)角度進(jìn)行。例：甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則（）甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差四、運(yùn)用數(shù)據(jù)：１.線性回歸（注意非線性回歸的線性轉(zhuǎn)換）①線性回歸分析兩個(gè)變量間的線性關(guān)系：一個(gè)為自變量，另一個(gè)為因變量②線性關(guān)系的衡量：（散點(diǎn)圖從圖像角度，相關(guān)系數(shù)從代數(shù)角度分別進(jìn)行衡量）1）散點(diǎn)圖：以自變量的值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的因變量的值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系標(biāo)出所有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)形成的圖像I.當(dāng)所有點(diǎn)分布在從左下到右上的區(qū)域時(shí)，因變量與自變量正相關(guān)即：因變量隨著自變量的增大圖像趨勢(shì)上增大=2\*ROMANII.當(dāng)所有點(diǎn)分布在從左上到右下的區(qū)域時(shí)，因變量與自變量負(fù)相關(guān)即：因變量隨著自變量的增大圖像趨勢(shì)上減小例：對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)理力爭(zhēng)（，）（i=1,2,…，10），得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（，）（i=1,2,…，10）,得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（）（A）變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)（B）變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)（C）變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)（D）變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)例2：變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則()A.B.C.D.2）相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)從代數(shù)角度衡量因變量與自變量的相關(guān)關(guān)系，做如下說(shuō)明：a.相關(guān)系數(shù)b.,完全正相關(guān)，即：因變量隨著自變量的增大一定增大，正相關(guān)，即：因變量隨著自變量的增大趨勢(shì)上增大越大，正相關(guān)性越強(qiáng)c.,完全負(fù)相關(guān)，即：因變量隨著自變量的增大一定減小，負(fù)相關(guān)，即：因變量隨著自變量的增大趨勢(shì)上減小越小，負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)d.，自變量與因變量無(wú)線性相關(guān)性注意：“越大，相關(guān)性越強(qiáng)”這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。為什么呢？例：已知收集到的數(shù)據(jù)在散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)都在直線上，則兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)③線性回歸直線a.線性回歸直線較為準(zhǔn)確的給出了因變量與自變量的線性代數(shù)關(guān)系b.回歸直線使得散點(diǎn)圖中的點(diǎn)比較均勻地分布在回歸直線兩側(cè)，但不意味著直線兩端的點(diǎn)個(gè)數(shù)一定相同c.線性回歸直線的參數(shù)的估計(jì)值的計(jì)算采用最小二乘法，所謂最小二乘法是使得實(shí)際值與估計(jì)值的差的平方和最小的一種方法，在該種方法下，求得的參數(shù)使得回歸直線是最佳的一條d.,e.線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)f.回歸直線的斜率與相關(guān)系數(shù)r符號(hào)相同，但是與r數(shù)值沒(méi)有關(guān)系，同時(shí)表示自變量每變化一個(gè)單位，因變量變化個(gè)單位g.通過(guò)回歸直線計(jì)算出的因變量值是一個(gè)預(yù)報(bào)值，在實(shí)際值的上下例：已知變量與正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)，，則由觀測(cè)的數(shù)據(jù)得線性回歸方程可能為（）例2：根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.5得到的回歸方程為，則（）A.B.C.D.例3：設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg④回歸直線的擬合精度衡量：所謂擬合精度就是估計(jì)值與實(shí)際值的接近程度，擬合精度越高，通過(guò)回歸直線所得的估計(jì)值與實(shí)際值越接近需要說(shuō)明的是，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，我們通過(guò)最小二乘法得到的回歸直線已經(jīng)是擬合度最高的一條直線，因此擬合精度高低比較一般在不同的兩組或多組數(shù)據(jù)間進(jìn)行擬合精度的衡量方法主要有兩種：殘差圖從圖像角度進(jìn)行衡量，相關(guān)指數(shù)從代數(shù)角度進(jìn)行衡量1）殘差圖第一步：計(jì)算殘差（）第二步：做平面直角坐標(biāo)系：對(duì)樣本個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，做平面直角坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)為編號(hào)，縱坐標(biāo)為殘差第三步：標(biāo)出各個(gè)個(gè)體的殘差（殘差可能為正也可能為負(fù)）（具體步驟可以查看選修2-3第84頁(yè)）當(dāng)殘差圖殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，擬合精度越高2）相關(guān)指數(shù)當(dāng)相關(guān)指數(shù)越大（越接近1但小于1），擬合精度越高注意：相關(guān)系數(shù)衡量的是兩個(gè)變量之間線性相關(guān)性強(qiáng)弱相關(guān)指數(shù)衡量的回歸直線估計(jì)值與實(shí)際值的擬合程度例：（2023年新課標(biāo)2）某地區(qū)2007年至2023年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007202320232023202320232023年份代號(hào)t1234567人均純收入y5.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2023年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，例2：（2023年全國(guó)卷3）下圖是我國(guó)2023年至2023年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖（=1\*ROMANI）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（=2\*ROMANII）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量。，，，對(duì)于非線性相關(guān)，通過(guò)替換轉(zhuǎn)換成為線性相關(guān)問(wèn)題，記得最后將替換的還原例：（2023年全國(guó)卷1）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，···，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.年銷售量年銷售量/t年宣傳費(fèi)年宣傳費(fèi)(千元)46.656.36.8289.81.61469108.8表中，，＝(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(Ⅲ)以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（1）年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（2）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1v1)，(u2v2)……..(unvn)，其回歸線v＝u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：2、獨(dú)立性檢驗(yàn)①收集數(shù)據(jù)，填寫二聯(lián)表②假設(shè)無(wú)關(guān)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量對(duì)此做出如下說(shuō)明：(以例子展開(kāi))a.假設(shè)事件A與事件B無(wú)關(guān)，根據(jù)概率論中的獨(dú)立事件即③將計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)的無(wú)關(guān)數(shù)值概率分布表比較，得出結(jié)論例：通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由算得，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828附表：參照附表，得到的正確結(jié)論是A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”例2：為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：（Ⅰ)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由.[來(lái)源:Z*xx*k.Com]概率論1.相關(guān)概念：隨機(jī)事件：可能發(fā)生也可能不能不發(fā)生的事件①事件必然事件：一定發(fā)生確定事件不可能事件：一定不發(fā)生②因?yàn)殡S機(jī)事件有多種可能，我們需用相關(guān)的實(shí)驗(yàn)用發(fā)現(xiàn)所有的可能，我們把每一種可能稱為一個(gè)基本事件③隨機(jī)事件可能包含實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的多個(gè)基本事件④概率：1.衡量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小2.對(duì)于一個(gè)確定的隨機(jī)事件，概率是其本質(zhì)屬性，不會(huì)隨外界條件的改變而改變3.為了測(cè)量概率，我們用大量實(shí)驗(yàn)群的頻率來(lái)發(fā)現(xiàn)概率，實(shí)驗(yàn)群的頻率總是圍繞著概率上下波動(dòng)⑤1.幾何概型：常見(jiàn)的有長(zhǎng)度、面積(特別愛(ài)和微積分結(jié)合考察)、體積三種形式例1：設(shè)y=f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分,先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù),…,和,…,,由此得到N個(gè)點(diǎn)（，）（i=1,2,…,N）,在數(shù)出其中滿足≤（（i=1,2,…,N））的點(diǎn)數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分的近似值為.例2：設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋趨^(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）A.B.C.D.2.古典概型：1.每一個(gè)基本事件等可能出現(xiàn)，(N為對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的所有基本事件數(shù)，為隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù))2.為了計(jì)算古典概型，現(xiàn)代數(shù)學(xué)一般用排列組合知識(shí)計(jì)算、N3.對(duì)于排列組合知識(shí)，需要著重掌握：=1\*romani、元素不同，元素與位置相等的全排列注意特殊元素、特殊位置、捆綁法、插空法、排除法等方法=2\*romanii、元素不同，元素與位置不相等的全排列問(wèn)題=3\*romaniii、元素相同，元素與位置不相等的全排列問(wèn)題（隔板法）同時(shí)希望大家對(duì)錯(cuò)序排列有點(diǎn)印象例（2023年浙江卷）：有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù)。若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上下午都各測(cè)試一人，則不同的安排方式共有種（用數(shù)字作答）。4.跟排列組合相對(duì)應(yīng)，二項(xiàng)式定理是一個(gè)高考必考考點(diǎn)1）二項(xiàng)展開(kāi)式注意：標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)展開(kāi)式是按照括號(hào)里后一項(xiàng)進(jìn)行升冪展開(kāi)的因而有第k+1項(xiàng)：2）基本概念項(xiàng)：展開(kāi)式中的（）稱為展開(kāi)式的項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)：稱為第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)之和：對(duì)于，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為（在二項(xiàng)展開(kāi)式中令即可證明，賦值法也是我們后面求系數(shù)之和的主要方法）偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和=偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和=（在二項(xiàng)展開(kāi)式中先令，再令，兩式相加減即可）系數(shù)：對(duì)于含有變量x的二項(xiàng)展開(kāi)式我們把每一項(xiàng)的常數(shù)部分稱為該項(xiàng)的系數(shù)例如：的第四項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)系數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和：令即可求得系數(shù)之和偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和和奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和：令和得到兩個(gè)式子，加減兩式即可得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和。二項(xiàng)式系數(shù)最大值：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，總共有偶數(shù)項(xiàng)，中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，共有奇數(shù)項(xiàng)，中間項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大系數(shù)最大值：需要將第k-1，k,k+1項(xiàng)的系數(shù)表示出來(lái)，求解不等式例：（2023年天津卷）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為例2：（2023年湖北卷）已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A．B．C．D．例3（2023年新課標(biāo)卷）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）（A）-40（B）-20（C）20（D）40②（2023年重慶卷）的展開(kāi)式中的系數(shù)相等，則n=（A）6（B）7（C）8（D）9③，則=1、（2023年安徽卷）6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品，已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為（）或或或或2.高三368班5個(gè)人排成一排，馬秀蘭、羅文英不能相鄰，且馬秀蘭必須與馬啟林相鄰，則共有種排法（用數(shù)字表示）3.設(shè)集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（）A．60B90C.120D.1304.(2023年福建卷)用代表紅球，代表藍(lán)球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由的展開(kāi)式表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“”表示取出一個(gè)紅球，面“”用表示把紅球和籃球都取出來(lái).以此類推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是B.C.D.⑥條件概率：在事件A確定發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率條件概率看似很難，其實(shí)比較簡(jiǎn)單，現(xiàn)有兩種計(jì)算方法1.在A發(fā)生的基礎(chǔ)上直接計(jì)算事件B的概率2.利用(AB代表事件A、B同時(shí)發(fā)生)例1：從3本物理書，2本數(shù)學(xué)書，4本語(yǔ)文書抽出三本，求在先抽出一本物理書的同時(shí)再抽出一本數(shù)學(xué)書的概率為例2：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45例2：（2023年全國(guó)2）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0.3000.100.05（=1\*ROMANI）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（=2\*ROMANII）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；（=3\*ROMANIII）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.⑦隨機(jī)變量與分布列、數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量：找出一個(gè)隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)所有的可能，用數(shù)值表示這些可能（隨機(jī)事件可能包含了一個(gè)或幾個(gè)隨機(jī)變量的取值）分布列：列出隨機(jī)變量的所有可能取值與對(duì)應(yīng)概率的表格所有概率取值一定為1數(shù)學(xué)期望：是隨機(jī)變量的所有取值的加權(quán)平均值（）數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量的一種預(yù)測(cè)平均值，不同于統(tǒng)計(jì)學(xué)的平均數(shù)，統(tǒng)計(jì)學(xué)中的平均數(shù)是一系列確定的、已經(jīng)發(fā)生的數(shù)據(jù)的平均值例：某游戲的得分為，隨機(jī)變量表示小白玩該游戲的得分.若，則小白得分的概率至少為.若變量X、Y存在線性關(guān)系，即，則常見(jiàn)的隨機(jī)變量分布：二項(xiàng)分布：1.在一系列發(fā)生的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相同，以n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)作為隨機(jī)變量2.記作隨機(jī)變量(可以看作隨機(jī)變量的分布列，不需要額外再寫分布列的表格形式)3.，例1：（2023年廣東卷）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則．②（2023年全國(guó)新課標(biāo)卷）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（）（A）100（B）200（C）300（D）400例2：投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（） (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312例3：①（2023年天津卷）現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的分布列與期望；（Ⅲ）用，分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.②（2023年四川卷）某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。③根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立.(Ⅰ)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；(Ⅱ)表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求的期望.跟二項(xiàng)分布的變式題型考察的比較多：例1：一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分（即獲得分）。設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立。（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了。請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因。例2：乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換。每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分。設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立。甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球。（Ⅰ）求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；（Ⅱ）表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求的期望。例3：（2023年湖南）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為．現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品．設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．（1）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元．求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望幾何分布：1.在一些列發(fā)生的獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相同，以事件A第一次發(fā)生需要的實(shí)驗(yàn)數(shù)作為隨機(jī)變量2.因?yàn)閹缀畏植嫉碾S機(jī)變量取值可以無(wú)窮大，因此嚴(yán)格意義上的幾何分布很少考察到，一般規(guī)定在達(dá)到一定實(shí)驗(yàn)次數(shù)后結(jié)束，因此需要格外注意最后停止時(shí)概率的計(jì)算例1：馬福良進(jìn)入靶場(chǎng)進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知他擊中靶的概率為0.6，擊中靶游戲立即結(jié)束，最多只有五發(fā)子彈，求馬福良需要擊發(fā)子彈數(shù)的分布列與期望例2：(2023年安徽卷)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）例3：甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.1.求甲獲勝的概率；2.求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望.注意一種和幾何分布相似，但每一次實(shí)驗(yàn)（每一步）發(fā)生的概率不相同的題目例4：某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.超幾何分布：從分別含有個(gè)元素的n內(nèi)事物中共選出N個(gè)元素，以其中某類事物中選出的元素個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量一般來(lái)說(shuō)是從兩類事物中選擇例（2023年廣東卷）袋中共有個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有個(gè)白球，個(gè)紅球．從袋中任取個(gè)球，所取的個(gè)球中恰有個(gè)白球，個(gè)紅球的概率為（）A．B．C．D．（2023年江蘇卷）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_______.例2（2023年重慶卷）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)．（Ⅰ）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；（Ⅱ）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．例3：（2023年廣東卷）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],(1)求圖中x的值;(2)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望．正態(tài)分布：目前我們最常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量分布記作：1.密度函數(shù)：2.密度函數(shù)位于x軸上方，分布在某一區(qū)間隨機(jī)變量的概率即積分所得的面積3.圖形關(guān)于x=u對(duì)稱4.圖形最高點(diǎn)在x=u處取得，為，標(biāo)準(zhǔn)差越大，最高點(diǎn)越低，分布越廣（矮胖）標(biāo)準(zhǔn)差越小，最高點(diǎn)越高，分布越集中（高瘦）5.法則：對(duì)于隨機(jī)變量例1：已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.6例2.設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，D．對(duì)任意正數(shù)，例3：（2023年安徽卷）設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示。則有（）A．B．C．D．例4.①（2023年山東卷）已知某批