2020高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1.2 圓的一般方程學(xué)案（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4.1.2圓的一般方程知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.準(zhǔn)確把握?qǐng)A的一般方程的結(jié)構(gòu)形式,理解各個(gè)字母的意義；把握?qǐng)A的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化；體會(huì)待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟．2．明確求動(dòng)點(diǎn)的軌跡及軌跡方程的步驟，弄清楚軌跡與軌跡方程的區(qū)別．高考導(dǎo)航1.圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)的確定或與直線方程的綜合是考查的熱點(diǎn),多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值5分．2．考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡（方程)，各種題型均有可能出現(xiàn)，分值4～6分.知識(shí)點(diǎn)一圓的一般方程1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,當(dāng)D2＋E2－4F〉0時(shí),該方程叫作圓的一般方程．2．圓的一般方程下的圓心和半徑:圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F〉0)表示的圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(D，2），－\f(E,2)）)，半徑長(zhǎng)為eq\f(\r（D2＋E2－4F），2).知識(shí)點(diǎn)二求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，就是根據(jù)題意建立動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)所滿足的關(guān)系式，并把這個(gè)方程化成最簡(jiǎn)形式，如果題目中沒有坐標(biāo)系，那么就要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系．求軌跡方程的一般步驟為：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式,其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長(zhǎng)需要代數(shù)運(yùn)算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點(diǎn)：（1）x2，y2項(xiàng)的系數(shù)均為1；(2）沒有xy項(xiàng)；(3）D2＋E2－4F>0。[小試身手]1．判斷下列命題是否正確．（正確的打“√"，錯(cuò)誤的打“×”）（1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圓．()（2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓．()答案：(1)×(2）√2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是（)A．(2，3）B．（－2,3）C．(－2,－3)D．（2，－3)解析：D＝－4，E＝6，則圓心坐標(biāo)為(2，－3）．答案：D3．已知三點(diǎn)A（1,0)，B（0，eq\r（3）)，C(2,eq\r（3))，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(）A.eq\f(5，3）B.eq\f（\r(21),3)C.eq\f(2\r(5），3）D。eq\f(4,3）解析：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0,，7＋2D＋\r（3)E＋F＝0,））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝－2，，E＝－\f(4\r（3），3)，,F＝1。)）∴△ABC外接圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r（3）,3）)），故△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2\r（3)，3)))2)＝eq\f（\r（21)，3）。答案：B4．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圓，則a的取值范圍是________________．解析：由題意得2a2－4a>0，∴a2－2a>0，∴a<0或a>2.答案:（－∞,0）∪（2,＋∞）類型一圓的一般方程的概念辨析例1下列方程能否表示圓?若能表示圓,求出圓心和半徑．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；（2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3）x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4）2x2＋2y2－4x＝0?！窘馕觥慷畏匠讨挥心苻D(zhuǎn)化為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0且D2＋E2－4F>0才表示圓．（1）因?yàn)閤2與y2項(xiàng)的系數(shù)不相等，所以不能表示圓．(2)因?yàn)榉匠讨泻衳y項(xiàng)，所以不能表示圓．（3)因?yàn)椋ǎ?)2＋（－4）2－4×10〈0，所以不能表示圓．（4）2x2＋2y2－4x＝0可化為(x－1）2＋y2＝1,故方程表示以點(diǎn)(1,0）為圓心,1為半徑的圓.判斷二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0能否表示圓可按如下步驟進(jìn)行:①判斷A，C是否相等且不等于0，B是否等于0;②若滿足A＝C≠0,B＝0，則判斷D2＋E2－4F是否大于0，或?qū)⒎匠套蠖伺浞?，然后與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比，作出判斷．方法歸納形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法：①由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F>0，成立則表示圓，否則不表示圓；②將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解．跟蹤訓(xùn)練1下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑．(1)x2＋y2＋x＋1＝0;（2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0（a≠0)；（3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解析：（1）∵D＝1，E＝0，F(xiàn)＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，∴方程(1）不表示任何圖形．（2)∵D＝2a，E＝0,F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示點(diǎn)(－a,0)．(3)兩邊同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a,E＝－a，F(xiàn)＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2〉0，∴該方程表示圓，它的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(a,2),\f（a，2)))，半徑r＝eq\f(1,2）eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(\r(2)，2)|a｜.判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時(shí)，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時(shí),再看它能否表示圓．此時(shí)有兩種途徑:一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形，看方程等號(hào)右端是不是大于零的常數(shù)．類型二待定系數(shù)法求圓的方程例2已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－1,5），B（－2，－2)，C（5，5），求其外接圓P的方程．【解析】方法一設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0），由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－D＋5E＋F＋26＝0，，－2D－2E＋F＋8＝0，，5D＋5E＋F＋50＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（D＝－4，,E＝－2，,F＝－20。))故所求外接圓P的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0。方法二由題意可得弦AC的中垂線方程為x＝2，BC的中垂線方程為x＋y－3＝0,由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，，x＋y－3＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1。）)所以圓心P的坐標(biāo)為(2，1）．外接圓的半徑長(zhǎng)r＝|AP|＝eq\r（2＋12＋1－52）＝5，故所求外接圓P的方程為（x－2）2＋(y－1)2＝25。方法一是待定系數(shù)法，應(yīng)用起來很方便，計(jì)算略微復(fù)雜,方法二是根據(jù)圓的幾何性質(zhì)解題,需要細(xì)心分析，技巧性較強(qiáng)．求圓的方程時(shí)常用的幾何性質(zhì)有：①圓的弦的垂直平分線過圓心;②圓的半徑r，半弦長(zhǎng)h,弦心距d滿足r2＝h2＋d2。方法歸納待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟如下：跟蹤訓(xùn)練2求過三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1），M2（4，2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)．解析：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵所求圓過點(diǎn)O（0,0），M1（1，1）,M2(4，2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（F＝0，,D＋E＋F＋2＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，，E＝6，,F＝0。))∴所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0,∴－eq\f（D，2)＝4,－eq\f（E，2)＝－3,圓心為(4,－3)，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F）＝5.設(shè)出外接圓的一般方程，分別把A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解出D，E，F(xiàn)即可得所求方程；或根據(jù)幾何性質(zhì)求出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，即可得圓的方程．類型三軌跡問題例3已知A(2,0)為圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;（2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y）．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x－1）2＋y2＝1，故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x－1）2＋y2＝1。（2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN｜,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，OP，BN,則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON｜2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN｜2,所以x2＋y2＋(x－1)2＋（y－1)2＝4。整理得x2＋y2－x－y－1＝0,故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0。求點(diǎn)的軌跡方程就先設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用已知條件代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式進(jìn)行求解．方法歸納1．一般地，求軌跡方程就是求等式,就是找等量關(guān)系，把等量關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來，再進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，就會(huì)得到相應(yīng)的軌跡方程,所以找等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．求曲線的軌跡方程要注意的三點(diǎn)（1)根據(jù)題目條件，選用適當(dāng)?shù)那筌壽E方程的方法．(2）看準(zhǔn)是求軌跡，還是求軌跡方程，軌跡是軌跡方程所表示的曲線（圖形)．(3）檢查軌跡上是否有應(yīng)去掉的點(diǎn)或漏掉的點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經(jīng)過點(diǎn)A（1，2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡．解析:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y）．當(dāng)AP垂直于x軸或點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（1，0），(1,2），符合題意，此時(shí)x＝1；當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)，或AP垂直于y軸時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0)或（0,2）時(shí)，也符合題意，此時(shí)x＝0；當(dāng)x≠0，且x≠1時(shí)，根據(jù)題意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，∵kAP＝eq\f(y－2，x－1)，kOP＝eq\f(y,x),∴eq\f(y－2，x－1)·eq\f(y,x）＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0（x≠0，且x≠1)．經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1,0），(1,2），（0,0),（0,2）也適合上式．綜上所述，點(diǎn)P的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，1）)為圓心，eq\f(\r（5),2）為半徑長(zhǎng)的圓.畫出圖形,結(jié)合圓的弦的中點(diǎn)的性質(zhì)，由AP⊥OP建立關(guān)系求解．解題時(shí)，注意對(duì)點(diǎn)P的特殊位置的討論．4.1。2［基礎(chǔ)鞏固］(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．(－∞，5)B.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（5，4）））C。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，\f（3,2)）)D。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)，＋∞)）解析:由(－2）2＋12－4k>0，得k<eq\f（5，4).答案：B2．經(jīng)過圓x2＋2x＋y2＝0的圓心C,且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是（）A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：x2＋2x＋y2＝0可化為(x＋1)2＋y2＝1，∴圓心為C（－1，0）．又所求直線與直線x＋y＝0垂直，∴所求直線的斜率為1，故所求直線的方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0。答案：A3．方程（x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是（）A．兩個(gè)點(diǎn)B．四個(gè)點(diǎn)C．兩條直線D．四條直線解析：方程(x2－4）2＋(y2－4）2＝0，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－4＝0，，y2－4＝0，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝4，,y2＝4，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,，y＝2))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝－2)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2，，y＝－2。)）所以方程（x2－4）2＋（y2－4）2＝0表示的圖形是（2,2)，（－2，2)，(2，－2），（－2，－2）四個(gè)點(diǎn)．答案:B4．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為(）A．8B．－4C．6D．無(wú)法確定解析:圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則直線x－y＋3＝0過圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(m，2)，0）），即－eq\f(m，2）＋3＝0，∴m＝6.答案:C5．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為eq\f(\r(2)，2)，則a的值為()A．－2或2B.eq\f(1，2)或eq\f（3，2）C．2或0D．－2或0解析：配方得(x－1)2＋（y－2）2＝5，圓心為(1，2)，圓心到直線的距離d＝eq\f（｜1－2＋a｜，\r（2)）＝eq\f(\r（2)，2)，所以a＝2或0，故選C.答案:C二、填空題(每小題5分，共15分)6．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），(1，1），(2，0）的圓的方程為________________．解析:本題主要考查圓的方程．易知以(0，0)，（1,1)，（2,0)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,其外接圓的圓心為(1,0),半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝17．若l是經(jīng)過點(diǎn)P（－1，0)和圓x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圓心的直線，則l在y軸上的截距是________．解析:圓心C（－2,1），則直線l的斜率k＝eq\f(1－0，－2＋1)＝－1，所以直線l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1,所以l在y軸上的截距是－1。答案：－18．過圓x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圓心，且平行于直線x＋2y＋11＝0的直線的方程是________________________．解析：由題意知圓心為（3，－2）,設(shè)所求直線的方程為x＋2y＋m＝0（m≠11），將圓心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直線的方程為x＋2y＋1＝0。答案:x＋2y＋1＝0三、解答題（每小題10分，共20分)9．求經(jīng)過點(diǎn)A（6，5），B（0，1），且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上的圓的方程．解析：設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則其圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2），－\f（E，2）)），依題意有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（62＋52＋6D＋5E＋F＝0，,02＋12＋0×D＋1×E＋F＝0，，3·\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（D，2）））＋10·\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E，2)）)＋9＝0，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（6D＋5E＋F＝－61,,E＋F＝－1，,3D＋10E＝18,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝－14，，E＝6，，F(xiàn)＝－7。))因此圓的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0。10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：（1）實(shí)數(shù)m的取值范圍;（2)圓心坐標(biāo)和半徑．解析：（1）據(jù)題意知D2＋E2－4F＝(2m）2＋(－2)2－4(m2＋5m）>0,即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq\f（1，5),故m的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1，5)））.（2）將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圓心坐標(biāo)為(－m，1）,半徑r＝eq\r(1－5m).[能力提升］(20分鐘，40分）11．[2019·北京市綜合能力測(cè)試］已知圓C：（x－a)2＋(y－b）2＝1過點(diǎn)A（1,0），則圓C的圓心的軌跡是（)A．點(diǎn)B．直線C．線段D．圓解析:∵圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝1過點(diǎn)A（1，0），∴(1－a）2＋(0－b）2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，∴圓C的圓心的軌跡是以（1,0)為圓心，1為半徑長(zhǎng)的圓．答案:D12．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，該圓的方程為____________．解析:將圓的方程配方，得eq\b\lc\(\