2020高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1.1 任意角的三角函數(shù)（一）學(xué)案（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.1任意角的三角函數(shù)考試標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)要點(diǎn)學(xué)考要求高考要求三角函數(shù)定義bb三角函數(shù)值符號bb誘導(dǎo)公式(一)bb三角函數(shù)線aa知識導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1。以銳角三角函數(shù)的定義來推廣記憶任意角的三角函數(shù)的定義．2．根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義中橫、縱坐標(biāo)的取值范圍確定函數(shù)的定義域．3．熟練掌握定義是解決概念類問題的關(guān)鍵,明確有向線段OM、MP、AT為角α的余弦線、正弦線、正切線．4．體會“數(shù)與形”的結(jié)合，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為有向線段．第1課時任意角的三角函數(shù)(一)1。任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y)定義正弦y叫做α的正弦，記作sinα,即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f（y，x）叫做α的正切，記作tanα,即tanα＝eq\f（y,x)(x≠0）三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。eq\x（狀元隨筆）三角函數(shù)的定義（1)三角函數(shù)是一個函數(shù),符合函數(shù)的定義，是由角的集合(弧度數(shù))到一個比值的集合的函數(shù)．（2)三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)是一個比值,因此分母不能為零，所以正切函數(shù)的定義域就是使分母不為零的角的集合．2．正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα｛α∈R｜α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}3。三角函數(shù)值在各象限的符號eq\x（狀元隨筆）對三角函數(shù)值符號的理解三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)符號導(dǎo)出的．從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r總是正值．根據(jù)三角函數(shù)定義知：（1)正弦值符號取決于縱坐標(biāo)y的符號；（2）余弦值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號;（3)正切值的符號是由x，y符號共同決定的,即x，y同號為正，異號為負(fù)．4．誘導(dǎo)公式一(1）語言表示:終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等．（2）式子表示eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(sinα＋k·2π＝sinα,，cosα＋k·2π＝cosα,,tanα＋k·2π＝tanα，))其中k∈Z.eq\x（狀元隨筆）誘導(dǎo)公式一（1)實(shí)質(zhì):是說終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次．(2）結(jié)構(gòu)特征：左、右為同一三角函數(shù)；公式左邊的角為α＋k·2π,右邊的角為α.（3)作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°）角的三角函數(shù)值．體現(xiàn)了“大化小”“負(fù)化正”的數(shù)學(xué)思想．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確。（正確的打“√"，錯誤的打“×”)（1)如圖所示,sinα＝y(tǒng)。(）（2）第三象限角的正弦、余弦、正切都是負(fù)值．（）(3)終邊相同的角不一定相等，其三角函數(shù)值一定相等．(）答案：(1)×(2)×（3)×2．有下列命題，其中正確的個數(shù)是（)①終邊相同的角的三角函數(shù)值相同；②同名三角函數(shù)值相同，角不一定相同；③終邊不相同,它們的同名三角函數(shù)值一定不相同;④不相等的角，同名三角函數(shù)值也不相同．A．0個B．1個C．2個D．3個解析：終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相同；同名三角函數(shù)值相同，角不一定相同；終邊不相同，它們的同名三角函數(shù)值也可能相同;不相等的角，同名三角函數(shù)值可能相同．故只有②正確．答案：B3．若角α的終邊上有一點(diǎn)（0，－1），則tanα的值是()A．－1B．0C．1D．不存在解析：因?yàn)榻铅恋慕K邊上有一點(diǎn)（0，－1），所以角的終邊落在y軸的非正半軸上，其正切值不存在．答案：D4．sin750°＝________.解析:sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)。答案：eq\f（1，2)類型一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1（1）若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（5,－12），則sinα＝________,cosα＝________，tanα＝________；（2)已知角α的終邊落在直線eq\r(3)x＋y＝0上,求sinα，cosα,tanα的值．【解析】(1)∵x＝5，y＝－12,∴r＝eq\r（52＋－122）＝13,則sinα＝eq\f(y,r）＝－eq\f（12，13)，cosα＝eq\f（x,r)＝eq\f（5，13），tanα＝eq\f（y，x）＝－eq\f（12,5)。(2）直線eq\r(3）x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，經(jīng)過第二、四象限,在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，eq\r（3）），則r＝eq\r（－12＋\r（3)2）＝2，所以sinα＝eq\f（\r（3),2)，cosα＝－eq\f(1，2)，tanα＝－eq\r(3）;在第四象限取直線上的點(diǎn)（1，－eq\r（3))，則r＝eq\r(12＋－\r(3）2)＝2,所以sinα＝－eq\f(\r（3）,2),cosα＝eq\f（1,2)，tanα＝－eq\r（3)?！敬鸢浮浚?)－eq\f(12，13)eq\f（5，13)－eq\f(12，5）(2）見解析eq\x(狀元隨筆)(1）若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)（x≠0）不是單位圓上的點(diǎn),則先求r＝eq\r(x2＋y2)（r表示點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離），sinα＝eq\f(y,r）,cosα＝eq\f（x,r)，tanα＝eq\f(y，x）.(2)在α的終邊上任取一點(diǎn),再利用三角函數(shù)的定義求解．方法歸納已知α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法(1）先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．(2）在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y）,P到原點(diǎn)的距離為r（r〉0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f（x，r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時,用這幾個公式更方便．（3）當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．跟蹤訓(xùn)練1（1）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4，3），則cosα＝(）A。eq\f(4,5)B。eq\f（3,5)C．－eq\f（3，5）D．－eq\f（4，5)(2)已知角α的終邊過點(diǎn)P(12，a）且tanα＝eq\f(5,12)，求sinα＋cosα的值．解析：(1)∵r＝eq\r(－42＋32）＝5，∴cosα＝－eq\f(4，5），故選D.(2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，tanα＝eq\f(a，12）＝eq\f（5，12）,∴a＝5,∴P(12，5)．此時r＝13，∴sinα＝eq\f(5，13），cosα＝eq\f(12,13)，從而sinα＋cosα＝eq\f(17，13）.答案：(1）D（2)eq\f(17,13）先求r。再利用三角函數(shù)定義求解．類型二三角函數(shù)在各象限的符號例2若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號,從而α是第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα）〈0可知cosα，tanα異號，從而α是第三或第四象限角．綜上可知，α是第三象限角．【答案】C分別由sinαtanα〈0和eq\f(cosα，tanα）〈0確定角α是第幾象限角→二者的公共部分即所求方法歸納判斷三角函數(shù)值正負(fù)的兩個步驟(1）定象限：確定角α所在的象限．(2)定符號：利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律,即“一全正,二正弦,三正切，四余弦"來判斷．注意：若sinα>0，則α的終邊不一定落在第一象限或第二象限內(nèi),有可能終邊落在y軸的非負(fù)半軸上。跟蹤訓(xùn)練2判斷下列各式的符號：（1)sin145°cos(－210°）；（2）sin3·cos4·tan5.解析：（1）∵145°角是第二象限角，∴sin145°〉0?！撸?10°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，∴cos（－210°）〈0，∴sin145°cos（－210°)<0.（2）∵eq\f(π，2)〈3<π〈4〈eq\f（3π,2）〈5<2π,∴sin3>0，cos4〈0,tan5〈0，∴sin3·cos4·tan5〉0。eq\x(確定角的終邊所在的象限)→eq\x（分別判斷三角函數(shù)值符號)→eq\x(得出式子的符號）類型三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例3計算下列各式的值:（1)sin（－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；（2)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(11π，6)）)＋coseq\f(12π，5）·tan4π.【解析】(1）原式＝sin（－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°）＋cos(－3×360°＋60°)sin（2×360°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f（\r(2),2）×eq\f（\r（3），2）＋eq\f（1,2）×eq\f（1，2）＝eq\f（\r(6)，4)＋eq\f(1,4）＝eq\f（1＋\r(6),4)。（2)原式＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－2π＋\f(π，6）)）＋coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2π＋\f(2π，5）)）·tan(4π＋0）＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π，5）×0＝eq\f(1,2）.eq\x（狀元隨筆）(1）含有三角函數(shù)值的代數(shù)式的化簡，要先利用誘導(dǎo)公式一把角的范圍轉(zhuǎn)化到0~2π范圍內(nèi)，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．（2)準(zhǔn)確記憶特殊角的三角函數(shù)值是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，此類問題易出現(xiàn)的錯誤就是對特殊角的三角函數(shù)值記憶不準(zhǔn)確導(dǎo)致計算錯誤.方法歸納利用誘導(dǎo)公式一求值應(yīng)注意：利用誘導(dǎo)公式一可把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0~2π內(nèi)的角的三角函數(shù)，也可把大于2π的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0～2π內(nèi)的角的三角函數(shù),即實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正,大化小"，要注意記憶特殊角的三角函數(shù)值．跟蹤訓(xùn)練3求下列各式的值：（1）sineq\f(25π,3）＋taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（15π,4)))；（2)sin810°＋cos360°－tan1125°。解析:（1)sineq\f（25π,3)＋taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(15π，4))）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（8π＋\f（π，3))）＋taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－4π＋\f(π，4））)＝sineq\f（π，3）＋taneq\f（π,4)＝eq\f（\r(3），2)＋1。(2）sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin（2×360°＋90°）＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1。應(yīng)用誘導(dǎo)公式一時，先將角轉(zhuǎn)化到0～2π范圍內(nèi)的角，再求值。對于特殊角的三角函數(shù)值一定要熟記．1.2。1。1[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題（每小題5分，共25分）1．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5)，\f（4，5）))，則tanα的值為（）A．－eq\f（4，3)B．－eq\f(3，4）C．－eq\f(4,5)D．－eq\f(3,5)解析:由正切函數(shù)的定義可得，tanα＝eq\f（\f（4，5）,－\f（3，5)）＝－eq\f(4,3).答案:A2．sin(－140°)cos740°的值（)A．大于0B．小于0C．等于0D．不確定解析:因?yàn)椋?40°為第三象限角，故sin（－140°）<0.因?yàn)?40°＝2×360°＋20°，所以740°為第一象限角，故cos740°〉0，所以sin（－140°）cos740°〈0。故選B.答案：B3．若cosα＝－eq\f(\r(3),2),且角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x,2）,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是(）A．2eq\r(3)B．±2eq\r（3）C．－2eq\r(2)D．－2eq\r（3)解析：r＝eq\r(x2＋22),由題意得eq\f(x,\r（x2＋22））＝－eq\f（\r（3)，2)，∴x＝－2eq\r（3)。故選D.答案：D4．若sinθcosθ〈0,則角θ是(）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角解析:設(shè)角θ終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y），該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為r（r〉0）,則sinθcosθ＝eq\f（y,r）·eq\f（x,r)<0，即xy<0,所以角θ終邊上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)異號,故角θ是第二或第四象限角．答案：D5．設(shè)a〈0,角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3a,4a）,則sinα＋2cosα＝()A.eq\f（2，5）B．－eq\f（2,5）C.eq\f(1,5)D．－eq\f(1，5）解析：∵a〈0,角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3a,4a），∴點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離r＝－5a，sinα＝－eq\f(4，5），cosα＝eq\f(3,5)，∴sinα＋2cosα＝eq\f(2，5).選A。答案：A二、填空題（每小題5分,共15分)6．sin（－1380°）＝________。解析：sin(－1380°)＝sin[60°＋（－4)×360°]＝sin60°＝eq\f（\r(3）,2)。答案：eq\f（\r（3），2)7．當(dāng)α為第二象限角時，eq\f(|sinα|，sinα）－eq\f(cosα,|cosα｜)的值是________．解析：∵α為第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴eq\f（|sinα｜，sinα）－eq\f(cosα，|cosα｜)＝eq\f(sinα，sinα)－eq\f（cosα,－cosα)＝2。答案：28．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4t)，且sin（2kπ＋α)＝－eq\f（3,5)（k∈Z），則t＝________.解析：sin（2kπ＋α)＝sinα＝－eq\f（3,5)〈0，則α的終邊在第三或第四象限．又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是正數(shù),所以α是第四象限角，所以t〈0，又sinα＝eq\f（4t，\r（9＋16t2))，所以eq\f(4t,\r（9＋16t2))＝－eq\f(3，5），所以t＝－eq\f（9,16）.答案：－eq\f(9,16)三、解答題(每小題10分,共20分）9．已知角α的終邊為射線y＝－eq\f（3，4)x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝－\f(3，4）x，,x2＋y2＝1,）)得x2＋eq\f(9，16)x2＝1,即25x2＝16，即x＝eq\f(4,5）或x＝－eq\f(4,5）?！選≥0，∴x＝eq\f(4,5),從而y＝－eq\f（3，5）.∴角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（eq\f(4，5)，－eq\f(3，5))．∴sinα＝y(tǒng)＝－eq\f(3，5),cosα＝x＝eq\f(4，5），tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f（3，4）。10．判斷下列各式的符號：（1)sin105°·cos230°；(2）cos3·taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2π，3））).解析:(1）因?yàn)?05°，230°分別為第二、第三象限角，所以sin105°〉0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°〈0.(2)因?yàn)閑q\f（π,2）<3<π,所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因?yàn)椋璭q\f(2π，3)是第三象限角，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(2π，3））)〉0，所以cos3·taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(2π，3))）<0.［能力提升］（20分鐘,40分)11．若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是（)A．第一象限角B．第四象限角C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角解析：方法一由題意知k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，則k·180°＜eq\f（α,2)＜k·180°＋45°，所以－k·180°－45°＜－eq\f(α,2)＜－k·180°，k∈Z。當(dāng)k為偶數(shù)時,－eq\f(α，2）為第四象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時,－eq\f(α,2)為第二象限角．方法二由幾何法易知eq\f（α，2)為第一象限角或第三象限角，根據(jù)－eq\f（α,2）與eq\f（α,2)的終邊關(guān)于x軸對稱，知－eq\f(α,2）為第四象限角或第二象限角．答案：D12．若角α的終邊與直線y＝3x重合且sinα〈0，又P(m，n）是α終邊上一點(diǎn)，且｜OP|＝eq\r(10），則m－n＝________。解析：∵y＝3x，sinα〈0，∴點(diǎn)P(m，n）位于y＝3x在第三象限的圖象上，且m<0，n<0，n＝3m?！鄚OP|＝eq\r(m2＋n2）＝eq\r（10）｜m|＝－eq\r（10）m＝eq\r(10）?！鄊＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.答案：213．計算：(1）sin390°＋cos(－660°）＋3tan405°－cos54