精華版近世代數期末考試試卷及答案

TeeTee庫項目計劃書頁腳內容頁腳內容PAGE5[精華版]近世代數期末考試試卷及答案一、單項選擇題(5315分)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、設G有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集()是子群。33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aACD2、下面的代數系統(tǒng)(G，*)中，A、G為整數集合，*為B、G為偶數集合，*為加法C、G為有理數集合，*為加法D、G為有理數集合，*為乘法3N上，下列哪種運算是可結合的、a*b=a-b,,,B、a*b=max{a,b}Ca*b=a+2bD、a*b=|a-b|,,,,,,3322114、設、、是三個置換，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，=,3(1324)，則=()22,,,,,,122121ACD52個或以上元的半群，它A、不可能是群,,,B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二、填空題(10330分)不填均無分。1、凱萊定理說:任一個子群都同一個同構。2、一個有單位元的無零因子 稱為整環(huán)。4Gaa3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于 。4、a的階若是一個有限整數n，那么G與 同構。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A?B=。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為 。,,a,a,？,a01n,FF7、叫做域的一個代數元，如果存在的 使得na，a，,？，a,,001n。x,A8、是代數系統(tǒng)的元素，對任何均成立，則稱為 。ax,a,xa(A,0)GG9、有限群的另一定義:一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉;結合成立、 。10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是 。三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)1、設集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。,,,2、設E是所有偶數做成的集合，“”是數的乘法，則“”是E中的運算，(E，)是一,個代數系統(tǒng)，問(E，)是不是群，為什么,3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、若<G，*>是群，則對于任意的a、b?G，必有惟一的x?G使得a*x,b。2、設m是一個正整數，利用m定義整數集Z上的二元關系:a?b當且僅當m,a–b。(5315分)個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是A、2階,,,B、3C、4D62G是群，G有個GA、4、5C、6、73、有限布爾代數的元素的個數一定等于AC、4D、24、下列哪個偏序集構成有界格A、(N,)B、(Z,),,,C、({2,3,4,6,12},|(整除關系))D、(P(A),)5、設S3,{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有()A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123D、S3中的所有元素二、填空題(10330分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是的，每個元素的逆元素是 的。,1f，，f,,fa,aAAA2、如果是與間的一一映射，是的一個元，則 。3、區(qū)間[1，2]上的運算的單位元是 。a,b,{mina,b}4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環(huán)Z的零因子有。86、一個子群H的右、左陪集的個數。7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的。8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數稱為R的 。nGa,eammn9、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為 。三、解答題(31030分125鏈，問可做出多少種不同的項鏈,2、S，S是A的子環(huán)，則S?S也是子環(huán)。S+S也是子環(huán)嗎,121212,,(234)(456),S,,(1345)(1245)63、設有置換，。,1,,,,1(求和;,1,,,,2(確定置換和的奇偶性。四、證明題(211021525分1R只有兩個理想就是零理想和單位理想。-122、Mb=aaba=aaba=e。1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。,,，，，，，，，，，，，，1,,1,1,0,1,12,,1,2,0,2,11、;2、單位元;3;4、整數環(huán);5、變換群;6、同構;7、零、-a8、S=IS=R9、域三、解答題(31030分),,1、解:把和寫成不相雜輪換的乘積:,,(1653)(247)(8),,(123)(48)(57)(6),,,,可知為奇置換，為偶置換。和可以寫成如下對換的乘積:,,(13)(15)(16)(24)(27),,(13)(12)(48)(57)11,,B,(A，A)C,(A,A)222、解:設A是任意方陣，令，，則B是對稱矩陣，A,B，CBCA,B，C1111而C是反對稱矩陣，且。若令有，這里和分別為對稱B,B,C,C11矩陣和反對稱矩陣，則，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱B,BC,C11矩陣，于是兩邊必須都等于0，即:，，所以，表示法唯一。M，Mmmm3、答:(，)不是群，因為中有兩個不同的單位元素0和m。四、證明題(211021525分2,1,1,1(xy),exy,(xy),yx,yx1Gx，y，由于，所以(對每2,1x,ex,x個x，從可得)。2、證明在F里a,1,1ab,ba,(a,b,R,b,0)b,a,,Q,所有(a,b,R,b,0),,b,,有意義，作F的子集,Q顯然是R的一個商域證畢。(5315分)1C;2、D;3、B;4、B;5、A;二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群;2、交換環(huán);3、25;4n乘余類加群;5、{2};6、一一映射;7、不都等于零的元;8、右單位元;9、消去律成立;10、交換環(huán);三、解答題(31030分1、解:H3個右陪集為:{I,(12)}，{(123，(13)}，{(132)，(23H的3個左陪集為:{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)},,2、答:(E，)不是群，因為(E，)中無單位元。3、解方法一、輾轉相除法。列以下算式:a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1e是群<G，*>x,a,1*ba*x,a*(a,1*b),(a*a,1)*b,e*b,b。所以，x,a,1*b是a*x,bxGa*x,bx,e*x,(a,1*a)*x,a,1*(a*x),a,1*b,x。所以，x,a,1*ba*x,b的惟一解。Z2、容易證明這樣的關系是Z上的一個等價關系，把這樣定義的等價類集合記aZma所在的等價類記為[a]=,x?Z;m,x–a,m剩余類。若m,a–ba?b(m)m=2時，Z22個元:[0]與[1]。(5315分)在每小未選均無分。1、C;2、C;3、D;4、D;5、A;Tee庫項目計劃書頁腳內容頁腳內容PAGE6二、填空題(10330分)不填均無分。a1、唯一、唯一;2、;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;mn9、;三、解答題(31030分1能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算:11種，三白二黑2種，?等等，可得總共8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b?S1?S2有a-b,ab?S1?S2:因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab?S1和a-b,ab?S2，因而a-b,ab?S1?S2，所以S1?S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例:,1,,,(1243)(56),,,(16524)3、解:1(，;2(兩個都是偶置換。四、證明題(本大題共2