第一節(jié) 不定積分的概念及其線(xiàn)性性質(zhì)

第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分的概念和性質(zhì)第二節(jié)不定積分的換元積分法第三節(jié)不定積分的分部積分法第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分第五節(jié)定積分第六節(jié)微積分基本定理第七節(jié)定積分的換元法與分部積分法第九節(jié)定積分的物理應(yīng)用第八節(jié)定積分的幾何應(yīng)用第十節(jié)平均值第十一節(jié)反常積分例定義1：第一節(jié)不定積分的概念及其性質(zhì)一、原函數(shù)和不定積分的概念原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則對(duì)于任意常數(shù)C，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量若是在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則例1

求解解例2

求例3

設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線(xiàn)方程.解設(shè)曲線(xiàn)方程為根據(jù)題意知由曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線(xiàn)方程為顯然，求不定積分得到一積分曲線(xiàn)族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表基本積分表(1)是常數(shù));說(shuō)明：例4

求積分解根據(jù)積分公式（2）證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)例5

求積分解解:

原式

例6.

求解:

原式

=例8.

求解:

原式

=例7.

求例9

求積分解解:

原式

=例10.

求例11

求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.解所求曲線(xiàn)方程為1.

不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表

2.

直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)1.

證明2.

若提示:思考與練習(xí)是的原函數(shù),則提示:

已知3.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個(gè)原函數(shù)是().提示:

已知求即B??或由題意其不定積分