人工智能之模糊邏輯系統(tǒng)課件

第五章模糊邏輯與模糊推理12/9/20221第五章12/7/20221主要內容5.1概述5.2模糊集合及其運算5.3模糊關系5.4模糊邏輯與近似推理5.5基于控制規(guī)則庫的模糊推理5.6模糊控制的基本原理12/9/20222主要內容12/7/202225.1概述12/9/202235.1概述12/7/20223模糊的概念

“fuzzy”不同的類別之間不存在精確的分類標準，從而對一事物是否屬于某一類很難做出明確肯定的斷言。例：高低、冷熱、快慢、年輕人、中年人、老年人…12/9/20224模糊的概念“fuzzy”不同的類別之間不存在精確的分類標精確方法的邏輯基礎是傳統(tǒng)的二值邏輯，即非此即彼。把經(jīng)典的二值邏輯用于處理Fuzzy概念和Fuzzy命題時，將會在理論上導致邏輯悖論。模糊概念是亦此亦彼：從0和1－－－→從0至1。公設（1）存在禿頭的人和非禿頭的人。（2）若有n根頭發(fā)的人禿，則有n+1根頭發(fā)的人亦禿。由此會導致：禿頭悖論：所有人都禿。人腦具有Fuzzy思維功能。模糊描述是必要、必然的12/9/20225精確方法的邏輯基礎是傳統(tǒng)的二值邏輯，即非此即彼。模糊概念是亦J.A.Goguen1974說： “描述不確切性并非壞事，相反倒是一件好事，它能用較少的代價傳輸足夠的信息，并能對復雜事物做出高效率的判斷和處理。也就是說，不確定性有助于提高效率?！睈垡蛩固梗骸癝ofarasthelawsofmathematicsrefertoreality,theyarenotcertain,Andsofarastheyareceitain,theydonotrefertoreality.”關于現(xiàn)實的數(shù)學定理是不確定的，而確定的數(shù)學定理并不能描述現(xiàn)實。不相容原理：(L.A.Zadeh1975提出) “當一個系統(tǒng)復雜性增大時，我們使它精確化的能力將減低，在達到一定的閾值時，復雜性和精確性將相互排斥。”12/9/20226J.A.Goguen1974說：12/7/20226模糊性也是一種不確定性，但不同于隨機性，模糊理論不同于概率論。模糊性指對概念的定義以及語言意義的理解上的不確定性，主要是人為的主觀理解上的不確定性。隨機性反映的是客觀上的自然的不確定性，或者是事件發(fā)生的偶然性。模糊性與隨機性12/9/20227模糊性也是一種不確定性，但不同于隨機性，模糊理論不同于概率論模糊集合與模糊數(shù)學的概念模糊集合：一種特別定義的集合，它可用來描述模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學：有關模糊集合、模糊邏輯等的數(shù)學理論12/9/20228模糊集合與模糊數(shù)學的概念模糊集合：一種特別定義的集合，它可用5.2模糊集合及其運算12/9/202295.2模糊集合及其運算12/7/20229表示方法：1)

定義法 ：A={x|x為偶數(shù)，x<10}2)

列舉法 ：A={2,4,6,8}3)

特征函數(shù)法：一、普通集合論域：討論的范圍，U、V、W集合：U上的一部分叫U上的集合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v、w冪集：U的所有子集構成的集合，P(U)12/9/202210表示方法：一、普通集合論域：討論的范圍，U、V、W12/7/二、模糊集合的定義及表示方法、名詞術語定義：設論域為U，稱映射確定U的一個模糊集合。稱為的隸屬函數(shù)。，表示u隸屬于的程度，簡稱隸屬度。論域U指的是所討論的事物的全體。模糊冪集：論域U上的全體模糊子集構成的集合，記為F(U)，12/9/202211二、模糊集合的定義及表示方法、名詞術語定義：設論域為U，稱映設U={x1,x2,x3,x4,x5}，xi表示同學。對于每個同學的“性格開朗”的程度在[0,1]中打分，便得到從U到[0,1]的一個映射=“性格開朗”(x1)=0.85，(x2)=0.75，(x3)=0.98，(x4)=0.30，(x5)=0.60舉例：12/9/202212設U={x1,x2,x3,x4,x5}，xi表示同學。對于每1、論域U為離散有限集{x1,x2,,xn}(xi)=ai扎德表示法：向量表示法：表示方法：12/9/2022131、論域U為離散有限集{x1,x2,,xn}扎德表示法：向2、論域是離散無限域可數(shù)：不可數(shù)：扎德表示法：3、論域是連續(xù)域當U是一個實數(shù)區(qū)間時，可以用普通的實函數(shù)表示扎德表示法：12/9/2022142、論域是離散無限域可數(shù)：不可數(shù)：扎德表示法：3、論域是連續(xù)以年齡為論域，取U=[0,200]，扎德給出了“年老”與“年輕”兩個模糊集的隸屬函數(shù)為：舉例：12/9/202215以年齡為論域，取U=[0,200]，扎德給出了“年老”與“年“核”：Ker={5，6}Ker ≠ 稱為正則模糊集Ker ＝ 稱為非正則模糊集“單點模糊集合”：若臺集僅為一個點，且該點隸屬度為1“臺”：隸屬度大于0的元素的全體，支撐集“”截集：Supp={3,4,5,6,7,8}名詞術語：12/9/202216“核”：Ker={5，6}“單點模糊集合”：若1、相等：三、模糊集合的基本運算2、包含：各元素的隸屬度分別相等12/9/2022171、相等：三、模糊集合的基本運算2、包含：各元素的隸屬度分3、并

∨：取大運算

12/9/2022183、并∨：取大運算12/7/2022184、交∧取小運算12/9/2022194、交∧取小運算12/7/2022195、余12/9/2022205、余12/7/202220和的直積為定義在積空間UV上的模糊集合兩個模糊集合直積的概念可以很容易推廣到多個集合6、笛卡爾直積(Cartesianproduct)12/9/202221和的直積為定義在積空間UV上的模糊集合兩個模糊集交換律結合律分配律吸收律復原律兩極律（同一律）對偶律（D．摩根律）冪等律12/9/202222交換律結合律分配律吸收律復原律兩極律（同一律）對偶律（D．摩五、模糊集合的其它類型運算作為Fuzzy集合基本運算的并、交運算，采用Zadeh算子按點“取大取小”，不僅很好符合人腦通常的Fuzzy思維方式，而且在研究和處理模糊性問題時帶來了很多方便，因此在有關Fuzzy集合論與邏輯的文獻中，大多采用了Zadeh的取大取小運算進行分析。有些學者認為，只取兩個隸屬度中的最大或最小值，忽略了另一個隸屬度的值，是造成信息失落的根源。因此人們提出了不少與∨、∧相對應的算子。改善后的Fuzzy算子盡管在某種意義上更加接近人類思維，然而由于其變化復雜且失去了許多好的運算性質而很少使用。12/9/202223五、模糊集合的其它類型運算作為Fuzzy集合基本運算的并、交1、代數(shù)和2、代數(shù)積3、有界和4、有界差12/9/2022241、代數(shù)和2、代數(shù)積3、有界和4、有界差12/7/202225、有界積6、強制和7、強制積12/9/2022255、有界積6、強制和7、強制積12/7/2022255.3模糊關系與模糊矩陣12/9/2022265.3模糊關系與模糊矩陣12/7/202226n元模糊關系R是定義在直積U1U2Un上的模糊集合模糊關系不是“有”“無”關系，而是多少有點關系。 模糊關系是模糊集合直積集的一個子集一、模糊關系的定義及表示12/9/202227n元模糊關系R是定義在直積U1U2Un上的模糊集合模求U到V滿足b“大約是”a的平方關系：舉例12/9/202228求U到V滿足b“大約是”a的平方關系：舉例12/7U={1,5,7,9,20}序偶中前元比后元“小得多”的關系隸屬度運算用公式舉例12/9/202229U={1,5,7,9,20}序偶中前元比后元“小得多”模糊關系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法來表示。模糊矩陣：將ui，vj作為節(jié)點，在連線上標上值當論域為有限集合時，用矩陣和圖的形式更形象地加以描述模糊圖：12/9/202230模糊關系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法來表示。模糊矩陣設U為家庭中的兒子和女兒，V為家庭成員中的父親和母親，對于“子女與父母長得相似”的模糊關系R表示為：父母子女0.80.30.30.6舉例12/9/202231設U為家庭中的兒子和女兒，V為家庭成員中的父親和母親，對于“二、模糊關系的合成定義：R∈F(UV),S∈F(VW)(R是U到V的一個模糊關系，S是V到W的一個模糊關系，稱U到W的模糊關系T為模糊關系R與模糊關系S的合成。記為T=R?S其中是并的符號，表示對所有v取極大值或上界值，“”是二項積的符號其隸屬函數(shù)該合成稱為最大－星合成(max-starcomposition)其中“?”為模糊矩陣的合成運算。12/9/202232二、模糊關系的合成定義：R∈F(UV),S∈F(VW)二項積算子“”可以定義為以下幾種運算：交最大－最小合成(max-mincomposition)最常用代數(shù)積有界積強制積12/9/202233二項積算子“”可以定義為以下幾種運算：交最大－最小合成(m當論域U、V、W為有限時，模糊關系的合成可用模糊矩陣的合成表示。12/9/202234當論域U、V、W為有限時，模糊關系的合成可用模糊矩陣的合成表已知子女與父母長相相像的關系為：父母與祖父母長相相像的關系：舉例12/9/202235已知子女與父母長相相像的關系為：父母與祖父母求：子女與祖父母相似關系模糊矩陣按最大－最小合成規(guī)則：12/9/202236求：子女與祖父母相似關系模糊矩陣按最大－最小合成規(guī)則：12舉例用U={x1,x2,x3}表示病人集合，V={y1,y2,y3,y4,y5}表示癥狀集合，W={z1,z2,z3}表示病名集合。從U到V的模糊關系為：12/9/202237舉例用U={x1,x2,x3}表示病人集合，V={y1,y2R與S的復合關系為：從V到W的模糊關系為：從癥狀V到病名集合W的模糊關系S是一個醫(yī)學診斷知識庫，它表明了癥狀與病名之間的關系程度。12/9/202238R與S的復合關系為：從V到W的模糊關系為：從癥狀V到病名集合5.4模糊邏輯與近似推理12/9/2022395.4模糊邏輯與近似推理12/7/202239一、模糊命題、語言變量、模糊算子模糊命題：含有模糊謂詞的句子例:“今天很冷”“張三年輕”不能簡單地用“F”、“T”區(qū)別模糊算子：用于加強或減弱語氣的詞“極”，“非常”，“相當”：集中化算子“比較”，“略”，“稍微”：散漫化算子12/9/202240一、模糊命題、語言變量、模糊算子模糊命題：含有模糊謂詞的句子語言變量：語言變量由一個五元體(x,T(x),U,G,M)來表征，其中：x：語言變量名稱，如年齡，速度等U：x的論域T(x)：語言變量值的集合，其中每個語言變量值都是論域U上的模糊集合T(x)=T(速度)={慢，適中，快，很慢，稍快，…}G：語法規(guī)則，用以產(chǎn)生語言變量x的值的名稱M：語義規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊集合的隸屬度函數(shù)Zadeh于1975年給出了如下的語言變量的定義：12/9/202241語言變量：語言變量由一個五元體(x,T(x),U,G,二、模糊蘊含關系2、模糊蘊含積運算(Larsen)3、模糊蘊含算術運算(Zadeh)“如果x是A，則y是B”(AB)表示了A與B之間的模糊蘊含關系1、模糊蘊含最小運算(Mamdani)12/9/202242二、模糊蘊含關系2、模糊蘊含積運算(Larsen)3、模糊蘊4、模糊蘊含的最大－最小運算(Zadeh)5、模糊蘊含的布爾運算6、模糊蘊含的標準運算(1)12/9/2022434、模糊蘊含的最大－最小運算(Zadeh)5、模糊蘊含的布爾7、模糊蘊含的標準運算(2)12/9/2022447、模糊蘊含的標準運算(2)12/7/202244如果論域U和V是離散的，則模糊蘊含關系R可用模糊矩陣來表示。對于離散的模糊集合A和B，可用相應的模糊向量來表示。則模糊蘊含關系矩陣R可以采用如下的方法計算：12/9/202245如果論域U和V是離散的，則模糊蘊含關系R可用模糊矩陣來表示。三、模糊推理簡言之,從巳知條件求未知結果的思維過程就是推理。用傳統(tǒng)的二值邏輯迸行演繹推理和歸納推理時,只要大前提或推理規(guī)則是正確的，小前提是肯定的，那么就一定會得到確定的結論然而,在現(xiàn)實生活中我們獲得的信息往往是不精確的、不完全的;或者事實本身就是模糊而不完全確切的,但又必須利用且只能利用這些信息進行判斷和決策。此時,傳統(tǒng)的形式邏輯和近代的數(shù)理邏輯均無法解決這類問題12/9/202246三、模糊推理簡言之,從巳知條件求未知結果的思維過程就是推理。解決模糊性問題就需要用模糊推理。這種結論不是從前提中嚴格推出來而是近似邏輯地推出結論的方法,通常就稱為假言推理或似然推理。模糊推理是一種以模糊判斷為前提,運用模糊語言規(guī)則,推出一個新的近似的模糊判斷結論的方法。模糊邏輯推理是一種不確定性的推理方法。模糊推理是一種近似推理,提法有兩種形式。12/9/202247解決模糊性問題就需要用模糊推理。這種結論不是從前提中嚴格推出第一種提法(廣義的肯定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“若A則B”,A∈V,B∈V”巳知某個A’，A’∈V，求從蘊含關系能推斷出什么樣的結論B’?例如：已知模糊推理語句：若“A大”,則“B小”,利用似然推理進行推理:如果巳知“A偏大”,問B將如何?模糊取式推理：巳知：模糊蘊含關系A→B的關系矩陣R對于給定的A’，A’∈U，則可推得結論B’，B’∈V，

B’=A’?R

其中“?”表示合成運算，即模糊關系的sup-*運算。12/9/202248第一種提法(廣義的肯定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“第二種提法(廣義的否定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“若A則B”,A∈V,B∈V”已知某一個B’∈V，求從蘊含關系能推出什么樣的結論A’?例如：已知模糊推理語句若“A大”,則“B小”,利用似然推理進行推理:巳知"B不很小"問A又如何?模糊拒式推理：巳知：模糊蘊含關系A→B的關系矩陣R對于給定的B’，B’∈V，則可推得結論A’∈UA’=R?B12/9/202249第二種提法(廣義的否定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“例：已知 若A小則B大,當A=A’=[較小]，問B如何?解：采用(Zadeh)的模糊蘊含關系Rm12/9/202250例：已知 若A小則B大,當A=A’=[較小]，問B如何?解12/9/20225112/7/20225112/9/20225212/7/202252采用最大－最小合成它與[大]相比,顯然是比較大。因此不難發(fā)現(xiàn),由模糊推理所得到的結論是與人們的思想相吻合的。這樣的模糊性推理采用傳統(tǒng)的形式邏輯推理不可能實現(xiàn)的,而采用建立在模糊集合論基礎上的模糊邏輯卻能實現(xiàn)上述推理。12/9/202253采用最大－最小合成它與[大]相比,顯然是比較大。因此不難發(fā)現(xiàn)四、句子連接關系的邏輯運算1、句子連接詞“and”或者：模糊蘊含關系記為：規(guī)則為：如果x是Aand

y是B則z是C前提條件“如果x是Aand

y是B”可以看成是直積空間X×Y上的模糊集合，記為A×B，其隸屬度函數(shù)為：其具體運算方法也如前面簡單模糊蘊含關系那樣有6種，如：12/9/202254四、句子連接關系的邏輯運算1、句子連接詞“and”或者：模糊如果x是A’and

y是B’則z是C’其中R是模糊蘊含關系，“”為合成運算符。12/9/202255如果x是A’andy是B’則z是C’其中R是模糊蘊含關2、句子連接詞also多條控制規(guī)則，之間無先后次序。連接這些子句的連接詞用“also”表示。一般采用求“并”運算。12/9/2022562、句子連接詞also多條控制規(guī)則，之間無先后次序。連接這些7.5基于控制規(guī)則庫的模糊推理一、模糊推理的Mamdani法Mamdani推理法是一種在模糊控制中普遍使用的方法,它本質上仍然是一種合成推理方法,只不過對模糊蘊含關系取不同的形式而已。ifAthenB ifAithenBiifAthenBelseC

R(u,v)=A(u)∧B(v)ifAandBthenC12/9/2022577.5基于控制規(guī)則庫的模糊推理一、模糊推理的Mamdan例：已知一個雙輸入單輸出的模糊系統(tǒng)，其輸入量為x和y，輸出量為z，其輸入輸出關系可用如下兩條模糊規(guī)則描述：R1：如果x是A1andy是B1則z是C1R2：如果x是A2andy是B2則z是C2現(xiàn)已知輸入為x是A’andy是B’，試求輸出量z。這里x，y，z均為模糊語言變量，且已知：12/9/202258例：已知一個雙輸入單輸出的模糊系統(tǒng)，其輸入量為x和y，輸出量解：所有模糊集合的元素均為離散量，所以模糊集合可用模糊向量來描述，模糊關系可用模糊矩陣來描述。為進一步的計算，可將模糊矩陣表示成如下的向量：1、求每條規(guī)則的蘊含關系12/9/202259解：所有模糊集合的元素均為離散量，所以模糊集合可用模糊向量來12/9/20226012/7/2022602、求總的模糊蘊含關系R12/9/2022612、求總的模糊蘊含關系R12/7/2022613、計算4、計算輸出量的模糊集合12/9/2022623、計算4、計算輸出量的模糊集合12/7/202262輸出量z的模糊集合為：12/9/202263輸出量z的模糊集合為：12/7/202263二、模糊推理的性質1、若合成運算“”采用最大－最小法或最大－積法，連接詞“also”采用求并法，則“”和“also”的運算次序可以交換，即：2、若模糊蘊含關系采用Rc和Rp時，則有：12/9/202264二、模糊推理的性質1、若合成運算“”采用最大－最小法或3、對于`的推理結果可以采用如下簡潔的形式表示：推論：如果輸入量的模糊集合和模糊單點，即：則：12/9/2022653、對于`的推理結果可以采用如下簡潔的形式表示：推結合性質1和性質3，可以得到：這里i可以看成是相應于第i條規(guī)則的加權因子，它也看成是第i條規(guī)則的適用程度，或者看成是第i條規(guī)則對模糊控制作用所產(chǎn)生的貢獻的大小。12/9/202266結合性質1和性質3，可以得到：這里i可以看成是相應于第i7.6模糊控制的基本原理一、模糊控制器的基本結構和組成模糊化模糊推理清晰化控制對象知識庫參考輸入輸出二、模糊化將輸入的精確量轉換成模糊化量。12/9/2022677.6模糊控制的基本原理一、模糊控制器的基本結構和組成模1、輸入量變換：其中k稱為比例因子。例：若實際的輸入量為x0*，其變化范圍為[xmin*，xmax*]，若要求的論域為[xmin，xmax]，若采用線性變換，則：尺度變換，將實際的輸入量變換到要求的論域范圍。變換可以是線性的，也可以是非線性的。如果要求離散的論域，則需要將連續(xù)的論域離散化或量化。量化可以是均勻的，也可以是非均勻的。12/9/2022681、輸入量變換：其中k稱為比例因子。例：若實際的輸入量為單點模糊集合：如果輸入數(shù)據(jù)x0是準確的，則通常將其模糊化為單點模糊集合。設該模糊集合用A表示，則有：三角形模糊集合：如果輸入數(shù)據(jù)存在隨機測量噪聲，這時模糊化運算相當于將隨機量變換成模糊量。取模糊量的隸屬度函數(shù)為等腰三角形，或鈴形函數(shù)，即正態(tài)分布函數(shù)：x0xx0-x0+2、將論域范圍內的輸入量進行模糊處理：用模糊集合表示。12/9/202269單點模糊集合：如果輸入數(shù)據(jù)x0是準確的，則通常將其模糊化為單三、清晰化其中z0表示清晰值。若輸出量的隸屬度函數(shù)有多個極值，則取這些即值的平均值為清晰值。z0zab1、將模糊的控制量經(jīng)清晰化變換成論域范圍內的清晰量最大隸屬度法：若輸出量模糊集合C’的隸屬度函數(shù)只有一個峰值，則取隸屬度函數(shù)的最大值為清晰值，即：中位數(shù)法：12/9/202270三、清晰化其中z0表示清晰值。若輸出量的隸屬度函數(shù)有多個極值加權平均法：也稱重心法取的加權平均值為z的清晰值，即：12/9/202271加權平均法：也稱重心法取的加權平變換的方法可以是線性的，也可以是非線性的。若z的變化范圍為[zmin，zmax]，實際控制量的變化范圍為[umin，umax]，采用線性變換，則：其中k稱為比例因子。2、將表示在論域范圍內的清晰量經(jīng)尺度變換成實際的控制量12/9/202272變換的方法可以是線性的，也可以是非線性的。若z的變化范圍為[四、輸入和輸出空間的模糊分割模糊分割是要確定對于每個語言變量取值的模糊語言名稱的個數(shù)，模糊分割的個數(shù)決定了模糊控制精細化的程度。也可以為非對稱和非均勻分布語言名稱通常均具有一定的含義。NB：負大(NegativeBig)；NM：負中(NegativeMedium)NS：負小(NegativeSmall)；ZE：零(Zero)PS：正小(PositiveSmall)；PM：正中(PositiveMediumPB：正大(PositiveBig)12/9/202273四、輸入和輸出空間的模糊分割模糊分割是要確定對于每個語言變量x-101NZPx-101ZEPSPMPBNSNMNB模糊分割的個數(shù)也決定了最大可能的模糊規(guī)則的個數(shù)。12/9/202274x-101NZPx-101ZEPSPMPBNSNMNB模五、模糊集合的隸屬度函數(shù)1、數(shù)值描述法x0是中心值2是方差對于論域為離散，且元素個數(shù)為有限時，模糊集合的隸屬度函數(shù)可以用向量或者表格的形式來表示。2、函數(shù)描述法最常見的有鈴形函數(shù)、三角形函數(shù)、梯形函數(shù)。12/9/202275五、模糊集合的隸屬度函數(shù)1、數(shù)值描述法x0是中心值對于論域為六、論域為離散時模糊控制的離線計算當論域為離散時，經(jīng)過量化后的輸入量的個數(shù)是有限的，因此可以針對輸入情況的不同組合離線計算出相應的控制量，從而組成一張控制表，實際控制時只要直接查這張控制表即可，在線的運算量是很少的。k1k2k3量化量化控制對象控制表－ryex0y0z0u論域為離散時的模糊控制系統(tǒng)結構相當于非線性的PD控制k1，k2，k3：尺度變換的比例因子。12/9/202276六、論域為離散時模糊控制的離線計算當論域為離散時，經(jīng)過量化后設e，和u的變換范圍分別為：并設x，y，z的論域分別為：則：設：量化的功能是將比例變換后的連續(xù)值經(jīng)四舍五入變?yōu)檎麛?shù)值。12/9/202277設e，和u的變換范圍分別為：并設x，y，z的論語言變量x的隸屬度函數(shù)-6-5-4-3-2-10123456NB1.00.80.70.40.1NM0.20.71.00.70.3NS0.10.30.71.00.70.2NZ0.10.61.0PZ1.00.60.1PS0.20.71.00.70.30.1PM0.20.71.00.70.3PB0.10.40.70.81.012/9/202278語言變量x的隸屬度函數(shù)-6-5-4-3-2-10123456語言變量y,z的隸屬度函數(shù)-6-5-4-3-2-10123456NB1.00.70.3NM0.30.71.00.70.3NS0.30.71.00.70.3ZE0.30.71.00.70.3PS0.30.71.00.3PM0.30.71.00.70.3PB0.30.71.012/9/202279語言變量y,z的隸屬度函數(shù)-6-5-4-3-2-101234模糊控制規(guī)則表xzyNBNMNSZEPSPMPMNBNBNBNBNBNMZEZENMNBNBNBNBNMZEZENSNMNMNMNMZEPSPSNZNMNMNSZEPSPMPMPZNMNMNSZEPSPMPMPSNSNSZEPMPMPMPMPMZEZEPMPBPBPBPBPBZEZEPMPBPBPBPB12/9/202280模糊控制規(guī)則表xzyNBNMNSZEP設已知輸入為x0和y0，模糊化運算采用單點模糊集合，則相應的輸入量模糊集合A’和B’分別為：采用Mamdani法進行推理，則：12/9/202281設已知輸入為x0和y0，模糊化運算采用單點模糊集合，則相應的設x0=－6，y0=－612/9/202282設x0=－6，y0=－612/7/20228212/9/20228312/7/202283按同樣的方法可求出，并最終求得：對所求得的輸出量模糊集合進行清晰化計算，采用加權平均法：按同樣的步驟，可以計算出當x0，y0為其它組合時的輸出量z0。最后可列如下控制表。12/9/202284按同樣的方法可求出，并最終求得：對所求得的輸出量模糊集合進行z0y0x0－6－5－4－3－2－10123456－6-5.350－5－4-5.0-0.59－3－2-3.160.18－10012-0.183.16340.595.05605.3512/9/202285z0y0x0－6－5－4－3－2－10123456－第五章模糊邏輯與模糊推理12/9/202286第五章12/7/20221主要內容5.1概述5.2模糊集合及其運算5.3模糊關系5.4模糊邏輯與近似推理5.5基于控制規(guī)則庫的模糊推理5.6模糊控制的基本原理12/9/202287主要內容12/7/202225.1概述12/9/2022885.1概述12/7/20223模糊的概念

“fuzzy”不同的類別之間不存在精確的分類標準，從而對一事物是否屬于某一類很難做出明確肯定的斷言。例：高低、冷熱、快慢、年輕人、中年人、老年人…12/9/202289模糊的概念“fuzzy”不同的類別之間不存在精確的分類標精確方法的邏輯基礎是傳統(tǒng)的二值邏輯，即非此即彼。把經(jīng)典的二值邏輯用于處理Fuzzy概念和Fuzzy命題時，將會在理論上導致邏輯悖論。模糊概念是亦此亦彼：從0和1－－－→從0至1。公設（1）存在禿頭的人和非禿頭的人。（2）若有n根頭發(fā)的人禿，則有n+1根頭發(fā)的人亦禿。由此會導致：禿頭悖論：所有人都禿。人腦具有Fuzzy思維功能。模糊描述是必要、必然的12/9/202290精確方法的邏輯基礎是傳統(tǒng)的二值邏輯，即非此即彼。模糊概念是亦J.A.Goguen1974說： “描述不確切性并非壞事，相反倒是一件好事，它能用較少的代價傳輸足夠的信息，并能對復雜事物做出高效率的判斷和處理。也就是說，不確定性有助于提高效率。”愛因斯坦：“Sofarasthelawsofmathematicsrefertoreality,theyarenotcertain,Andsofarastheyareceitain,theydonotrefertoreality.”關于現(xiàn)實的數(shù)學定理是不確定的，而確定的數(shù)學定理并不能描述現(xiàn)實。不相容原理：(L.A.Zadeh1975提出) “當一個系統(tǒng)復雜性增大時，我們使它精確化的能力將減低，在達到一定的閾值時，復雜性和精確性將相互排斥。”12/9/202291J.A.Goguen1974說：12/7/20226模糊性也是一種不確定性，但不同于隨機性，模糊理論不同于概率論。模糊性指對概念的定義以及語言意義的理解上的不確定性，主要是人為的主觀理解上的不確定性。隨機性反映的是客觀上的自然的不確定性，或者是事件發(fā)生的偶然性。模糊性與隨機性12/9/202292模糊性也是一種不確定性，但不同于隨機性，模糊理論不同于概率論模糊集合與模糊數(shù)學的概念模糊集合：一種特別定義的集合，它可用來描述模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學：有關模糊集合、模糊邏輯等的數(shù)學理論12/9/202293模糊集合與模糊數(shù)學的概念模糊集合：一種特別定義的集合，它可用5.2模糊集合及其運算12/9/2022945.2模糊集合及其運算12/7/20229表示方法：1)

定義法 ：A={x|x為偶數(shù)，x<10}2)

列舉法 ：A={2,4,6,8}3)

特征函數(shù)法：一、普通集合論域：討論的范圍，U、V、W集合：U上的一部分叫U上的集合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v、w冪集：U的所有子集構成的集合，P(U)12/9/202295表示方法：一、普通集合論域：討論的范圍，U、V、W12/7/二、模糊集合的定義及表示方法、名詞術語定義：設論域為U，稱映射確定U的一個模糊集合。稱為的隸屬函數(shù)。，表示u隸屬于的程度，簡稱隸屬度。論域U指的是所討論的事物的全體。模糊冪集：論域U上的全體模糊子集構成的集合，記為F(U)，12/9/202296二、模糊集合的定義及表示方法、名詞術語定義：設論域為U，稱映設U={x1,x2,x3,x4,x5}，xi表示同學。對于每個同學的“性格開朗”的程度在[0,1]中打分，便得到從U到[0,1]的一個映射=“性格開朗”(x1)=0.85，(x2)=0.75，(x3)=0.98，(x4)=0.30，(x5)=0.60舉例：12/9/202297設U={x1,x2,x3,x4,x5}，xi表示同學。對于每1、論域U為離散有限集{x1,x2,,xn}(xi)=ai扎德表示法：向量表示法：表示方法：12/9/2022981、論域U為離散有限集{x1,x2,,xn}扎德表示法：向2、論域是離散無限域可數(shù)：不可數(shù)：扎德表示法：3、論域是連續(xù)域當U是一個實數(shù)區(qū)間時，可以用普通的實函數(shù)表示扎德表示法：12/9/2022992、論域是離散無限域可數(shù)：不可數(shù)：扎德表示法：3、論域是連續(xù)以年齡為論域，取U=[0,200]，扎德給出了“年老”與“年輕”兩個模糊集的隸屬函數(shù)為：舉例：12/9/2022100以年齡為論域，取U=[0,200]，扎德給出了“年老”與“年“核”：Ker={5，6}Ker ≠ 稱為正則模糊集Ker ＝ 稱為非正則模糊集“單點模糊集合”：若臺集僅為一個點，且該點隸屬度為1“臺”：隸屬度大于0的元素的全體，支撐集“”截集：Supp={3,4,5,6,7,8}名詞術語：12/9/2022101“核”：Ker={5，6}“單點模糊集合”：若1、相等：三、模糊集合的基本運算2、包含：各元素的隸屬度分別相等12/9/20221021、相等：三、模糊集合的基本運算2、包含：各元素的隸屬度分3、并

∨：取大運算

12/9/20221033、并∨：取大運算12/7/2022184、交∧取小運算12/9/20221044、交∧取小運算12/7/2022195、余12/9/20221055、余12/7/202220和的直積為定義在積空間UV上的模糊集合兩個模糊集合直積的概念可以很容易推廣到多個集合6、笛卡爾直積(Cartesianproduct)12/9/2022106和的直積為定義在積空間UV上的模糊集合兩個模糊集交換律結合律分配律吸收律復原律兩極律（同一律）對偶律（D．摩根律）冪等律12/9/2022107交換律結合律分配律吸收律復原律兩極律（同一律）對偶律（D．摩五、模糊集合的其它類型運算作為Fuzzy集合基本運算的并、交運算，采用Zadeh算子按點“取大取小”，不僅很好符合人腦通常的Fuzzy思維方式，而且在研究和處理模糊性問題時帶來了很多方便，因此在有關Fuzzy集合論與邏輯的文獻中，大多采用了Zadeh的取大取小運算進行分析。有些學者認為，只取兩個隸屬度中的最大或最小值，忽略了另一個隸屬度的值，是造成信息失落的根源。因此人們提出了不少與∨、∧相對應的算子。改善后的Fuzzy算子盡管在某種意義上更加接近人類思維，然而由于其變化復雜且失去了許多好的運算性質而很少使用。12/9/2022108五、模糊集合的其它類型運算作為Fuzzy集合基本運算的并、交1、代數(shù)和2、代數(shù)積3、有界和4、有界差12/9/20221091、代數(shù)和2、代數(shù)積3、有界和4、有界差12/7/202225、有界積6、強制和7、強制積12/9/20221105、有界積6、強制和7、強制積12/7/2022255.3模糊關系與模糊矩陣12/9/20221115.3模糊關系與模糊矩陣12/7/202226n元模糊關系R是定義在直積U1U2Un上的模糊集合模糊關系不是“有”“無”關系，而是多少有點關系。 模糊關系是模糊集合直積集的一個子集一、模糊關系的定義及表示12/9/2022112n元模糊關系R是定義在直積U1U2Un上的模糊集合模求U到V滿足b“大約是”a的平方關系：舉例12/9/2022113求U到V滿足b“大約是”a的平方關系：舉例12/7U={1,5,7,9,20}序偶中前元比后元“小得多”的關系隸屬度運算用公式舉例12/9/2022114U={1,5,7,9,20}序偶中前元比后元“小得多”模糊關系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法來表示。模糊矩陣：將ui，vj作為節(jié)點，在連線上標上值當論域為有限集合時，用矩陣和圖的形式更形象地加以描述模糊圖：12/9/2022115模糊關系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法來表示。模糊矩陣設U為家庭中的兒子和女兒，V為家庭成員中的父親和母親，對于“子女與父母長得相似”的模糊關系R表示為：父母子女0.80.30.30.6舉例12/9/2022116設U為家庭中的兒子和女兒，V為家庭成員中的父親和母親，對于“二、模糊關系的合成定義：R∈F(UV),S∈F(VW)(R是U到V的一個模糊關系，S是V到W的一個模糊關系，稱U到W的模糊關系T為模糊關系R與模糊關系S的合成。記為T=R?S其中是并的符號，表示對所有v取極大值或上界值，“”是二項積的符號其隸屬函數(shù)該合成稱為最大－星合成(max-starcomposition)其中“?”為模糊矩陣的合成運算。12/9/2022117二、模糊關系的合成定義：R∈F(UV),S∈F(VW)二項積算子“”可以定義為以下幾種運算：交最大－最小合成(max-mincomposition)最常用代數(shù)積有界積強制積12/9/2022118二項積算子“”可以定義為以下幾種運算：交最大－最小合成(m當論域U、V、W為有限時，模糊關系的合成可用模糊矩陣的合成表示。12/9/2022119當論域U、V、W為有限時，模糊關系的合成可用模糊矩陣的合成表已知子女與父母長相相像的關系為：父母與祖父母長相相像的關系：舉例12/9/2022120已知子女與父母長相相像的關系為：父母與祖父母求：子女與祖父母相似關系模糊矩陣按最大－最小合成規(guī)則：12/9/2022121求：子女與祖父母相似關系模糊矩陣按最大－最小合成規(guī)則：12舉例用U={x1,x2,x3}表示病人集合，V={y1,y2,y3,y4,y5}表示癥狀集合，W={z1,z2,z3}表示病名集合。從U到V的模糊關系為：12/9/2022122舉例用U={x1,x2,x3}表示病人集合，V={y1,y2R與S的復合關系為：從V到W的模糊關系為：從癥狀V到病名集合W的模糊關系S是一個醫(yī)學診斷知識庫，它表明了癥狀與病名之間的關系程度。12/9/2022123R與S的復合關系為：從V到W的模糊關系為：從癥狀V到病名集合5.4模糊邏輯與近似推理12/9/20221245.4模糊邏輯與近似推理12/7/202239一、模糊命題、語言變量、模糊算子模糊命題：含有模糊謂詞的句子例:“今天很冷”“張三年輕”不能簡單地用“F”、“T”區(qū)別模糊算子：用于加強或減弱語氣的詞“極”，“非?！保跋喈敗保杭谢阕印氨容^”，“略”，“稍微”：散漫化算子12/9/2022125一、模糊命題、語言變量、模糊算子模糊命題：含有模糊謂詞的句子語言變量：語言變量由一個五元體(x,T(x),U,G,M)來表征，其中：x：語言變量名稱，如年齡，速度等U：x的論域T(x)：語言變量值的集合，其中每個語言變量值都是論域U上的模糊集合T(x)=T(速度)={慢，適中，快，很慢，稍快，…}G：語法規(guī)則，用以產(chǎn)生語言變量x的值的名稱M：語義規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊集合的隸屬度函數(shù)Zadeh于1975年給出了如下的語言變量的定義：12/9/2022126語言變量：語言變量由一個五元體(x,T(x),U,G,二、模糊蘊含關系2、模糊蘊含積運算(Larsen)3、模糊蘊含算術運算(Zadeh)“如果x是A，則y是B”(AB)表示了A與B之間的模糊蘊含關系1、模糊蘊含最小運算(Mamdani)12/9/2022127二、模糊蘊含關系2、模糊蘊含積運算(Larsen)3、模糊蘊4、模糊蘊含的最大－最小運算(Zadeh)5、模糊蘊含的布爾運算6、模糊蘊含的標準運算(1)12/9/20221284、模糊蘊含的最大－最小運算(Zadeh)5、模糊蘊含的布爾7、模糊蘊含的標準運算(2)12/9/20221297、模糊蘊含的標準運算(2)12/7/202244如果論域U和V是離散的，則模糊蘊含關系R可用模糊矩陣來表示。對于離散的模糊集合A和B，可用相應的模糊向量來表示。則模糊蘊含關系矩陣R可以采用如下的方法計算：12/9/2022130如果論域U和V是離散的，則模糊蘊含關系R可用模糊矩陣來表示。三、模糊推理簡言之,從巳知條件求未知結果的思維過程就是推理。用傳統(tǒng)的二值邏輯迸行演繹推理和歸納推理時,只要大前提或推理規(guī)則是正確的，小前提是肯定的，那么就一定會得到確定的結論然而,在現(xiàn)實生活中我們獲得的信息往往是不精確的、不完全的;或者事實本身就是模糊而不完全確切的,但又必須利用且只能利用這些信息進行判斷和決策。此時,傳統(tǒng)的形式邏輯和近代的數(shù)理邏輯均無法解決這類問題12/9/2022131三、模糊推理簡言之,從巳知條件求未知結果的思維過程就是推理。解決模糊性問題就需要用模糊推理。這種結論不是從前提中嚴格推出來而是近似邏輯地推出結論的方法,通常就稱為假言推理或似然推理。模糊推理是一種以模糊判斷為前提,運用模糊語言規(guī)則,推出一個新的近似的模糊判斷結論的方法。模糊邏輯推理是一種不確定性的推理方法。模糊推理是一種近似推理,提法有兩種形式。12/9/2022132解決模糊性問題就需要用模糊推理。這種結論不是從前提中嚴格推出第一種提法(廣義的肯定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“若A則B”,A∈V,B∈V”巳知某個A’，A’∈V，求從蘊含關系能推斷出什么樣的結論B’?例如：已知模糊推理語句：若“A大”,則“B小”,利用似然推理進行推理:如果巳知“A偏大”,問B將如何?模糊取式推理：巳知：模糊蘊含關系A→B的關系矩陣R對于給定的A’，A’∈U，則可推得結論B’，B’∈V，

B’=A’?R

其中“?”表示合成運算，即模糊關系的sup-*運算。12/9/2022133第一種提法(廣義的肯定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“第二種提法(廣義的否定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“若A則B”,A∈V,B∈V”已知某一個B’∈V，求從蘊含關系能推出什么樣的結論A’?例如：已知模糊推理語句若“A大”,則“B小”,利用似然推理進行推理:巳知"B不很小"問A又如何?模糊拒式推理：巳知：模糊蘊含關系A→B的關系矩陣R對于給定的B’，B’∈V，則可推得結論A’∈UA’=R?B12/9/2022134第二種提法(廣義的否定式推理方式)：給定一個模糊蘊含關系：“例：已知 若A小則B大,當A=A’=[較小]，問B如何?解：采用(Zadeh)的模糊蘊含關系Rm12/9/2022135例：已知 若A小則B大,當A=A’=[較小]，問B如何?解12/9/202213612/7/20225112/9/202213712/7/202252采用最大－最小合成它與[大]相比,顯然是比較大。因此不難發(fā)現(xiàn),由模糊推理所得到的結論是與人們的思想相吻合的。這樣的模糊性推理采用傳統(tǒng)的形式邏輯推理不可能實現(xiàn)的,而采用建立在模糊集合論基礎上的模糊邏輯卻能實現(xiàn)上述推理。12/9/2022138采用最大－最小合成它與[大]相比,顯然是比較大。因此不難發(fā)現(xiàn)四、句子連接關系的邏輯運算1、句子連接詞“and”或者：模糊蘊含關系記為：規(guī)則為：如果x是Aand

y是B則z是C前提條件“如果x是Aand

y是B”可以看成是直積空間X×Y上的模糊集合，記為A×B，其隸屬度函數(shù)為：其具體運算方法也如前面簡單模糊蘊含關系那樣有6種，如：12/9/2022139四、句子連接關系的邏輯運算1、句子連接詞“and”或者：模糊如果x是A’and

y是B’則z是C’其中R是模糊蘊含關系，“”為合成運算符。12/9/2022140如果x是A’andy是B’則z是C’其中R是模糊蘊含關2、句子連接詞also多條控制規(guī)則，之間無先后次序。連接這些子句的連接詞用“also”表示。一般采用求“并”運算。12/9/20221412、句子連接詞also多條控制規(guī)則，之間無先后次序。連接這些7.5基于控制規(guī)則庫的模糊推理一、模糊推理的Mamdani法Mamdani推理法是一種在模糊控制中普遍使用的方法,它本質上仍然是一種合成推理方法,只不過對模糊蘊含關系取不同的形式而已。ifAthenB ifAithenBiifAthenBelseC

R(u,v)=A(u)∧B(v)ifAandBthenC12/9/20221427.5基于控制規(guī)則庫的模糊推理一、模糊推理的Mamdan例：已知一個雙輸入單輸出的模糊系統(tǒng)，其輸入量為x和y，輸出量為z，其輸入輸出關系可用如下兩條模糊規(guī)則描述：R1：如果x是A1andy是B1則z是C1R2：如果x是A2andy是B2則z是C2現(xiàn)已知輸入為x是A’andy是B’，試求輸出量z。這里x，y，z均為模糊語言變量，且已知：12/9/2022143例：已知一個雙輸入單輸出的模糊系統(tǒng)，其輸入量為x和y，輸出量解：所有模糊集合的元素均為離散量，所以模糊集合可用模糊向量來描述，模糊關系可用模糊矩陣來描述。為進一步的計算，可將模糊矩陣表示成如下的向量：1、求每條規(guī)則的蘊含關系12/9/2022144解：所有模糊集合的元素均為離散量，所以模糊集合可用模糊向量來12/9/202214512/7/2022602、求總的模糊蘊含關系R12/9/20221462、求總的模糊蘊含關系R12/7/2022613、計算4、計算輸出量的模糊集合12/9/20221473、計算4、計算輸出量的模糊集合12/7/202262輸出量z的模糊集合為：12/9/2022148輸出量z的模糊集合為：12/7/202263二、模糊推理的性質1、若合成運算“”采用最大－最小法或最大－積法，連接詞“also”采用求并法，則“”和“also”的運算次序可以交換，即：2、若模糊蘊含關系采用Rc和Rp時，則有：12/9/2022149二、模糊推理的性質1、若合成運算“”采用最大－最小法或3、對于`的推理結果可以采用如下簡潔的形式表示：推論：如果輸入量的模糊集合和模糊單點，即：則：12/9/20221503、對于`的推理結果可以采用如下簡潔的形式表示：推結合性質1和性質3，可以得到：這里i可以看成是相應于第i條規(guī)則的加權因子，它也看成是第i條規(guī)則的適用程度，或者看成是第i條規(guī)則對模糊控制作用所產(chǎn)生的貢獻的大小。12/9/2022151結合性質1和性質3，可以得到：這里i可以看成是相應于第i7.6模糊控制的基本原理一、模糊控制器的基本結構和組成模糊化模糊推理清晰化控制對象知識庫參考輸入輸出二、模糊化將輸入的精確量轉換成模糊化量。12/9/20221527.6模糊控制的基本原理一、模糊控制器的基本結構和組成模1、輸入量變換：其中k稱為比例因子。例：若實際的輸入量為x0*，其變化范圍為[xmin*，xmax*]，若要求的論域為[xmin，xmax]，若采用線性變換，則：尺度變換，將實際的輸入量變換到要求的論域范圍。變換可以是線性的，也可以是非線性的。如果要求離散的論域，則需要將連續(xù)的論域離散化或量化。量化可以是均勻的，也可以是非均勻的。12/9/20221531、輸入量變換：其中k稱為比例因子。例：若實際的輸入量為單點模糊集合：如果輸入數(shù)據(jù)x0是準確的，則通常將其模糊化為單點模糊集合。設該模糊集合用A表示，則有：三角形模糊集合：如果輸入數(shù)據(jù)存在隨機測量噪聲，這時模糊化運算相當于將隨機量變換成模糊量。取模糊量的隸屬度函數(shù)為等腰三角形，或鈴形函數(shù)，即正態(tài)分布函數(shù)：x0xx0-x0+2、將論域范圍內的輸入量進行模糊處理：用模糊集合表示。12/9/2022154單點模糊集合：如果輸入數(shù)據(jù)x0是準確的，則通常將其模糊化為單三、清晰化其中z0表示清晰值。若輸出量的隸屬度函數(shù)有多個極值，則取這些即值的平均值為清晰值。z0zab1、將模糊的控制量經(jīng)清晰化變換成論域范圍內的清晰量最大隸屬度法：若輸出量模糊集合C’的隸屬度函數(shù)只有一個峰值，則取隸屬度函數(shù)的最大值為清晰值，即：中位數(shù)法：12/9/2022155三、清晰化其中z0表示清晰值。若輸出量的隸屬度函數(shù)有多個極值加權平均法：也稱重心法取的加權平均值為z的清晰值，即：12/9/2022156加權平均法：也稱重心法取的加權平變換的方法可以是線性的，也可以是非線性的。若z的變化范圍為[zmin，zma