幾何最值問題

二、幾何中的最值問題幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、圖形周長或面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1、幾何定理（公理）法；2、特殊位置與極端位置法；求最小值適用于：（1）軸對稱模型：兩點之間，線段最短（2）直角三角形模型：垂線段最短（直角三角形斜邊大于直角邊）求最大值適用于：（1）不等式模型：，或（2）三角形兩邊之差小于第三邊A、軸對稱模型求最小值模型理解1、在直線上找一點P，使得其到直線同側(cè)兩點A、B的距離之和最小。2、直線交于O、P是兩直線間的一點，在直線上分別找一點A、B，使得△PAB的周長最短。3、直線交于O，A、B是兩直線間的兩點，從點A出發(fā)，先到上一點P，再從P點到上一點Q，再回到B點，求作P、Q兩點，使四邊形APQB周長最小。4、從A點出發(fā)，先移動到直線上的一點P，再在上移動一段固定的距離PQ，再回到點B，求作點P，使移動的距離最短。5、A、B是位于河兩岸的兩個村莊，要在這條寬度為d的河上垂直建一座橋，使得從A村莊經(jīng)過橋到B村莊所走的路程最短。模型運用16、如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點，則的最小值是___________17、如圖2，的半徑為2，點在上，，，是上一動點，則的最小值是__________18、如圖3，，是內(nèi)一點，，分別是上的動點，則周長的最小值是__________19、已知：拋物線的對稱軸為，與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，其中，。（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小，請求出點P的坐標。20、在平面角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在軸、軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。（1）若E為邊OA上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。21、四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在軸上，D在軸上，，，AB=5，CD=3，拋物線過A、B兩點。（1）求拋物線解析式；（2）設(shè)M是軸上方拋物線上的一動點，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；（3）當(dāng)（2）中M點運動到使取最大值時，此時記點M為N，設(shè)線段AC與軸交于點E，F(xiàn)為線段EC上一動點，求F到N點與到軸的距離之和的最小值，并求此時F點的坐標。22、恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，AB=50，A到直線的距離為10，B到直線和的距離分別為40和30。請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。B、直角三角形模型：垂線段最短垂線段最短斜邊大于直角邊>直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個是斜邊上的中線，從形狀上來說，直角三角形斜邊上的高把直角三角形分得兩個小直角三角形，而斜邊上的中線則把它分為兩個小等腰三角形；從長度上來說，直角三角形斜邊上的高是直角頂點到斜邊上所有點之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得；而斜邊上的中線等于斜邊的一半。23、如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內(nèi)，過點P作⊙O的切線與軸相交于點A，與軸相交于點B。

（1）點P在運動時，線段AB的長度在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值。

（2）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q、O、A、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由。24、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是（）

A、4.75B、4.8C、5D、25、如圖，在平面直角坐標系中，在軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A（0，a）、B(0，b)，a>b，試在軸的正半軸（坐標原點除外）上求點C，使取得最大值。變式：某展覽，墻壁上展柜AB離地2米高，AB之間擺放展品，AB=1米，某個身高為1.6米的人在什么角度，觀看展覽效果最佳？26、（2013四調(diào)）如圖∠BAC＝60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為（）A、3B、6C、D、C、三角形兩邊之差小于第三邊27、如圖，直線與軸交于點C，與軸交于點B，點A為軸正半軸上的一點，⊙A經(jīng)過點B和點O，直線BC交⊙A于點D。（1）求點D的坐標；（2）過O、C、D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標。若不存在，請說明理由。28、（2013四調(diào)24題）面積為24的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運動，點F、G分別在BC、AC上。（1）若AB＝8，DE＝2EF，求GF的長；（2）若∠ACB＝90°，如圖2，線段DM、EN分別為△ADG和△BEF的角平分線，求證：MG＝NF；（3）請直接寫出矩形DEFG的面積的最大值。二、幾何中的最值問題模型理解1、在直線上找一點P，使得其到直線同側(cè)兩點A、B的距離之和最小。2、直線交于O、P是兩直線間的一點，在直線上分別找一點A、B，使得△PAB的周長最短。3、直線交于O，A、B是兩直線間的兩點，從點A出發(fā)，先到上一點P，再從P點到上一點Q，再回到B點，求作P、Q兩點，使四邊形APQB周長最小。4、從A點出發(fā)，先移動到直線上的一點P，再在上移動一段固定的距離PQ，再回到點B，求作點P，使移動的距離最短。提示：建議尺規(guī)作圖，假設(shè)PQ長度如圖（1）將A點平移到，使；（2）作B點關(guān)于直線l的對稱點（3）連接與直線l的交點為所求Q點（4）過A作的平行線與直線l的交點即為P點位置，此時AP+PQ+QB最小5、A、B是位于河兩岸的兩個村莊，要在這條寬度為d的河上垂直建一座橋，使得從A村莊經(jīng)過橋到B村莊所走的路程最短。提示：河寬是固定的，設(shè)為d個單位（1）將A沿方向平移d個單位（垂直于河岸）（2）連接與河岸交于點D（3）過D作的平行線交另一河岸于C，連接AC則AC+CD+DB最小模型運用16、如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點，則的最小值是解：作E關(guān)于AC的對稱點，易知在AD上且為AD中點連接與AC的交點為P，此時PB+PE最小17、如圖2，的半徑為2，點在上，，，是上一動點，則的最小值是解：過C作OB的垂線交圓于，連接與OB交于點P，此時PA+PC最小，OA=OC，則AE=CE，AE=18、如圖3，，是內(nèi)一點，，分別是上的動點，則周長的最小值是__________解：作P關(guān)于OB的對稱點C，作P關(guān)于OA的對稱點D連接CD，與OA、OB分別交于點Q、R，此時的周長最小，就是CD的長∵，∴，OC=OP=10，所以CD=19、已知：拋物線的對稱軸為，與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，其中，。（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小，請求出點P的坐標。解：（1）對稱軸為由對稱性可知：根據(jù)A、B、C三點坐標，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：（2）A與B關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)AC，則AC與對稱軸交點即為所求P點設(shè)直線AC解析式為：把、代入得，。當(dāng)時，，則20、在平面角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在軸、軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。（1）若E為邊OA上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。解：作點D關(guān)于軸的對稱點，則，。連接交軸于點E，連接DE，此時△CDE的周長最小。由△D’OE∽△D’BC可知，那么，則E(1,0)。（2）將C點向左平移2個單位（因為EF=2）到C’點，連接交軸于E點，在OA上截取EF=2連接CF，則四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形CDEFD的周長=CD+EF+DE+CF，因為CD+EF為定值，所以當(dāng)DE+CF最小時四邊形CDEFD的周長最小，而時為最小。由可求直線解析式為，當(dāng)時，所以，則。21、四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在軸上，D在軸上，，，AB=5，CD=3，拋物線過A、B兩點。（1）求拋物線解析式；（2）設(shè)M是軸上方拋物線上的一動點，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；（3）當(dāng)（2）中M點運動到使取最大值時，此時記點M為N，設(shè)線段AC與軸交于點E，F(xiàn)為線段EC上一動點，求F到N點與到軸的距離之和的最小值，并求此時F點的坐標。解：（1）由題知：；拋物線解析式為；（2）設(shè)，且，則，用零點分段法可求得，綜合分析，當(dāng)時，，此時，則。（3）過F點作FG垂直于y軸，過C點作CH垂直于x軸易求，所以直線AC解析式：，則過E點作y軸的垂線，解析式為：y=1，∵，則y軸和直線y=1關(guān)于直線AC對稱，作G點關(guān)于直線AC的對稱點為易知四邊形為正方形，，則N、F、三點共線所以FG+FN=為最小，最小值為：6-1=5因為，將代入，所以22、恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，AB=50，A到直線的距離為10，B到直線和的距離分別為40和30。請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。解：作點關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于，交軸于。。當(dāng)、在線段上時，最小。過、分別作軸、軸的平行線交于。在中，，，，而∴

四邊形的周長最小值為：23、如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內(nèi)，過點P作⊙O的切線與軸相交于點A，與軸相交于點B。

（1）點P在運動時，線段AB的長度在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值。

（2）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q、O、A、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由。解：（1）因為AB切⊙O于P，所以O(shè)P⊥AB，取AB的中點C，則AB=2OC；當(dāng)OC=OP時，OC最短（垂線段最短），此時AB最短，故AB=4（2）設(shè)四邊形OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，OB⊥OA，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ=90°，∵OP=OQ（⊙O的半徑），∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，∴∠BOQ=∠BOP=45°，∴∠AOP=45°，設(shè)P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），∵OP=2代入得，，∴Q點坐標是如圖（3）所示，四邊形OPAQ為平行四邊形，同理可得Q點坐標是24、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是（）

A、4.75B、4.8C、5D、解：因為該動圓經(jīng)過C、P、Q三點，且∠PCQ=90°，所以PQ必為直徑，圓心為PQ的中點O設(shè)⊙O與AB相切于點D，作CE⊥AB，顯然：PQ=OC+OD≧CE，當(dāng)C、O、D三點共線時PQ=CE，此時PQ最?。ù咕€段最短）AB×CE=AC×BC（面積轉(zhuǎn)化）所以CE=4.825、如圖，在平面直角坐標系中，在軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A（0，a）、B(0，b)，a>b，試在軸的正半軸（坐標原點除外）上求點C，使取得最大值。解：（本題來自高中，初三學(xué)完圓也可以做，此題稱作隱圓或輔助圓問題）假設(shè)C為軸的正半軸（坐標原點除外）上一點，設(shè)⊙O為過A、B、C的圓。①如圖1，若C的右側(cè)有任一點，∵，∴②如圖2，當(dāng)⊙O與軸相切時，顯然在C點右側(cè)不存在點使得設(shè)C的左側(cè)存在點，顯然（參考①），那么則有：過A、B、C三點的⊙O與軸相切時，取得最大值③（求點C，實際是求的長度，在初中求線段長馬上聯(lián)想勾股定理或者相似）過O作OE⊥AB，則BE=，∴OB=OC=∵∴，即C（，0）（用相似也可以，試試吧）變式：某展覽，墻壁上展柜AB離地2米高，AB之間擺放展品，AB=1米，某個身高為1.6米的人在什么位置，觀看展覽效果最佳？解：（如果25題懂了，做這個題應(yīng)該沒問題）建模如圖，設(shè)CD是參觀的人，“觀看展覽效果最佳”其實還是問什么時候最大分析過程略，26、（2013四調(diào)）如圖∠BAC＝60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半