《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》2018屆中考數(shù)學(xué)精英復(fù)習(xí)課件（畢節(jié)）：專題卷(四)　新定義與閱讀理解

專題卷(四)新定義與閱讀理解數(shù)學(xué)1．對于實數(shù)a，b，我們定義符號max{a，b}的意義為：當(dāng)a≥b時，max{a，b}＝a；當(dāng)a<b時，max{a，b}＝b；如：max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3，若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{x＋3，－x＋1}，則該函數(shù)的最小值是(B)A．0B．2C．3D．42．我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如表是兩種運(yùn)算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：指數(shù)運(yùn)算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新運(yùn)算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個式子：①log216＝4；②log225＝5；③log2eq\f(1,2)＝－1.其中正確的是(B)A．①②B．①③C．②③D．①②③3．(六盤水中考)定義：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)．例如f(2，3)＝(3，2)，g(－1，－4)＝(1，4)．則g(f(－5，6))等于(A)A．(－6，5)B．(－5，－6)C．(6，－5)D．(－5，6)4．對于實數(shù)a、b定義一種運(yùn)算“?”為：a?b＝a2＋ab－2.有下列命題：①1?3＝2；②方程x?1＝0的根為x1＝－2，x2＝1；③不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2）?x－4<0,1?x－3<0))的解集為－1<x<4；④點(eq\f(1,2)，eq\f(5,2))在函數(shù)y＝x?(－1)的圖象上．其中正確的是(C)A．①②③④B．①③C．①②③D．③④5．(黔南州中考)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P到原點O的距離為ρ，OP與x軸正方向的夾角為α，則用[ρ，α]表示點P的極坐標(biāo)；顯然點P的極坐標(biāo)與它的坐標(biāo)存在一一對應(yīng)的關(guān)系，例如：點P的坐標(biāo)為(1，1)，則其極坐標(biāo)為[eq\r(2)，45°]．若點Q的極坐標(biāo)為[4，60°]，則點Q的坐標(biāo)為(A)A．(2，2eq\r(3))B．(2，－2eq\r(3))C．(2eq\r(3)，2)D．(2，2)6．對于任意非零實數(shù)a，b定義運(yùn)算⊕，使下列式子成立；1⊕2＝－eq\f(3,2)，2⊕1＝eq\f(3,2)，(－2)⊕5＝eq\f(21,10)，5⊕(－2)＝－eq\f(21,10)，…，則a⊕b＝__eq\f(a2－b2,ab)__．7．當(dāng)a、b滿足條件a>b>0時，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓．若eq\f(x2,m＋2)＋eq\f(y2,2m－6)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是__3<m<8__.8．(畢節(jié)中考)對于兩個不相等的實數(shù)a，b，定義一種新的運(yùn)算如下，a*b＝eq\f(\r(a＋b),a－b)(a＋b>0)，如：3*2＝eq\f(\r(3＋2),3－2)＝eq\r(5)，那么6*(5*4)＝__1__.9．當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為__30°__．10．對于實數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－ab（a≥b），,ab－b2（a<b）.))例如：4*2，因為4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個根，則x1*x2＝__±3__．11．(貴陽中考)在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)為端點的線段中點坐標(biāo)為__(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))__．12．(黔西南州中考)閱讀材料題：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個含根號式子的平方，如3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2，善于思考的小明進(jìn)行了如下探索：設(shè)a＋beq\r(2)＝(m＋neq\r(2))2，(其中a，b，m，n均為正整數(shù))則有a＋beq\r(2)＝m2＋2nmeq\r(2)＋2n2，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn，這樣，小明找到了把部分a＋beq\r(2)的式子化為平方式的方法．請你依照小明的方法探索并解決問題：(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋beq\r(3)＝(m＋neq\r(3))2，用含m，n的式子分別表示a，b得a＝__m2＋3n2__，b＝__2mn__；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：__4__＋__2__eq\r(3)＝(__1__＋__1__eq\r(3))2；(3)若a＋4eq\r(3)＝(m＋neq\r(3))2且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．解：(1)∵a＋beq\r(3)＝(m＋neq\r(3))2，∴a＋beq\r(3)＝m2＋3n2＋2mneq\r(3).∴a＝m2＋3n2，b＝2mn.故答案為m2＋3n2，2mn(2)設(shè)m＝1，n＝1，∴a＝m2＋3n2＝4，b＝2mn＝2.故答案為4，2，1，1(3)由題意得a＝m2＋3n2，b＝2mn，∵4＝2mn，且m，n為正整數(shù)，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝1313．閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).例如：求點P0(0，0)到直線4x＋3y－3＝0的距離．解：由直線4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，∴點P0(0，0)到直線4x＋3y－3＝0的距離為d＝eq\f(|4×0＋3×0－3|,\r(42＋32))＝eq\f(3,5).根據(jù)以上材料，解決下列問題：問題1：點P1(3，4)到直線y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)的距離為__4__；問題2：已知⊙C是以點C(2，1)為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線y＝－eq\f(3,4)x＋b相切，求實數(shù)b的值；問題3：如圖，設(shè)點P為問題2中⊙C上任意一點，點A，B為直線3x＋4y＋5＝0上兩點，且AB＝2，請求出S△ABP的最大值和最小值．解：(1)點P1(3，4)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×4－5|,\r(32＋42))＝4，故答案為4(2)∵⊙C與直線y＝－eq\f(3,4)x＋b相切，⊙C的半徑為1，∴C(2，1)到直線3x＋4y－4b＝0的距離d＝1，∴eq\f(|6＋4－4b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝eq\f(5,4)或eq\f(15,4)(3)點C(2，1)到直線3x＋4y＋5＝0的距離d＝eq\f(|6＋4＋5|,\r(32＋42))＝3，∴⊙C上點P到直線3x＋4y＋5＝0的距離最大值為4，最小值為2，∴S△ABP的最大值為eq\f(1,2)×2×4＝4，S△ABP的最小值為eq\f(1,2)×2×2＝214．定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求對角線BD的長；②若AC⊥BD，求證：AD＝CD；(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，點P是對角線BD上一點，且BP＝2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長．解：(1)①因為AB＝CD＝1，AB∥CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又因為AB＝BC，所以?ABCD是菱形．又因為∠ABC＝90°，所以菱形ABCD是正方形．所以BD＝eq\r(2)②如圖1，連接AC，BD，因為AB＝BC，AC⊥BD，所以∠ABD＝∠CBD，又因為BD＝BD，所以△ABD＝△CBD，所以AD＝CD,圖1),圖2),圖3)(2)若EF與BC垂直，則AE≠AB，BF≠AB，所以四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件；若EF與BC不垂直，①當(dāng)AE＝AB時，如圖2，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，所以AE＝AB＝5；②當(dāng)BF＝AB時，如圖3，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，所以BF＝AB＝5，因為DE∥BF，所以△PED∽△PFB，所以DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，所以AE＝9－2.5＝6.5，綜上所述，AE的長為5或6.5

15.從三角形(不是等腰三角形)的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．(1)如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°.求證：CD為△ABC的完美分割線；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖2，△ABC中，AC＝2，BC＝eq\r(2)，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD為等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線．圖①(2)①當(dāng)AD＝CD時，如圖①，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；,圖②圖③)②當(dāng)AD＝AC時，如圖②中，∠ACD＝∠ADC＝eq\f(180°－48°,2)＝66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；③當(dāng)AC＝CD時，如圖③中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍棄．∴綜上可知，∠ACB＝96°或114°(3)由已知AC＝AD＝2.∵△BCD∽△BAC，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BD,BC)，設(shè)BD＝x，∴(eq\r(2))2＝x(x＋2)，∵x>0，∴x＝eq\r(3)－1.∵△BCD∽△BAC，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(\r(3)－1,\r(2)).∴CD＝eq\f(\r(3)－1,\r(2))×2＝eq\r(6)－eq\r(2)16．?dāng)?shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題，下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．探究一：求不等式|x－1|<2的解(1)探究|x－1|的幾何意義如圖①，在以O(shè)為原點的數(shù)軸上，設(shè)點A′對應(yīng)點的數(shù)為x－1，由絕對值的定義可知，點A′與O的距離為|x－1|，可記為：A′O＝|x－1|.將線段A′O向右平移一個單位，得到線段AB，此時點A對應(yīng)的數(shù)為x，點B對應(yīng)的數(shù)是1，因為AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對應(yīng)的點A與1所對應(yīng)的點B之間的距離AB.(2)求方程|x－1|＝2的解因為數(shù)軸上3與－1所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離都為2，所以方程的解為3，－1.(3)求不等式|x－1|<2的解集因為|x－1|表示數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點所對應(yīng)的數(shù)x的范圍．請在圖②的數(shù)軸上表示|x－1|<2的解集，并寫出這個解集．探究二：探究eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)的幾何意義(1)探究eq\r(x2＋y2)的幾何意義如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點坐標(biāo)為(x，0)，Q點坐標(biāo)為(0，y)，|OP|＝x，|OQ|＝y(tǒng)，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y(tǒng)，則MO＝eq\r(OP2＋PM2)＝eq\r(|x|2＋|y|2)＝eq\r(x2＋y2).因此eq\r(x2＋y2)的幾何意義可以理解為點M(x，y)與原點O(0，0)之間的距離OM.(2)探究eq\r(（x－1）2＋（y－5）2)的幾何意義如圖④，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點A′的坐標(biāo)為(x－1，y－5)，由探究(二)(1)可知A′O＝eq\r(（x－1）2＋（y－5）2)，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時A的坐標(biāo)為(x，y)，點B的坐標(biāo)為(1，5)．因為AB＝A′O，所以AB＝eq\r(（x－1）2＋（y－5）2)，因此eq\r(（x－1）2＋（y－5）2)的幾何意義可以理解為A(x，y)與點B(1，5)之間的距離．(3)探究eq\r(（x＋3）2＋（y＋4）2)的幾何意義請仿照探究二(2)的方法，在圖⑤中畫出圖形，并寫出探究過程．(4)eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)的幾何意義可以理解為：______________．拓展應(yīng)用：(1)eq\r(（x－2）2＋（y＋1）2)＋eq\r(（x＋1）2＋（y＋5）2)的幾何意義可以理解為：點A(x，y)與點E(2，－1)的距離與點A(x，y)與點F__(－1，－5)__(填寫坐標(biāo))的距離之和；(